自动控制理论第2章

1、自动控制原理自动控制原理授课教师：授课教师： 刘小河刘小河20132013年年3 3月月第二章：控制系统的数学模型第二章：控制系统的数学模型2022-1-103本章主要内容及要求1 1、控制系统的输入输出描述、控制系统的输入输出描述 控制系统的微分方程控制系统的微分方程（了解）（了解） 非线性数学模型的线性化（了解）非线性数学模型的线性化（了解） 线性系统的传递函数（掌握）线性系统的传递函数（掌握）2 2、典型环节的数学模型（掌握）典型环节的数学模型（掌握）3 3、求复杂控制系统数学模型的工具和方法、求复杂控制系统数学模型的工具和方法 1 1）结构图及化简方法（掌握）结构图及化简方法（掌握）

2、2 2）信号流程图与梅逊公式应用（掌握）信号流程图与梅逊公式应用（掌握）2022-1-104 数学模型数学模型描述系统变量之间物理、化描述系统变量之间物理、化学、生理或其他本质关系的数学表达式学、生理或其他本质关系的数学表达式 常根据具体对象称为：物理模型、电路模常根据具体对象称为：物理模型、电路模型、化学模型等型、化学模型等 数学模型的分类数学模型的分类 时域模型时域模型 微分方程微分方程 频域（复频域）模型频域（复频域）模型 传递函数传递函数 建立一个实际系统的数学模型并非易事。建立一个实际系统的数学模型并非易事。 学习重点：学习重点：了解常见对象数学模型的形式，了解常见对象数学模型的形式

3、，对根据典型环节构成系统熟练求出系统传对根据典型环节构成系统熟练求出系统传递函数递函数2022-1-1052.1 控制系统的输入控制系统的输入输出描述输出描述输入输出描述输入输出描述 微分方程（机理导出） 传递函数 卷积2022-1-106一、控制系统的微分方程一、控制系统的微分方程 明确输入、输出量明确输入、输出量建立系统的输入建立系统的输入输出微分方程描述的步骤输出微分方程描述的步骤通过分析，提出一些合乎实际的，简化系统的通过分析，提出一些合乎实际的，简化系统的假设假设根据基本的物理、化学等定律，列写出系统根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式中每一个元

4、件的输入与输出的微分方程式消去其余的中间变量，求得系统输出与输入消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式的微分方程式整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。2022-1-1072022-1-107 为了对控制系统建立微分方程，首先要对为了对控制系统建立微分方程，首先要对被控对被控对象、检测或执行环节象、检测或执行环节等分别建立微分方程等分别建立微分方程2022-1-1082022-1-108检测滤波检测滤波校正电路2022-1-109iiiiCLRrCLRuuuu电

5、路的微分方程依赖于两类约束： KCL, KVL；VCRKCL:KVL:VCR：dtduCidtdiLuRiuCCLLRR,rCCCuudtduRCdtudLC22dtduCiuudtdiLRiCrC2022-1-1010质量弹簧阻尼系统质量-弹簧-阻尼系统应用场合汽车减震系统、加速度计测量2022-1-101122,dtydadtdyv MaFkyF1弹性力：由牛顿力学定律质量弹簧阻尼系统fvF2阻尼力：22)(dtydMdtdyfkytF)(22tFkydtdyfdtydM2022-1-1012电动机(D.C. motor)直流电动机在轧钢机、金属切削机床、机器人、磁盘驱动器等获得广泛应用直

6、流电动机直流电动机 动力类动力类（被控对象）（被控对象） 伺服类伺服类（执行环节）（执行环节）2022-1-1013电动机大型车床大型车床车床车床轧钢2022-1-1014电动机伺服电机磁盘驱动器基于图像的机器人伺服系统2022-1-1015电动机为了简化分析，通常假设：常数：电机磁路不饱和，且有ffIC) 1 (amamaiCiCMiM成正比：及电枢电流与电机转矩)2(aaaaaaiRdtdiLEudtdJMMLameaiCMCE 电路方程动力学方程电枢反电势电磁转矩2022-1-1016电动机222,dtdpdtdp引入微分算子LamaeaaaMJpiCuCipLR)(aaaaaaiRdt

