《复变函数》教学资料(1)

1、.第第6 6章章 统计量及其分布统计量及其分布数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，与概率论一样，数理统计是研究随机现象的统计规律的。它以概率论的理论为基础，根据试验或观察得到的数据，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断，从而为决策和行动提供依据和建议。数理统计的内容非常丰富，从第6章开始 ，.将逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容。第6章将介绍总体、随机样本及统计量等数理统计的基本概念，并着重介绍几个常用的统计量及抽样分布。6.1 总体与样本总体与样本6.1.1 基本概念基本概念在生产实践中，我们经常会遇到统计推断问.灯泡的寿命情况，以解决所提出的问题。并记录其

2、结果，然后根据这组数据来推断整批机变量X的分布函数 事实上是不知道的.我)(xF们只能从整批灯泡中选取一些灯泡做寿命试验变量的分布函数 ，若已得出 ， 则)(xF)1000()1000(FXP)(xF 就是所要求的次品率。然而随然， 这个问题可归结为求灯泡寿命X这个随机时为正品，问如何确定这批灯泡的次品率？显题。比如，有一批灯泡，要从使用寿命这个指标来衡量它的质量。若规定，寿命高于1000小. 数理统计中，我们把所研究的对象的全体称为总体（或母体）；而把组成总体的每个对象称题，是数理统计所要研究的主要问题。性质做出推断和预测。这类问题称为统计推断问组数据，经过整理和分析，对该数量指标的某些选取

3、一些“代表”进行检测。然后根据所得到的一能对其中的每个事物都一一加以检测，只能从中 上述问题就是要检验一批事物（即一事物集合）的某个数量指标。然而，一般情况下，不可.称为个体。在实际问题中，我们关心的是总体的某个数量指标，它由所有个体的指标值而组成，总体 。)(xF为总体 。当 得分布函数为 时，也称为)(xFXX分布函数，并不再区分总体与 ，而笼统的称之X个随机变量 。今后 的分布函数就称为总体的XX某个随机变量的一次观测值，则总体就对应了一其中的数值可以相同。若视每个个体的指标值为.性： 一方面， 由于样本是从总体中随机抽取本容量。我们首先指出，样本具有所谓的二重 称为总体的一个样本，n称

4、为样),(,21nxxx随机变量，用大写字母 表示；另),(21nXXX为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽取 个个体，记其指标值为 则,21,nxxxn一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是.测值，因此，样本又是一组数值，此时用小写字母 表示是恰当的。从总体中抽取样本),(,21nxxx（1）随机性： 即对于每次抽样，总体中每个个体都有同等的机会被抽取，这便意味着每一个样本 与总体 有相同的分布。iXX就需要对抽样方法提出一些要求：可靠的推断，就希望样本能很好的带边总体。这可以有不同的取法，为了能由样本对总体作出较.（2）独立性 即每次抽取的结果

5、既不影响其他各次抽取的结果，也不受其他各次抽取结果的影响。一般地，有下面的定义： 是来自总体 的一个容量),(21nXXX)(xF互独立，且具有相同的概率分布 ，则称)(xF 定义定义1 1 若 个随机变量 相nXXX,21n为n的简单随机样本，简称为样本。.样本 的所有可能取值的全体为样本空间。),(21nXXX随机变量，记 为 的一次观察ix),2, 1(niXi值,则称 为样本的一次观察值。),(2, 1nxxx由定义可知，若 来自总体),(21nXXX 的一个样本，则 的分布函数为),(21nXXX)(xF 容量为 的样本 是一个n维),(21nXXXn它一般是 维空间 或其中的一个子

6、集。样本的一次观察值 就是样本空间的一个点。),(,21nxxxnRn. )(),(121*niinxFxxxF. )(),(121*niinxfxxxf其中 是分布 的密度函数。)(xf)(xF若 的分布密度为 ，则 的密度函数为)(xf),(21nXXXX例例1 设有一批产品共 个，需要进行抽样检N.,) 1(pXP.1)0(pXP设想样本是一个一个抽出的，结果记为nXXX,21如果采取有放回抽样，则nXXX,21为独立同分布。若采取不放回抽样，此时，第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的验以了解其不合格率 ，现从中抽取 个逐一检查它们是否是不合格的。如果把合格品记为0，不合格品记为1

7、，则总体 服从两点分布，pnX.是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，则,11) 11(12NNxxPp而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为,1)01(12NNxxPp显然，如此得到的样本不是简单随机样本，但是当 很大时，上述两种情况的概率都近似等N.6.1.2 经验分布函数经验分布函数时可以把该样本近似看成简单随机样本。于 ，所以当 很大时，而 不大（一般 ）1 .0NnNnp我们把总体 的分布称为理论分布，而把总体 的分布函数称为理论分布函数。由简单样XX参数为 的指数分布，其概率密度为本的定义知道，若总体 的理论分布知道，则X样本的分布也可以确定。例如，设总体 服从X

