人教A版数学必修4第三章3.1.1两角差的余弦公式教学设计

1、3.1.1 两角差的余弦公式教学设计一、概述、1 . 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点2 .由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力3 .教材没有直接

2、给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究， 并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展4 .由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路二、教学目标分析1 掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题2 全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究的步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退求进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方

3、法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性3 能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验（ 二）教学重、难点重点：两角差的余弦公式及公式的灵活应用；设计意图：课标要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程；难点：余弦公式的探索，推导和证明;设计意图： 高一学生逻辑思维能力还比较薄弱，对于公式的证明还存在很大的问题。三、学习者特征分析1 从学生已有的知识与方法看: 高一 学生已经学习了平面向量和三角函数的知识， 从日常教学所反应的学生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶段， 没有办法真正灵活的运用。

4、具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的原因，还是没能用严格的定义证明；2从学生的情感，态度看： 高一学生已经厌倦老师的单独说教，希望老师创设便于他们 进行观察的环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，小组交流，使他们获得施展自己创造才能的空间。四、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。我们主要采用引导探索的教学方法，引导学生自主探索，合作交流去发现，探求两角差的余弦公式 （关键在于如何引导学生通过大胆猜想，类比得出公式）。五、教学资源与工具设计学生方面：1

5、,学生每人准备画好 3个圆的方格纸一张;教师方面：1,多媒体课件（几何画板课件）；2,圆规直尺;六、教学流程图:问题引入课堂小结七、教学过程: 一回顾复习（2分钟）在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式?问题引入：（4分钟）201我们在前面所学二角函数值时就知道，cos45 ,cos30 一,而22ocos15° cos（45° 30°）,大家猜想一下，c0s15等于多少呢？是不是等于cos45o-cos30 0 ?（学生猜测答案）（几何画板演示c0s150的答案）根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是cos( )不会等于cos -cos

6、问：那么会是多少呢？(学生大胆猜测两角差余弦的表达式)设计意图:通过问题的提出，吸引学生的兴趣，鼓励学生小组讨论，大胆的进行猜测, 让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误.二新知探究(15分钟)(学生拿出小纸片，小组合作，在圆上做出角归纳：我们发现，通过割补法很难得出两角差的余弦值，那现在应该如何考虑?设计意图:引导学生关注两个向量的夹角与 的联系与区别，让学生通过观察，联探究L如何用角位，产的正?玄、余葩值来表示匕状(4-呢？ / 探究2.运用三角函数定义探索C”(-初 的表达式想到,终边与单位圆的交点分别为A(cos ,sin ),B(cos ,sin ),

7、同时发现uur uuu uuu uuuOAgOB OA OB cos (cos ,sin )gcos ,sin ) cos cos sin sin(二)得出新知所以， cos( ) cos cos sin sin(三)定义解析(3分钟)1成立条件：是不是对于任意的，都适用于差的余弦公式？等价于不属于0 ,时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”(四)定义巩固(10分钟)例1利用差角余弦公式求 cos15°的值分析：引导学生用15° =45° -30° ,和15° =60° -45°两种方法求解. oooo(2) cos

8、15 cos105 sin15 sin105 =.(3) cos(21o)cos(24o) sin(21o)sin(24o)=.4 5例2已知sin 一，(, ),cos 一,是第二象限角，求 cos(-)的值.5 213分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件(一，)去掉，结果又如何？2例3公式逆用求3cos15o *sin15°的值22设计意图:定义，概念结束之后，紧接着应对定义进行巩固， 最好的办法就是运用实例。 通过两个既简单又具代表性的题目对公式的应用进行巩固，效果很好，之中还加入了例题的变换条件，扩展学生的思维。(五)回顾提高(5分钟)刚才我们经历了两角差的

9、余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？(引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高)公式探究的一般步骤：特殊 猜想 证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：例 4 对于任意的 ， cos( ) cos cos sin sin分析：可以把+看成是-(-)；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角 和的余弦公式；设计意图:学生经历探索的过程之后， 适当的我们应该做一些总结，而总结的最好方法就是用一些相似的题目去加以巩固提高，培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，这样对培养学生的自学能力的提高有很好的效果。11,求cos 的值。14（六）课堂练习（3分钟）1 例

10、5 ,都是锐角 cos ,COS（分析：两角和的余弦公式的逆用（七）课堂小结（5分钟）1 .学生小结：引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么 感悟与体会三方面进行小结.2 .教师小结：（1）本节课所走过的路:siiu（信 + 购=?提出问题t= ?1 猜想.举反例推翻猜想.并分析猜想不成立原因；探求结果以退求进P从a而端F是锐角开始探究I特殊值监证，确认猜想，探歼问号页4观察猜想结果的构成及其结构特征，展开联想； 证明结果发现co£（a-0=asacog .+gin a;sin磨口证明思路1搞清楚色-声与相应向量夹角的联系与区别1给出证明. 'U工'仙（厦

11、+=sin生MWcogs向的证明；仍未解决的问题匕应比+=cosacos 15Tin /Esin颜证明；sin（出一户5 = 7（2）两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟:（八）布置作业：1教材习题第2, 3, 4题中试根据自己的情况选做 2题.；（必做）2课本P138页习题B组第4题。（选做）3思考题：通过今天的学习，你能自己推到出sin（ ）,sin（）的公式吗?设计意图:针对学生素质的差异进行分层进行训练，能使学生掌握基础知识，又使学 有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。备选练习:Cl) coal 50 cos 1050+sin 15° si

12、n 10 50l» + sinxsin(.x + 15°)(3)CQs32ocQs77o-sm32oc0s670.，.J 忑.(4)一 uosm+ sm x设计意图:设置备用练习主要是为了避免课堂时间剩余或者题量不够而导致课堂到最后不能正常进行。备课嘛，做到万无一失。（九）、板书设计:两角差的余弦公式）两角差的余弦公式证明过程 练习）两角和的余弦公式八、教学评价设计：1学生方面：经常反问自己这节课学到了什么?2教师方面:学校班级姓名学号知识与技能（50分）平时作业（书面考试、考查、作业等）（10 分）操作与技能考试（含实践活动）（10分）评定成绩学习过程和学习方法（30分）项目（括号内为该项的满分值）自评分数他评分数教师评定分数本项得分1.平时学习活动的参与情况（作业、讨论、活动、实验等）（10分）2.观察思考及质疑的能力（6分）3.猜想、假设及探究能力（4分）4.对知识和信息的处理、分析及应用能力（4分）5.学习的效率及进步情况（6分）情感态度和价值观（20分）项目（括号内为该项的满分值）1.对数学学科的爱好、兴趣及学习表现