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文档简介

1、一元二次方程判别式一元二次方程判别式 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 ? 一复习提问: ? 1、一元二次方程的标准式是什么? ? 2、一元二次方程的求根公式是什么? ? 想一想:b -4ac的符号与ax +bx+c=0会有关系吗? ? 做一做:用求根公式法解下列方程 ? (1)x -x-2=0 (2)x -6x+9=0 (3)x -x+1=0 ? 看一看:上列三个方程的根与b -4ac的符号有关系吗?有什么关系? 2 2 2 2 2 2 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 ? 猜一猜:对于一般ax +bx+c=0 (a0)的根与b -4ac的符号有会么关系? 2 2 故对于方程ax +

2、bx+c=0 (a0)有下列关系: 当b -4ac0时,方程有两个不相等的根 x = 当b-4ac=0时,方程有两个相等的根x =x = - 当b - 4ac0时,方程没有实数根. 因为ax +bx+c=0(a0)的求根公式是 -bb -4ac 2a x= 2 2 2 2 2 2 2 -b+b -4ac 2a 2 1 x = -b-b -4ac 2a 2 2 1 2 b 2a 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 ? 反过来方程ax +bx+c=0有两个实数根时b -4ac0 ? 有两个相等的根时b -4ac=0 ? 没有实数根时b -4ac0 ? 由此可见b -4ac的值决定一元二次方程的根

3、的情况,所以把它叫一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)的根的判别式。记作“”读作“delta” 2 2 2 2 2 2 ? 二、例1,不解下列方程判别下列方程的根的情况 ? (1)3x -4x+7=0 (2) x +x+1=0 (3)2x- 6x-1=0 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 2 2 2 1 4 解:a=3, b=-4,c=7, b -4ac =16-437 0 所以原方程没有实 数根 解:a= ,b=1,c=1 b -4ac =1-4 1=0,所以原方程有两个相等的实数根 4 1 4 解:a=2 b=6,c=-1 b -4ac =6-42(-1) =140,所以原方程有

4、两个不相等的根 2 2 2 1 ? 做练习:不解方程试判断下列方程的根的情况 ? (1)3x -7x+2=0 (2)9x +6x+1=0 ? (3)2x -(2+2)x+3+2=0 ? 例2:关于x的方程2x +mx-2=2x-m,当m为何值时方程有两个相等的根?并求出它的根 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 解;原方程可以整理成;2x +(m-2)x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ,b-4ac=(m-2)-42(-2+m) 据题意有m -12m+20=0m =2, m =10 当m=2时,x =x =0;当m=10时x =x =-2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

5、 1 1 2 2 2 ? 练习:当K为何值时方程(k-2)x +2kx-1=0有两个相等的实数根,并求出方程的根。 ? 例3:当K为何值时,方程kx +(2k+1)x+k=0(k0) ? (1)有两个不相等的根(2)有两个相等的根 ? (3)没有实数根 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 2 2 解:b -4ac=(2k+1) -4kk=4k+1,而方程有两个不相等的根4k+10,即k- 4 2 2 若有两个相等根4k+1=0即k= - 4 若没有实数根则4k+10即k - 1 4 1 1 ? 例4:求证: ? (1)关于x的方程x +kx+k +1 =0没有实数根 ? (2)关于x的方程(

6、x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等的根。 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 2 2 (1)证明:=b -4ac=k -4(k +1)= -3k -4无论k为何实数k 00故原方程没有实数根。 2 2 2 2 2 (2)证明:整理原方程得 x -3x+2 -a =0 =9-4(2-a )=1+a 无论a为何值a 0 0,故原方程有两个不相等的根 2 2 2 2 2 ?课堂练习; ?1、对于方程4(m+1)x +2(2m-1)x=1-m (m-1) ? (1)方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围 ? (2)方程有两个相等的实数根,求m的取值范围 ? (3)方程没有实数根,求m的取值范围 ? 2、已知a+c0,a +b =c 求证(a+c)x +2bx+c-a=0总有相等的实数根 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 2 2 2 2 2 一元二次方程判别式一元二次方程判别式 ? 小结:方程ax +bx+c=0 (a0) ? 1、=b -4ac叫一元二次方程的判别式 ? 当0时方程有两个不相等的实数根 ? 当=0时方程有两个相等的实数根 ?

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