8、.00)(xexxf其它则样本),(21nXXX的概率密度为niixne1),(21*nXXXf0其他, 0, 0, 021nxxx反过来，如何由样本来推断总体的分布呢？.为此，我们引入经验分布函数。本，将其对应的观测值 按由小到,21,nxxx大的顺序排列为 令.)()2() 1 (nxxx xFn0，,)1(xx nk，,1)(kxxxk, 2 , 1nk1， . xnx定义定义2 设 是取自总体 的样),(21nXXXX称 为 的经验分布函数。 xFnX.解解 将观测数据由小到大排列为22.5=2.5=2.52.73=33.5.由定义知所求分布函数为例例2 随机地观测总体 ，得8个数据：

9、2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，试求 的一个经验分布函数。XX. xFn.5.3,1,5.33,87,37.2,85,7.25.2,84,5.22,81,2,0 xxxxxx.抽取一容量为20的样本及一容量为400 的样本，其经验分布函数 及 的图形分 xF20 xF400由经验分布函数的构造，可见 具有下 xFn面性质：单调不降;处处右连续； ; 10 xFn . 1, 0nnFF这表明，当样本观察值取定后， 确是一个普通的分布函数。 xFn例如，在某种灯泡的寿命总体 中，随机X别为图6-1、图6-2的阶梯形。 图中曲线为总.体分布函数 的图形。)(xF用经验分布函数 来

10、估计总体X的理论分布 xFn函数 。 xF样本分布函数也不相同。随着 的增大，经验 我们可以看出，对于不同的样本，得到的n事件 发生的频率 来估计 ，即xX nk)(xXP率依概率收敛于该事件发生的概率。因此可用接近。根据大数定律我们知道，事件发生的频分布函数所描绘的曲线与总体分布函数越来越.0 x图6-1 xFn图6-2.对于样本的不同观察值 ，我),(,21nxxx数值， 是一个随机变量。对于这个随机变)(xFn定理定理1 （格利汶科定理） 经验分布函数)(xFn以概率1关于x一致收敛于 ，即)(xF .10suplimxFxFPnxn们将得到不同的 。因此，对于 的每一个 )(xFnX论

11、上严格地证明了以下结论。量，格利汶科（W.Glivenko） 于1933年从理.这就是我们用样本推断总体的理论依据。实际上将近似地等于总体的分布函数 。)(xF6.1.3 统计量统计量样本来自总体并且代表和反映总体，但是为了更好地反映总体的某种特征，需要把样本中有关信息集中起来，即针对具体的统计问题定理表明，当 很大时，经验分布函数 )(xFnn.的要求而构造样本的各种不同函数。为此引入如下统计量的概念。本函数 是一个统计量。),(21nXXXg定义定义3 设 是从总体中随机抽),(21nXXX例如，设 是从正态分布),(321XXX2,N函数，如果 中不包含任何未知参数，则称样g取的一个样本

12、， 为 元连续),(,21nxxxgn.下面介绍几个常用的统计量。设 是从总体中抽取的样本，nXXX,21则统计量niiXnX11称为样本均值。22213211,2,3XXXXXX都是统计量。则中抽取的一个样本，参数 已知，但 2未知，212221,XXX不是统计量。 而.称统计量niiXXnS12)(11为样本方差。称 的正平方根 为样本标准差；称统计量2SSnikikkXnM1, 2 , 1,1为样本 阶原点矩；称统计量k.样本的二阶中心矩与样本的方差是有区别的， 特别记样本的二阶中心矩为niiXXnS122)(1nikikXXnM1)(1为样本 阶中心矩；k.由上式可知22211S,Sn

13、nMXM对于样本的观察值 上述统计量的观察值分别记为,21,nxxxniixnx11212)(11niixxns.nikikxnm1,1nikikxxnm1)(1取值 时， 取值),(,21nxxx)(kX., 2 , 1,)(nkxk记 是这样的随机变量，当),(21nXXX)(kX 定义4 设 是取自总体),(21nXXXX这样得到的 个新的随机变量 nXXX,21n称为总体 的一组顺序统计量， 称为第)(kXX.)()2()1(nxxx按由小到大的顺序排列为,21,nxxx的样本，将其对应的观测值.由定义知， nXXX21且 ),min(211nXXXX ),max(21nnXXXX即 的观测值是样本观测值 1X,21,nxxx中最小的一个，而 的观测值是 nX,21,nxxx中最大的那一个。 位顺序统计量