7、diLEuameaiCMCE dtdJMMLJpCCpLRmeaa有LmaaaMCupLR 2求解算子方程求解算子方程emaaCCpLRJp)(amaaLuCpLRM)(2022-1-1017电动机emaaCCpLRJp)(amaaLuCpLRM)(2解得meaaaaLamCCpJRpJLpLRMuC22)()(122dtdMJTTMJTuCdtdTdtdTTLmaLmaemma上式乘以分母多项式，并将算子还原为微分上式就是他励直流电动机的微分方程上式就是他励直流电动机的微分方程meamaaaCCJRTRLT,并令电磁时间常数电磁时间常数机电时间常数机电时间常数2022-1-1018相似系统的

8、概念相似系统的概念)(22tuudtduRCdtudLCrCCC)(22tFkydtdyfdtydM他励直流电动机他励直流电动机质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统物理本质不同的系统物理本质不同的系统，可以有可以有相同的数学模型相同的数学模型。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。而物理本质不同的系统其输出响应相似。)()(122tTdtdMJTTMJTuCdtdTdtdTTLmaLmaemma2022-1-1019以随动系统为例列写控制系统的微分方程随动系统以雷达跟踪系统、火炮跟踪控制系统为典型

9、代表雷达跟踪系统火炮跟踪控制系统2022-1-1020随动系统的框图随动系统的框图2022-1-1021)(ppku2）放大器）放大器-发电机励磁发电机励磁 3）发电机）发电机-电动机组电动机组4）传动机构）传动机构pfafffuRkIdtdITfgfIkE fdmmaEkdtdTdtdTT122tkdtd1）电位器组）电位器组2022-1-1022dtdKdtdKTTdtdKTTTdtdKTTTmfmafmaf1)(223344dftgapkRkkkkK 整理得随动控制系统的微分方程为其中称为开环增益一般情况下，描述线性控制系统输入输出关系的微分方程为：111110111( )( )( )(

10、 )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdtr(t) 系统的输入量系统的输入量 c(t) 系统的输出量系统的输出量 m，n 输入、输出的最高阶数输入、输出的最高阶数，一般一般 m =m,n=m,且各项系数均为实数且各项系数均为实数111110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt2022-1-1041例：试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)

11、之间的传递函数。uiRCucLi则传递函数为( )1/( )iU sLsRsCI s( )1/( )oUssC I s2( )1/1( )1/1oiUssCUsLsRsCLCsRCs解：由于是零状态，故可由运算电路得2022-1-10424、传递函数的零极点、传递函数的零极点极点极点传递函数分母传递函数分母s多项式多项式D(s)=0的根的根 mmmmbsbsbsbsN1110)(三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数也即线性微分方程也即线性微分方程特征方程的特征值。特征方程的特征值。 零点零点传递函数分子传递函数分子s s多项式多项式N(sN(s)=0)=0的根的根2022-1-1043

12、( )( )( )G sC sR s当 时， ，所以， ( )( )r tt( )1R s 111( )( )( ) ( )( )c tLC sLG s R sLG s传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为 三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数5 5、传递函数的意义、传递函数的意义)()()()(g(t)(t)(1sGtgsGLtgtr或则有记为冲激）响应，冲时，零状态响应称为脉当2022-1-1044关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统传递函数仅适用于线性定常系统传函是由微分方程传函是由微分方程在初始条件为零时在初始条件为零时进行拉氏变进

13、行拉氏变换得到的。因此原则上换得到的。因此原则上只反映系统的零状态响应。只反映系统的零状态响应。 传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；内部物理结构的有关信息；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数传递函数完全取决于系统内部的结构、参数及输及输入、输出的相对位置，而与输入波形无关；入、输出的相对位置，而与输入波形无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵）（可定义传递函数

14、矩阵）2022-1-1045复习复习 线性系统的微分方程111110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt2022-1-1046 复习复习传递函数传递函数 根据定义根据定义G(s)=C(s)/R(s) 先写出系统的微分方程，两边在零初始条件下求先写出系统的微分方程，两边在零初始条件下求拉普拉斯变换，消去中间项，即可求得。拉普拉斯变换，消去中间项，即可求得。 对于电气网络的传递函数可以采用运算电路来求对于电气网络的传递函数可以采用运算电路来求G(s)R(s

