初中几何经典培优题型(三角形)

1、全等三角形辅助线找全等三角形的方法：1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； 3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； 4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形; 引平行线构造全等三角形； 作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中

2、线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质 加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起

3、来，利用三角形面积的知识解答常见辅助线写法：过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D延长AB至C,使BC = AC在AB上截取 AC ,使AC = DE作/ ABC的平分线，交 AC于D取AB中点C,连接CD交EF于G点如图，AB = CD = 1 , / AOC = 60° 证明：AC + BD > 1。（2007年北京中考）如图，已知 ABC请你在BC边上分别取两点 D、E （ BC的中点除外），连接AD、AE,写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；AB + AC > AD +

4、AE。请你根据使成立的相应条件，证明已知线段 OA、0B、OC、OD、OE、OF。/ AOB = / BOC= / COD = / DOE = / EOF = 60 ° 且 AD = BE= CF = 2。求证：OAB +OCD + OEF V 丽。如图1在四边形 ABCD中，连接对角线 AC、BD，如果/ 1 = / 2,那么/ 3=/ 4。 仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图 2，设 P 为口ABCD 内一点，/ FAB =/ PCB，求证：/ PBA =/ PDA。集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助 线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上

5、，使它们相对集中， 便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说 ABC平移至 DEF。1.在正方形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且 EG丄FH，求 证：EG= FH。2.如图所示, 个四边形,P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一 并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和 BC。3.如图，已知 ABC的面积为16,BC= 8,现将 ABC沿直线BC向右平移a个单位到 DEF 的位置。当a= 4时，求 ABC所扫过的面积；连接AE、AD，设AB =

6、 5，当 ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。4.如图，AA BB CC =1 / AOB 纟 BOC MCOA' =60° 求证:SaOBSbOC ScOA例1如图，E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF = 45° AH丄EF, H为垂 足，求证：AH = AB。例2 ABC/ BPC中,/ ACB = 90 ° AC = BC,卩是ABC 内的一点，且 AP= 3, CP= 2, BP = 1,求 的度数。例3已知在 ABC中，AB= AC, P为三角形内一点，且/ APB>/ APC,求证：PBvPC。有边相

7、等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是 180° ° 90°等等例4已知 ABC, / 1 = / 2, AB= 2AC, AD = BD。求证：DC 丄 AC。AB = AE, / BAE = 30 ° 求证：BE= CE。例6在ABC 中，E、F 为 BC 边上的点，已知/ CAE =/ BAF，CE= BF，求证：AC = AB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现 特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调:旋转和翻折只能是一种

8、作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将 ABC旋转或翻折至 DEF。a。1.如图，0是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形 纸板的圆心方在 0点处，并将纸板绕 0点旋转，其半径分别交 AB、AD于点M、N，求 证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值D2. （2008 山东）在梯形 ABCD 中,AB / CD , / A = 90° AB = 2, BC= 3, CD = 1, E 是 AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。3如图，P是等边 ABC内一点，若 AP = 3, PB= 4, PC = 5,求/ APB的

9、度数。4已知：在 Rt ABC中，/ BAC=90° AB=AC,点D、E分别为线段 BC上两动点， / DAE=45°。猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。CE'A5.如图，已知等腰直角三角线 ABC, BD平分/ ABC, CE丄BD ,垂足为E,求证：BD = 2CE。6.如图，折叠长方形的一边 AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB = 8, BC = 10,求 EC的长。EF(D)2中点的妙用V一、倍

10、长中线法例1（北京文汇中学 2009-2010期中测试题），AD是 ABC中BC边上的中线，若 AB 2，AC 4，则 AD的取值范围是D例2已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长 BE交AC于F, AF EF , 求证：AC BE。例3如图1 , ABC与 BDE均为等腰直角三角形， BA丄AC, ED丄BD ,点D在AB边上。连接EC, 取EC中点F，连接AF , DF，猜测AF , DF的数量关系和位置关系，并加以证明。图1D在CB延长线上，其他条件不变,如图2,将 BDE旋转至如图位置，使 E在AB延长线上， 则中AF，DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以

