自动控制原理(胡寿松)第六版 第二章 控制系统的数学模型2

1、前言前言 数学模型基础数学模型基础2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型2.2 2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型2.3 2.3 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图2.4 2.4 控制系统建模实例控制系统建模实例End End 本章作业本章作业 1.1.定义定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。态关系的表达式。2.5 2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作

2、（或基础工作）。（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。征，研究其内在的共性运动规律。2.22.32.4 1) 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统统 2) 2) 简化性和

3、准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理理 3) 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 4) 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。 1) 1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2) 2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3) 3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长6.6.由

4、数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性 1) 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。程，合在一起。 2) 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。系统辨识的方法，得到数学模型。 三个基本的无源元

5、件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力: :惯性力惯性力ma;ma;弹性力弹性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-12-1 弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力F

6、k(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间变量。中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)2.12.1控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )( )(dtdyffvtFf （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程, ,消去中消去中间变量间变量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122t

7、Fkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t) 例例2-2 2-2 电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以u ur r( (t t) )为输入量，为输入量，u uc c( (t t) )为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。令令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为，则方程化为)(1222tFkydtdyTdtydTfm R C ur(t) uc(t) L量纲量纲s(课本上有推导课本上有推

8、导,p28)，静态放大倍数，静态放大倍数1/K 解：解：（1 1）确定输入量）确定输入量为为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中，中间变量为间变量为i(t)。 rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的关系式的关系式: : dtduCic （5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)（6 6）整理成标准形，

9、令）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221 2.2.4 2.2.4 线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110rcccuudtduRCdtudLC 22 Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完

10、成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与，其大小与M Ra ua La ia if=常数常数 Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。 下面推导其微分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机为扰动输入，电动机角速度角速度 为输出量；为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，时，激磁磁通视为

11、不变，则将变量关系看作线性关系；激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式）列写原始方程式 电枢回路方程：电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiL uaMRaLa ia if=常数常数Ea电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJ J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km

12、 iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 电动机轴上转矩平衡方程：电动机轴上转矩平衡方程：)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm Jm=J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量; Mm =MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩; Mc =ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea = Ce Ce =Ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定

13、。 Mm = km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 aaaaaauEiRdtdiL LmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 dtdMkLMkRukdtdkJRdtdkJLLmaLmaaemama22dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 meamkkJRT 令机电时间常数令机电时间常数Tm : :令

14、电磁时间常数令电磁时间常数Ta : :aaaRLT 1)1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22 一阶系统一阶系统dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 二阶系统二阶系统（2-21）2)对微型电机，转动惯量对微型电机，转动惯量J很小，且很小，且Ra 、La都可忽略都可忽略eaaekuuk 13) 随动系统中，取随动系统中，取为输出为输出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224) 在实际使用中，转速常用在实际使用中，转速常用n n（r/minr/min）表示表示,设

15、设 ML=0aemmaukndtdnTdtndTT2213022230602eekknn，令代入0 meamkkJRT0 aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 1) 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的、及内部及内部，搞清各变量之间的关系。搞清各变量之间的关系。 2) 2) 忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。 3) 3) 根据相关基本定律，列出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的。 4) 4) 列写中间变量的列写中间变量的。 ！ 5) 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。联立上述

16、方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 6) 6) 将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。 2.52.12.32.43. 3. 线性系统的基本特性线性系统的基本特性cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：则方程一般具有以下形式：式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从

17、工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。 cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。

18、上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC 22当分析一个当分析一个机械系统或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。 非线性非线性系统：用非线性微分方程描述。系统：用非线性微分方程描述。)(2tFykydtdyf )(tFkydtdyf )()(tFytkdtdyf * 微分方程的类型微分方程的类型 线性线性定常定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数

19、。 线性系统的线性系统的重要性质重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入如果输入r1(t)输出输出y1(t)，输入，输入r2(t)输出输出y2(t) 则输入则输入a r1(t)+b r2(t) 输出输出a y1(t)+by2(t) 线性线性系统：用线性微分方程描述。系统：用线性微分方程描述。 线性线性时变时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。随时间而变化的。2.2.12.2.32.2.4xdxxdfyxx 0)( 22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfy

20、yyxxxxxdx)x(df)x( fyyy0 xx00 5 非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化：小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、一、假设假设：x,y在平衡点（在平衡点（x0,y0)附近变化，即附近变化，即 x=x0+x, y=y0+y二、二、近似处理近似处理略去高阶无穷小项略去高阶无穷小项 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特

21、性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、三、数学方法数学方法2.2.12.2.42.2.2一一. .复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质 1.定义定义 记记 X(s) = Lx(t) 2. 2.进行拉氏变换的条件进行拉氏变换的条件 1)1)t 0 0，x(t)=0 0；当；当t 0 0，x(t)是分段连续；是分段连续； 2)2)当当t t充分大后满足不等式充分大后满足不等式 x(t) Mect，M，c是常数。是常数。 3.3.性质和定理性质和定理 1)1)线性性质线性性质 L ax1(t) + bx