15、)C(s)( )( )( )C sG sR s零零初初始始条条件件下下2022-1-10471011111( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC SR Ssa sasa 复习复习对线性系统对线性系统传递函数的意义传递函数的意义)()()()()(11sRsGLtcsGLtg零状态响应脉冲响应2022-1-10482.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 为什么要研究典型环节为什么要研究典型环节 控制系统通常由若干部件连接而成，部件虽然千控制系统通常由若干部件连接而成，部件虽然千变万化，但是可以归结为几类数学模型进行描述变万化，但是可以归结为几类数学模型进行描述 典型环节的类型典型环

16、节的类型 比例、微分、积分比例、微分、积分 （控制器、对象）（控制器、对象） （一阶）惯性、（一阶）惯性、 （二阶）振荡（二阶）振荡（对象）（对象） 一阶微分、二阶微分一阶微分、二阶微分（控制器，数学意义）（控制器，数学意义） 延迟延迟（对象）（对象）2022-1-10492.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 一、比例、微分、积分环节一、比例、微分、积分环节1 1、比例环节、比例环节特点：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输出不失真、不延迟、成比例地复现 输入信输入信号的变化号的变化 KGtKrssRsC tc 传递函数方程式2022-1-1050 实例：实例：电子比例放大器，齿轮

17、，电阻电子比例放大器，齿轮，电阻( (电位器电位器) )，感应式变送器等。感应式变送器等。KRRsUsUsGi120)()()(2022-1-10512.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型一、比例、微分、积分环节一、比例、微分、积分环节 2 2、微分环节、微分环节 特点：特点：输出量与输入量的一阶导数成正比，输出输出量与输入量的一阶导数成正比，输出能预示输入信号的变化趋势。能预示输入信号的变化趋势。 作用：作用：常用来作为控制器的组成部分，以改善动常用来作为控制器的组成部分，以改善动态系统的性能。态系统的性能。 KssRsCdttdrKsG tC 对应的传递函数2022-1-10522.

18、2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型一、比例、微分、积分环节一、比例、微分、积分环节 3 3、积分环节、积分环节 特点：特点：环节的输出量是输入量对时间的积分，即 积分环节的传递函数为2022-1-1053T称为积分时间常数称为积分时间常数ssG1)(rc1s1src当输入r(t)不为0时，输出c(t) 累加；当输入r(t)等于0时，输出c(t) 保持原值2022-1-1054 实例：有源积分网络 实例实例电动机速度与位移间的传递函数电动机速度与位移间的传递函数 模拟计算机中的积分器模拟计算机中的积分器 阻尼器在外力作用下的位移与力的关系等。阻尼器在外力作用下的位移与力的关系等。2022-

19、1-10552.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型二、二、惯性环节惯性环节 特点：具有储能元件的系统，特点：具有储能元件的系统，输出量延缓地反映输出量延缓地反映输入量的变化规律，称为惯性环节输入量的变化规律，称为惯性环节 tKrtcdttdcTC( )( )( )1sKG sR sTs式中式中 K K比例系数。比例系数。 T T惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 实例：实例： 一阶一阶RCRC网络，直流电动机的励磁回路。网络，直流电动机的励磁回路。微分方程：微分方程：传递函数为：传递函数为：2022-1-1056)()(tutudtduRCrcC)()()(sUsUsRCsUrcc 零

20、初始条件下对上式进行拉氏变换 求出Uc(s)的表达式)(11)(sURCssUrc或1111)()()(TsRCssUsUsGrc式中 T=RC 2022-1-1057,1)()( 1)(ssRttr，时TsssTssUc111) 1(1)()( 1 )1 ()(1tetutTc2022-1-10582.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型三、三、振荡环节振荡环节 特点：含有两种形式的储能元件，所存储的能量可相互转换，从而导致输出可以呈周期振荡形式 微分方程 tKrtcdttdcTdttcdT2222式中式中 T时间常数时间常数； 阻尼系数（阻尼比），阻尼系数（阻尼比），且且0 1。 K-

21、放大系数放大系数 1222TssTKsRsCsG 传递函数2022-1-1059 K=1时，振荡环节的另一标准形式时，振荡环节的另一标准形式 n=1/T无阻尼自然振荡频率。无阻尼自然振荡频率。振荡环节的传递函数具有振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点一对共轭复数极点, ,在复平在复平面面S S上的位置如图所示上的位置如图所示得到振荡环节的极点令0222nnss21nnj2022-1-1060rcccuudtduRCdtudLC22RLC电路电路22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt+=质量弹簧系统质量弹簧系统kKmkfkmTskfskmkkfsmssYsFn

