如何学好高中数学一高中数学与初中数学特点的变化1数学

1、第一部分如何学好高中数学一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，

2、数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类

3、化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。二不良的学习状态1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到

4、“门道”。2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题

5、也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。三科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习

6、为主动学习，才能提高学习成绩。1 培养良好的学习习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。(1) 制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。(2) 课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问

7、题解决在课堂上。(3) 上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。(4) 及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。(5) 独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验

8、，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。(6) 解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。(7) 系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对

9、所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3 逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是完全靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己在勤奋训练的

10、基础上通过思维活动去获取的。四编者的话：现有初高中数学知识存在以下“脱节”1 立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2 因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3 二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4 初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌

11、握的基本题型与常用方法。5 二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6 图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7 含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8 几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理

12、，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。基于以上不同点，我们特编写此本初高中衔接教材。由于作者水平有限，时间仓促，如有不当之处，请批评指正。第 1 页 共 28 页3第10页共28页9第1、2讲因式分解（2课时）【知识要点】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解常用公式：平方差公式完全平方公式立方和公式立方差公式因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外

13、，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.【典型例题】一、公式法例1、因式分解下列各式(1)(x+pf-(x+qf=(2) (x+y2+2(x+yZ+z2=(3) 27-x3=3. 3(4)ab1 8、十字相乘法例2、把下列各式因式分解:(1) x2 -7x +6(2) x2 +13x+36(3) x2+5x242(4) x -2x -152 12x -5x -222(6) 5x +6xy 8y22 x (a+b)xy+aby22(8) x xy-6y(9)(x2+x)2-8(x2+x)+12三.关于x的二次三项式ax2+bx+c(a却)的因式分解.若关于x的方程ax2+

14、bx+c=0(a#0)的两个实数根是x1、x2,则二次三项式ax2+bx+c(a/0)就可分解为a(x-x1)(x-x2).例3把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2+2x-1；(2)x2+4xy-4y2.四、提取公因式与分组分解法例4、把下列各式因式分解：,、22(2) x -y ax ay2222(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd(3)2x2 4xy 2y2 -8z2(4)b2 c2 2ab 2ac 2bc五、综合应用112131例5、已知x+_=2,求x_，x2，x3xxxx例6、已知a,b,c是MBC的三边长，试比较（a2+b2c2）2与4a2b2的大小。第3、4讲一元

15、二次方程的判别式与韦达定理（2课时）【知识要点】现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.一元二次方程ax2+bx+c=0Q¥0）的判别式&=判别式符号方程的实根情况韦达定理：2如果一兀一次万程ax+bx+c=0(a=0)的两个根为x1,x2，那么以两个数Xi,X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是2X(Xi+X2)X+XiX2=0【典型例题】一、与判别式和韦达定理有关的基本问题2例1、若x1

16、，x2是方程x+2x-10=0的两个根，试求下列各式的值:xi2x22(2)(3)(xi-5)(x2-5)xiX233(4)xix2(5)|xi-x2|例2、已知两个数的和为4,积为i2,求这两个数.二、与判别式和韦达定理有关的含参问题例3、判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x23x+3=0(2)x2-ax-1=0(3)x2-ax+(a-1)=0(4)x2-2x+a=02.1.2_.例4、已知关于x的万程x-(k+1)x+k+1=0,根据下列条件，分别求出k的值.4(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根”?2满足|x1|二x2.例5

17、、已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.一,一、3(1)是否存在实数k,使(2x1一x2)(X2x2)=3成立？若存在，求出k的值；若不存在,请说明理由.x1x2(2)求使"+上-2的值为整数的实数k的整数值.x2X函数的图像和性质【知识要点】1正比例函数的图象与性质：函数y=kx（k是常数，kw。）的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当一时,图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而.2 一次函数的图象与性质：函数y=kx+b（k、b是常数，kw0）的图象是过点（0,b）且与直线y=kx平行的一条直线.设y=kx+b

18、（kw0）,则当时，y随x的增大而时，y随x的增大而.k3反比例函数的图象与性质：函数y=（kw。）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而.双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x与y=_x；又是中心对称图形，对称中心是原点.4二次函数y=ax2+bx+c（aw0）具有下列性质：1当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直线;当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而;当时，函数取最小值.2当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直线

19、;当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而;当时，函数取最大值.【典型例题】例1、函数y=kx+m与y=m（m*0）在同一坐标系内的图象可以是（）xxC.A .B.D.例2、画出下列函数的图象(1) y= x2 4x+ 3(2) y =例3、求二次函数y=-3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.例4、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每彳产品的售价x（元）与产品的日销售量y若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利

20、润是多少？第6讲二次函数的三种表示方式及简单应用【知识要点】1 .一般式：y=ax2+bx+c（aR）;2 .顶点式：y=a（x+h）2+k（a制），其中顶点坐标是（一h,k）.3 .交点式：y=a（xxi）（xx2）（aw0。其中xi,X2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.给出三点，其中两点为与x轴的两个交点（x1,0）.（x2,0）时可利用交点式来求【

21、典型例题】例1、已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3,1），求二次函数的解析式例2、已知二次函数的图象过点（3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式例3、已知二次函数的图象过点（1，22），（0，8），（2，8），求此二次函数的表达式例4、求把二次函数y=x24x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位例5、求把二次函数y=2x24x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x=1;（2）直线y=1.例6

22、、把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求b,c的值.第7讲利用二次函数的图象求范围【知识要点】21 .二次函数y=ax+bx+c(ao0)的最值.二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当aa0时，函数在x=处取得最小2a值4acb,无最大值；当a<0时，函数在x=-旦处取得最大值侬士，无最小值.4a2a4a2 .二次函数最大值或最小值的求法.第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.3 .求二次函数在某一范围内的最值.如：y=ax2+bx+c在mx