11、证明。C图2已知四边形ABCD 四边形。A中，E, F, G, H分别为AB, BC, CD , DA的中点，求证 EFGH为平行如图，已知四边形 延长线交于E、F,ABCD中，AB CD，M、N分别为 BC、AD中点，延长 MN与AB、CD 求证/ BEM / CFM已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且/ ABD / ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。求证：MB MC;设/ BAD / CAE,固定Rt ABD，让Rt ACE移至图示位置，此时 MB MC是否成立？请证 明你的结论。EE如图,角形。出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法 倍长中线法 构造中位线如果是直

12、角三角形，经常还会构造斜边上的中线已知 ABC和 ADE都是等腰直角三角形，点 M为EC中点，求证 BMD为等腰直角三1. 在 ABC中，AB 12, AC 30,求BC边上的中线 AD的范围。C2. 在 ABC中，D为BC边上的点，已知/ BAD / CAD , BD CD，求证：AB AC。13. 如图，在 ABC中，AD丄BC, M是BC中点，/ B 2/ C,如图，求证： DM AB24.已知 ABC中，AC=7, BC 4, D为AB中点，E为边AC上一点，且 AED90- C，2求CE的长。5.在任意五边形 ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、1MN、PQ的中点，求证：KL平行

13、且等于AE。4CD、BC、DE的中点,K、L、分别为延长 AB至U D，使BDAB,6.如图，已知 ABC中，AB AC, CE是AB边上的中线, 那么CE是CD的几分之几？7.四边形ABCD四边中点分别为 E、F、G、H，当四边形 为菱形；当四边形 ABCD 时，EFGH为正方形。满足时，EFGHCABCD满足为矩形；当四边形EFGH_时，ABCD满足例1在 ABC中，/ B=2/ C,/ BAC的平分线 AD交BC与D。求证：AB BD AC。例2ABCD是正方形，P为BC上任意一点，/ PAD的平分线交 CD于Q,求证：DQ AP BP。已知 ABC，/ ABC=90° ,以A

14、B、AC为边向外做正方形 ABDE和ACFG，延长 BA交EG 于 H，贝U BC 2AH。补形法FAD是 ABC的角平分线，BE丄AD交AD的延长线于 E,EF/AC交AB于F。求证：AF FB。C例5如图，六边形 ABCDEF的六个内角都相等，已知 BC CD 11, DE AB 3,求DC EF的值。E例6如图所示：BC>AB, AD AC, BD 平分/ ABC，求证：/ A / C 180°A1.如图，在 ABC中，AB BD AC，/ BAC的平分线 AD交BC与D，求证：/ B 2/ CC已知 ABC，以AB、AC为边向外作正方形 ABGF、ACDE , M是BC

15、中点，连接 AM 求证：EF = 2AM且AM丄EF。3. 在 ABC 中，AB AC,/ A 100 ° , BE 评分/ B 交 AC 与 E,如图，求证：AE BE BC4. 在 ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与/ B的平分线交与 F，如图所示。 求证：AF丄BF5. 在 ABC中，MB、NC分别是三角形的外角/ ABE、/ ACF的角平分线， AM丄BM ,1AN 丄 CN,垂足分别是 M, N。求证：MN/ BC, MN - (AB AC BC)6.在 ABC中，MB、NC分别是三角形的内角/ABC、AN丄CN,垂足分另是 M , N。求证：MN/ BC, MN/

16、ACB的角平分线,1-(AB AC BC)AM 丄 BM,M巧构等边、求/ BAD的度数。D在四边形 ABCD 中，已知 AB BC CD , / ABC 70° / BCD 170°如图， ABC 中，AB AC, AD BC，/ A 20° 求/ DCA 的度数。例3任意 ABC，试在 ABC内找一点P,使得PA PB PC的值最小C例4（2000北京初二数学竞赛），在等腰 ABC中，延长边 AB到点D,延长边CA到点E,连接DE ,恰有 AD BC CE DE。求证：/ BAC 100°。C例5如图所示，在 ABC中，/ B 60°/ A 100° E为AC的中点，/ DEC 80° D是BC边 上的点，BC 1，求 ABC的面积与 CDE的面积的两倍的和。例6如图所示，在 ABC中，/ ACB 2/ ABC, P为三角形内一点， AP AC , PB PC, 求证：/ BAC 3 / BAP。1如图所示，在四边形ABCD中,BC CD , BCA ACD 60 ,求证：AD CD AB。2.在 ABC 中，AB