22、121111)()(222( )1( )1crUsUsLCsRCs121KLCRLCTn2022-1-1061振荡环节的阶跃响应振荡环节的阶跃响应2022-1-1062注意注意 不是所有的二阶系统都可以看作为振荡环不是所有的二阶系统都可以看作为振荡环节节 物理上：物理上：一定要有两类储能元件有能量的一定要有两类储能元件有能量的相互交换，并且相互交换，并且阻尼比较小阻尼比较小 数学上：数学上：传递函数的传递函数的极点极点必须为必须为共扼复数共扼复数 电机系统通常不能看作为振荡环节，但可电机系统通常不能看作为振荡环节，但可视为两个惯性环节相乘视为两个惯性环节相乘2022-1-10632.2 2.2

23、 典型环节的数学模型典型环节的数学模型四、四、一阶和二阶微分环节一阶和二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节时间常数1)( ssG2022-1-10642.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型四、四、一阶和二阶微分环节一阶和二阶微分环节 一阶微分可作为PD控制的理想模型 二阶微分一般只具有数学意义，在系统分析中起作用。 没有完全对应的物理元件可产生二阶微分的作用2022-1-10652.2 2.2 典型环节的数学模型典型环节的数学模型五、五、延迟环节延迟环节 延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。又称为纯滞后环节、时滞环节。 特点：特点：输出信号比输入信号迟后一

24、定的时间。就输出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说，延迟环节的输出是一个延迟时间是说，延迟环节的输出是一个延迟时间 后，完后，完全复现输入信号全复现输入信号 trtc sesRsCsG 式中式中 纯延迟时间纯延迟时间 e ex(t)- s 2022-1-1066 延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内, 没有输出，但t = 之后，输出完全等于输入。实例实例1：管道压力、流量等物理量的控制，管道压力、流量等物理量的控制， 其数学模型就包含有延迟环节。其数学模

25、型就包含有延迟环节。实例实例2：电力电子整流装置也可视为延迟环节，电力电子整流装置也可视为延迟环节， 当控制信号改变时，必须延迟当控制信号改变时，必须延迟，触发信号触发信号 才使晶闸管导通。才使晶闸管导通。2022-1-1067小结小结 环节是根据数学模型的形式划分的，不完环节是根据数学模型的形式划分的，不完全对应具体的物理装置或元件；全对应具体的物理装置或元件； 一个环节有时由几个元件之间的运动特性一个环节有时由几个元件之间的运动特性 共同组成；共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入输同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。出的物理量不同，可起到不

26、同环节的作用。2022-1-1068小结小结 1.比例比例KsG)(2. 惯性惯性11)(TssG T T 时间常数时间常数 阶跃响应特征指数曲阶跃响应特征指数曲线线 3.3.二阶振荡二阶振荡121)(22TssTsG T时间常数，时间常数，阻尼系数阻尼系数2022-1-1069小结小结 ssG1)(rc1s1src5.5.延迟环节延迟环节 sesG)(e ex(t)- s 6.6.微分环节微分环节这些环节一般不单独存在，只能与其它环节配合使这些环节一般不单独存在，只能与其它环节配合使用用4.4.积分积分一阶微分，二阶微分，纯微分一阶微分，二阶微分，纯微分2022-1-10702.3 2.3

27、结构图及其化简结构图及其化简 系统结构图 结构图又称方框图，是系统中各个环节的传递函数功能和信号流向的图形表示。 作用 可以表达出复杂闭环系统信号的流向和因果关系，通过化简可以得到闭环系统的传递函数。 本节内容 结构图的建立； 结构图的变换及化简2022-1-10711 1、信号线：、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。向。2.3 2.3 结构图及其化简结构图及其化简一、结构图的结构要素一、结构图的结构要素2 2、引出点：、引出点：信号引出或测量的位置。同一信号信号引出或测量的位置。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。线上引出的信号，其性质、大

28、小完全一样。2022-1-10722.3 2.3 结构图及其化简结构图及其化简一、结构图的结构要素一、结构图的结构要素3 3、方框：、方框： 表示典型环节或其组表示典型环节或其组合，框内为对应的传合，框内为对应的传递函数递函数 ，两侧为输，两侧为输入、输出信号线。入、输出信号线。函数方框具有运算功能 ，即2022-1-1073 相邻综合点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。2.3 2.3 结构图及其化简结构图及其化简一、结构图的结构要素一、结构图的结构要素4、比较点和综合点信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加