23、n(其中m<n)的最值.第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x0；第二步：利用图象求出最值(或取值范围)【典型例题】例1、求下列函数的最大值或最小值.22.(1)y=2x3x5；(2)y=-x3x+4.第10页共28页13例2、当1EXE2时，求函数y=x2x+1的最大值和最小值.例3、当X20时，求函数y=x(2x)的取值范围.125例4、当tExMt+1时，求函数y=-xx的最小值(其中t为常数).22例5、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,30<x<54.(1)写出商

24、场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？第8讲一元二次不等式【知识要点】以二次函数y=x2-x-6的图象为例，研究一般的二次函数图象与相应不等式的解的关第10页共28页29由此归纳结论：【例题精讲】例1、解下列关于x的不等式:(1)(x+1)(2x5)<0；(2)(3x)(4+x)W0;(3)x2+2x3W&(4)xx2+6<0;4x2+4x+1>Q(6)x26x+9W&一4+xx2<0;(8)2x2-5x-6<0.例2、解关于x的不等式:2

25、ax_5ax6a:二0(a”0)例3、解关于x的不等式：x2_5ax+6a2<0(a#0)第9讲简单的分式不等式【知识要点】设A、B是两个代数式，则A>0等价于；BA£<0等价于BA>0等价于；BACw0等价于B；【例题精讲】例、解下列关于x的不等式：2x-13-2xx-2x-8(1)A0；(2)>0;(3)2<0;x532x2x23x4x »4425 -0；(5)一£0;1 2x第10、11讲绝对值及绝对值不等式【知识要点】 绝对值的代数意义: 是零.即正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍绝对值的几何

26、意义:a, a .0,|a|= 0, a =0,-a, a ：0.一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.0a_O -iafA x两个数的差的绝对值的几何意义:a_._0- A |a|O xa-b表示在数轴上，数 a和数b之间的距离.|a-b|bB x常见的几种绝对值不等式的解（或等价转化）:(c >0)(1)(2)x +b >c :(3)ax b c ：ax+b c :x：c:【例题精讲】例1、解方程:(1) 1 2x =1(2)x-1 =44 -x2(3) x2 -5 x 6 = 0例2、解不等式:(1)x_3>1(2)5-2x<3(3)2<|3x+2

27、<8(3) x2 -5x +6 <0(4) x2 -5x -6 0第12讲二次根式【知识要点】一般地，形如再（a之0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a十Ja2十b十2b,Va2+b等是无理式，而V2x2+x+1,2x2+42xy+y2,指等是有理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如J2与J2,3再与ja,J3+J6与J3-J6,2石3拒与273+37

28、2,等等.一般地，ajx与Jx,ajx+bjy与aabjy,aJx+b与aJx-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式GJb=扁色之0,b>0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式ja2的意义a,a,0,-a,a：0.3.性质：(I)ab=y/a>

29、;/b(a>0,b>0)(2)卷=半匕>0,b之0)【例题精讲】例1、化简：（1）J（石一2）2+J（73i）2(3)2 (0vxv 1).(4) >9-4.5例2、比较下列各组中两个数的大小:（1）炭-布和布-加；(2) 2和2必庭.,6 4例3、设2、3_2 - "32 -，3 ,y 2、3+ y3的值.第13讲分式【知识要点】1 .分式的意义.A.A.A.形如A的式子，若B中含有字母，且B¥0,则称C为分式.当MWO时，分式-具有BBB卜列性质:AA-：M.BB-：M上述性质被称为分式的基本性质.2 .繁分式a像b,m+n'p这样，分子

30、或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd2mnp【例题精讲】例1、化简x1xx1x一x,5x4AB例2、若5x4=A+_B_,求常数A,B的值.x(x2)xx2例3、( 1)试证:(2)计算:11.1(3)证明：对任意大于1的正整数n,有十+|+2334n(n1)例4、设3=£,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.a第14、15讲方程组（2课时）【知识要点】2x-y=1二元一次方程组是含有两个未知数，每个方程未知数的次数均为1的方程组，如竽y,?3x+y=0三元一次方程组含有三个未知数，每个方程未知数的次数均为1的方程组，如2x-y3z=3«x+2y-z=

31、9,3x-y+2z=8二元二次方程组：含有二个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程组，如222-x+4y-4=0=、x2y2=0解法：解二元一次方程组的方法是将两个未知数化为一个未知数一个方程；解三元一次方程组的方法与解二元一次方程组的方法相仿，只是要多用几次消元法，通过逐步消元，把三元一次方程组转化为一元一次方程；解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，转化的常见方法有“消元”和“降次”。【例题精讲】例1、解下列二元一次方程组(1)?2x- y = 1?3x+ y= 0(2)?2x- 3y= 1?3x+ 2y= 4例2、解下列三元一次方程组2x-y+3z=3(1

32、),x+2y-z=9;、3x-y+2z=84x-3yz=0,、，、(2)右彳，求(1)x:y:z;(2)(2xy):(y+z)。x3y-3z=0例3、解下列二元二次万程组(1)?a+ b= 7 ?ab= 12(2)2 22-x +4y 4=0x-2y -2 = 022(b2b-2 -y2=4x./、r、十/3丘例4、 m取什么值时，方程组y4x有一组实数解？并求出这时方程组的解。y=2xm、，一y=4x,一变式练习：m取什么值时，方程组y有两组实数解？并求出这时方程组的解。y=2x+m例5、要将两种大小不同的钢板截成AB、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：硼格B规格CS格A种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式表示上述要求变式练习：一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式