29、上此信号或减去此信号。2022-1-1074 求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。2022-1-1075 步骤步骤 明确信号的因果关系（输入明确信号的因果关系（输入/ /输出）。输出）。 建立系统各元部件的传递函数，并绘制出相应建立系统各元部件的传递函数，并绘制出相应的环节单元及比较单元。的环节单元及比较单元。 从与系统输入量有关的比较点开始，将各方从与系统输入量有关的比较点开始，将各方框单元依次连接起来框单元依次连接起来2.3 2.3 结构图及其化简结构图及其化简二、系统结构图的建立二、系统结构图的建立2022-1-1

30、076p例1：绘制下面的无源RC网络的系统结构图解： 1）列写该网络的算子方程2022-1-10773 3）将两方框图按信号的流向依次连接，得到下图）将两方框图按信号的流向依次连接，得到下图所示的系统方框图所示的系统方框图2）画出上述两式对应的方框图2022-1-1078例2：建立如图所示的双：建立如图所示的双T T网络的动态结构图网络的动态结构图2022-1-1079解：解：1 1）建立各元件的算子方程）建立各元件的算子方程1111211122221( )( )( )1 ( )( )( )1( )( )( )1( )( )rCCu su sI sRI sIsu ssCu susIsRIsus

31、sC2022-1-10802 2）绘出系统的动态结构图）绘出系统的动态结构图2022-1-1081例例3 3 随动系统结构图随动系统结构图2022-1-1082微分方程描述)(ppku2）放大器）放大器-发电机励磁发电机励磁 3）发电机）发电机-电动机组电动机组4）传动机构）传动机构dtdpfafffuRkIdtdITfgfIkEfdmmaEkdtdTdtdTT1221）电位器组）电位器组2022-1-1083基于拉氏变换的传递函数方程描述)()()(ssksUpp2）放大器）放大器-发电机励磁发电机励磁 3）发电机）发电机-电动机组电动机组4）传动机构）传动机构)(1/)(sUsTRksIp

32、ffaf)()(sIksEfgf)1)(1()()()1(1)(2sTsTksEsEsTsTTksmadffmmad( )( )tksss1）电位器组）电位器组2022-1-1084用结构图表示用结构图表示)()()(ssksUpp)(1/)(sUsTRksIpffaf)()(sIksEfgf pk1sTRkffafIgk112sTsTTkmmadfEsktpu)() 1(1)(2sEsTsTTksfmmad)()(sskst2022-1-1085 例4 电压测量系统的结构图环节有：环节有：比较电路，调制器，放大器，两相伺服比较电路，调制器，放大器，两相伺服电机，绳轮传动机构，测量电位器等电机

33、，绳轮传动机构，测量电位器等2022-1-10862022-1-1087两相伺服电机两相伺服电机2022-1-10882022-1-1089电压测量系统的结构图2022-1-10902.3 结构图及其化简三、结构图的等效变换和化简 在对系统进行分析时，常需要对结构图作在对系统进行分析时，常需要对结构图作一定的等效变换和化简。常用的方框图等效一定的等效变换和化简。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。变换方法可归纳为两类。 环节的合并环节的合并 信号分支点或汇合点的等效移动信号分支点或汇合点的等效移动 框图变换原则：框图变换原则：1、变换前、后的数学关系保持不变。、变换前、后的数学关系保持不变。

34、2、由繁化简、由繁化简2022-1-1091三、结构图的等效变换和化简1 1、 环节的合并环节的合并 环节之间互相连接有三种基本形式：环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并串联、并联和联和反馈连接反馈连接。 1 1）、串联化简）、串联化简2022-1-1092 2）、环节并联 sGsGsG 321321sRsRsRsCsCsCsC环节并联的等效传递函数等于各环节传递函数之和环节并联的等效传递函数等于各环节传递函数之和 sGsGsGsGsGsG321321sGsRsCsR2022-1-10933 3）、反馈连接）、反馈连接 负反馈连接负反馈连接E(s)=R(s)-B(sE(s)=R(s)-B(

35、s) )B(s)=H(s)C(sB(s)=H(s)C(s) )C(s)=G(s)E(s)=G(s)R(s)-B(sC(s)=G(s)E(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-H(s)C(s = G(s)R(s)-H(s)C(s)整理可得整理可得 1 sHsGsGsRsC2022-1-1094 sHsGsGsRsC13 3）、反馈连接）、反馈连接 正反馈连接正反馈连接同理可得正反馈连接时的闭环传递函数同理可得正反馈连接时的闭环传递函数2022-1-1095 复杂系统的方框图中常常出现复杂系统的方框图中常常出现信号或反馈信号或反馈环相互交叉环相互交叉的现象，此时可将信号相加点的现

36、象，此时可将信号相加点（汇合点）（汇合点）或信号分支点或信号分支点（引出点）（引出点）作适作适当的等效移动，先当的等效移动，先消除消除各种形式的交叉，各种形式的交叉，再进行等效变换即可。再进行等效变换即可。 信号引出点及汇合点前后移动的规则信号引出点及汇合点前后移动的规则： 1. 1.变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变必须保持不变; ; 2.2.变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。保持不变。三、结构图的等效变换和化简三、结构图的等效变换和化简2 2、信号汇合点和信号分支点的等效变换、信号汇合

37、点和信号分支点的等效变换2022-1-1096 1)1)、引出点移动、引出点移动引出点前移引出点前移 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框引出点后移引出点后移 在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框2022-1-1097 汇合点后移2)2)、汇合点移动、汇合点移动 汇合点前移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框2022-1-1098 3 3）汇合点变位注意：相邻引出点和综合点之间不能互换注意：相

38、邻引出点和综合点之间不能互换! !2022-1-1099 例题：求下图所示系统的传递函数例题：求下图所示系统的传递函数C(s)/R(sC(s)/R(s) )1432134323243211)()(HGGGGHGGHGGGGGGsRsC2022-1-10100小结：结构图三种基本形式小结：结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串 联联并并 联联反反 馈馈2022-1-101012 相邻综合点可互换位置、可合并相邻综合点可互换位置、可合并结构图等效变换方法结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式3 相邻引出点可互换位置相邻引出点可

39、互换位置、可合并可合并 注意事项：注意事项：1 不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 引出点综合点引出点综合点相邻，不可相邻，不可互换位置互换位置2022-1-10102引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果请你写出结果,行吗？行吗？2022-1-10103G2H1G1G3综合点移动综合点移动G1G2G3H1错！错！G2无用功无用功向同类移动向同类移动G12022-1-10104G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H12022-1-101052.4 信号流图和Mason公式的应用 信号

40、流图是一种表示线性化代数方程组变信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。一个系统的因果关量间关系的图示方法。一个系统的因果关系可以通过信号流图表示出来。系可以通过信号流图表示出来。 1940年，年，Shannon提出通过有向图把求提出通过有向图把求解线性方程组的克莱姆法则公式化解线性方程组的克莱姆法则公式化 1953年，年，Mason提出提出Mason公式，用来公式，用来分析线性系统，大大简化了运算。分析线性系统，大大简化了运算。 本节内容本节内容 信号流图的基本概念信号流图的基本概念 信号流图的化简和信号流图的化简和Mason公式的应用公式的应用。2022-1-101062.

41、4 信号流图和梅逊公式的应用 信号流图是一种有向图，可以用来表示一组变量之间的关系。 信号流图由节点和支路组成信号流图由节点和支路组成.一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念2022-1-101072.4 信号流图和梅逊公式的应用一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念 节点：系统变量节点：系统变量支路：两节点之间的定向线段支路：两节点之间的定向线段(框图表示框图表示)(信号流图表示信号流图表示)两节点之间的传递函数叫传输增益两节点之间的传递函数叫传输增益, ,用直线加箭头表示用直线加箭头表示2022-1-10108 1 1、源节点、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为只有输出支路，

42、没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点输入节点。2 2、汇节点：、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点输出节点。3 3、混合节点：、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，混合节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出可将混合节点变为输出混合节混合节点点2.4 信号流图和梅逊公式的应用信流图的基本术

43、语信流图的基本术语2022-1-10109 4 4、通路：通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。5 5、回路：回路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回路称为回路。如。如ae,bfae,bf； 自环：自环：如果从一个节点开始仅经过一个支路又回到该节如果从一个节点开始仅经过一个支路又回到该节点的，称为点的，称为自环自环，如，如g g 不接

44、触回路：不接触回路：几个没有公共节点的回路，如几个没有公共节点的回路，如ae,gae,g2022-1-10110 6 6、前向通路：、前向通路：从输入节点到输出节点通路上通过任何节点从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益。向通路总增益。 7 7、回路增益：、回路增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益。2022-1-10111 说明说明信号流图只适用于线性系统信号流图只适用于线性系统信号只能沿着支路上的箭头指向传递信号只能沿着支路上的箭头指向传递在

45、节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路后的信号传送到所有的输出支路 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。 2.4 信号流图和梅逊公式的应用一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念2022-1-10112 1 1、由线性代数方程组绘制、由线性代数方程组绘制下面以例子说明绘制步骤输出量输入量式中5

46、14453355444334422335524423321122, - xxxaxaxxaxaxxaxxaxaxaxax2.4 信号流图和梅逊公式的应用二、信号流程图的绘制二、信号流程图的绘制2022-1-10113 注意：一个系统的信号流图不是唯一的102201xaxbxxcxdx10220111cxxxddaxxxbb 如果写成下面的因果关系式如果写成下面的因果关系式2022-1-101142 2 根据方框图绘制根据方框图绘制1 1）用小圆圈在结构图的信号线上标志出传递的）用小圆圈在结构图的信号线上标志出传递的信号信号-节点节点 2)2)用标有传递函数的线段代替方框，得到支路用标有传递函数

47、的线段代替方框，得到支路 3 3）注意结构图中汇合点的处理：）注意结构图中汇合点的处理： 2.4 信号流图和梅逊公式的应用二、信号流程图的绘制二、信号流程图的绘制2022-1-10115例例1 1：根据下面的方框图绘制信号流程图：根据下面的方框图绘制信号流程图2022-1-10116例例2 2：根据下面的方框图绘制信号流图：根据下面的方框图绘制信号流图 2022-1-10117（l l）串联）串联 串联支路的总传输增益等于各支路传输增益的乘积。串联支路的总传输增益等于各支路传输增益的乘积。 . .2.4 信号流图和梅逊公式的应用三、信号流图的简化三、信号流图的简化 （了解）（了解）（2 2）并

48、联）并联 并联支路的总传输增益等于各支路传输增益之和。并联支路的总传输增益等于各支路传输增益之和。2022-1-10118 （3 3）混合节点消去。）混合节点消去。 2.4 信号流图和梅逊公式的应用三、信号流图的简化三、信号流图的简化 （了解）（了解）2022-1-101192.4 信号流图和梅逊公式的应用三、信号流图的简化三、信号流图的简化 （了解）（了解）（4 4）回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路。）回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路。2022-1-10120例3：将例1的信号流程图化简，并写出C(s)/R(s) 2022-1-10121-12022-1-101222.4

49、 2.4 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用四、四、Mason Mason 增益公式增益公式（重点掌握）（重点掌握） 19531953年，年，Mason(梅逊）根据线性方程组解的特点与信号流图进行比较研究后，得出了Mason公式。 应用Mason公式，可以仅根据信号流图，直接写出系统的传递函数。2022-1-101232.4 2.4 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用四、四、Mason Mason 增益公式增益公式（重点掌握）（重点掌握） Mason 公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示它用下式表示kkPT

50、1T T系统的总增益（总传输）系统的总增益（总传输） P Pk k第第k k条前项通道的增益条前项通道的增益 信流图的特征式，按下式计算信流图的特征式，按下式计算2022-1-10124 k第第K条前向通道的信号流图特征式的余条前向通道的信号流图特征式的余子式，即从子式，即从 中除去与第中除去与第K条前向通道相接条前向通道相接触的回环后余下的部分。触的回环后余下的部分。 式中式中 L L1 1信号流图中信号流图中所有不同回环所有不同回环的的传输之和传输之和； L L2 2所有两个互不接触回环所有两个互不接触回环传输的传输的乘积之和乘积之和 L L3 3所有三个互不接触回环所有三个互不接触回环传

51、输的传输的乘积之和乘积之和 L Lm m所有所有m m个互不接触回环个互不接触回环传输的传输的乘积之和乘积之和 2022-1-10125例1 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数2022-1-10126解：解：该系统有该系统有3个回路，且个回路，且3个回环均有接触的节点，个回环均有接触的节点，三个回路的增益和为三个回路的增益和为 1121232123LGG HG G HGG G 11212321231L1GG HG G HGG G 系统的特征式为：系统的特征式为： 2022-1-10127源节点源节点R(sR(s) )和汇节点和汇节点C(sC(s) )之间只有一条前向通道之间只有一条前向通道n=1

52、n=1。通道。通道传输为：传输为： 113211GGGP 321232121321111GGGHGGHGGGGGPTsRsC系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为： 2022-1-10128例例2：绘制三级RC网络结构图，并求其传递函数Uc/Ur 。（1）绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，可以直接绘出网络的结构图： （2）求传递函数。该结构图有5个反馈回路，回路传递函数均相同，即RCsLLL1521RCsLi5有6组两两互不接触回路，为-、-、-、-、-及-： 222sCRLLji6有1组三个互不接触的回路，即-： 3331sCRLLLkji2022-1-10129特征式为 33322

53、2111sCRsCRRCs LLLLLLkjijii65前向通路只有一条： 33311sCRP 前向通路与各反馈回路均有接触，余子式： 1 = 1则由梅逊公式可求得总传递函数：1111122233333322233311RCssCRsCR sCRsCRRCssCRPUUrc65652022-1-10130R(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3

54、(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s)H3(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s)

55、 G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)G4(s)G3(s)梅逊公式例梅逊公式例R-C H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)P2= G4G3P1=G1G2G31=12=1+G1H1C(s)R(s)=?请你写出答案，行吗？请你写出答案，行吗？2022-1-10131G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s

56、)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)P1=11=1+G2H2P11= ?E(s)=1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2- G1H1(G2H3)R(s) N(s)(1+G2H2) (- G3G2H3)+R(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)C(s)N(s)R(s)E(S)G3(s)G2(s)H3(s)E(S)R(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)P2= - G3G2H32= 1P22=?梅逊公式求梅逊公式求E(s)P1= G2H31= 1N(s)G1(s)H1(s

57、)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)2022-1-10132四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1+前向通路两条前向通路两条信号流图信号流图afbg ch efhgahfced(1g)bdabc2022-1-101332.5 2.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数 典型控制系统的方框图如图所示，图中典型控制系统的方框图如图所示，图中R(sR(s) )为参考输入，为参考输入，D(sD(s) )为扰动信号。为扰动信号。E(sE(s) )为误差信为误差信号，号，B(sB(s) )为反馈

58、信号为反馈信号 参照该图，我们给出控制系统中几种常参照该图，我们给出控制系统中几种常用传递函数和求法。用传递函数和求法。2022-1-10134开环传递函数：开环传递函数：当干扰信号当干扰信号D(sD(s)=0)=0，把主反馈通道断开，系统主反馈信号B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数2.5 2.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数一、开环传递函数与前向通道的传递函数一、开环传递函数与前向通道的传递函数2022-1-10135前向通路传递函数：前向通路传递函数：系统的输出量系统的输出量C(sC(s) )与误差信与误差信号号E(S)E(S)的比值称为系统的的比值称为系统的前向

59、通路传递函数前向通路传递函数2.5 2.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数一、开环传递函数与前向通道的传递函数一、开环传递函数与前向通道的传递函数2022-1-101361 1、参考输入（给定）作用下的闭环传递函数、参考输入（给定）作用下的闭环传递函数 图中图中C CR R(s(s) )和和E ER R(s(s) )分别为分别为R(S)R(S)作用下的作用下的输出与误差。输出与误差。参考输入作用下的闭环传递函数参考输入作用下的闭环传递函数C CR R(s)/R(s(s)/R(s) ) sHsGsGsGsGsRsCR212112.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数二、闭环系统

60、的传递函数二、闭环系统的传递函数（D(s)=0）2022-1-101371 1、参考输入（给定）作用下的闭环传递函数、参考输入（给定）作用下的闭环传递函数 输入作用下误差的闭环传递函数输入作用下误差的闭环传递函数E ER R(s)/R(s(s)/R(s) )2.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数二、闭环系统的传递函数二、闭环系统的传递函数2022-1-101382.5 控制系统中的传递函数控制系统中的传递函数二、闭环系统的传递函数二、闭环系统的传递函数2 2、扰动作用下的闭环传递函数、扰动作用下的闭环传递函数令令r(tr(t)=0)=0，有扰动作用下系统的方框图，有扰动作用下系统的方