22、2(t) = aX1(s) + bX2(s) 0)()(dtetxsXst)0()()(xssXdttdxL 2)2)微分定理微分定理)()(ssXdttdxL 若若 , ,则则 0)0()0( xx)()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn )0()0()()(222xsxsXsdttxdL sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若若x 1(0)= x 2(0) = = 0，x(t)各重积分在各重积分在t=0的值为的值为0时，时，3)3)积分定律积分定律 )0(1)(1)()1( xssXsdttxLX（-1）(0)是

23、是x(t)dt 在在t=0 0的值。同理的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1 5)5)初值定理初值定理 如果如果x(t)及其及其一阶导数是可拉氏变换的，并且一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)4)终值定理终值定理 若若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数则函数x(t)的终值为：的终值为：)(lim)(lim0ssXtxst )(lim)0(ssXxs )(limssXs 存在，则存在，

24、则6)6)延迟定理延迟定理L x(t ) 1(t ) = esX(s) Le at x(t) = X(s + a)7)7)时标变换时标变换)(asaXatxL 8)8)卷积定理卷积定理 tdxtxLsXsX02121)()()()( 4.4.举例举例 1 1、 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 解：解：2 2、 求单位斜坡函数求单位斜坡函数x(t)=t的拉的拉氏变换。氏变换。 解：解： 020011 )()(sdtesestdttetxLsXststst 2)1(1)0(11)(11 )(1)(sstLsdttLtLsX sesdtetxLsXstst1

25、1 )()(003 3、 求正弦函数求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：jeettjtj2sin 02dtejeesXsttjtj 221121 sjsjsj 以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。可查表求得。1)(cos22 tLsstL 4 4、 求函数求函数x(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 00, 0 00 )(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+)1 ()(00ststesAesAsAsX 解：解： x(t) = x1(t) + x2(t)

26、=A 1(t) A 1(t t0 ) asesadteesXtsastat 11)(0)(05 5、 求求e at 的拉氏变换的拉氏变换。解解: : asetLsXat 1)(1)(6 6、 求求e 0.2 t 的拉氏变换的拉氏变换。解：解：15551152 . 0sseLeLtt ，求，求x(0)， x( )。解：解：7 7、 若若0lim)(lim)(00 assssXxss 1. 1.定义定义 由象函数由象函数X(s)求原函数求原函数x(t) 0)( )(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 2. 2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值

27、根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法查表法 astxL 1)(1lim)(lim)0( assssXxss niiinnpscpscpscpscsX12211)()()()()(式中式中ci 是待定常数，称为是待定常数，称为X(s)在极点在极点si 处的留数。处的留数。)()(limsXsscissii nitpiniiiiecpscLsXLtx1111)()()(（2 2） D(s) = 0有重有重根。设有根。设有r个重根个重根p1 ，则，则 nriiirrrnrrpscpscpscpscpspspssNsX111121111)()()()()()()()()( )()(lim! 1

28、11)1()1(1sXpsdsdrcrrrpsr )()(limsXpscipsii i = r+1, , n nritpitprrrriecectctrctrcsXLtx11221111)!2()!1()()( )()(lim111sXpscrps )()(lim121sXpsdsdcrps )()(lim! 211)2()2(31sXpsdsdcrps 3. 3. 举例举例 2-7 2-7 1 1、，求原函数求原函数x(t)。解：解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)13)1)(3(2)(21 scscssssX2112lim)()3(lim331 sssXscss

29、2132lim)()1(lim112 sssXscss)(21)(3tteetx 342)(2 ssssX223)(2 ssssX的原函数的原函数x(t)。2 2、 求求解：解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j) jscjscjsjsssX 11113)(21 jjsXjscjs24)(1lim11 jjsXjscjs24)(1lim12 tteejjejjsXLtxttjtjsin4cos 2424)()(111 1) 1(41) 1(1)(22ssssXLe at x(t) = X(s + a) 121)(3lim34 sXscs32

30、)(lim03 ssXcs 21)(1lim211 sXscs 43)(1lim212 sXsdsdcsttetetx312132)23(21)( 的原函数的原函数x(t)。解解：3 3、 求求)3()1(2)(2 sssssX31)1()(43221 scscscscsX 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)1)对微分方程两边进行拉氏变换。对微分方程两边进行拉氏变换。 2)2)求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。域的解。 3)3)求求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。4. 4. 线

31、性常系数微分方程的求解（二）线性常系数微分方程的求解（二）微分方程式微分方程式r(t)c(t)求解代数方程求解代数方程时域解时域解c(t)Ls的代数方程的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式求解微分方程式s域解域解C(s) L-1 例例2-72-7 求解微分方程：求解微分方程： 解解：两边取拉氏变换两边取拉氏变换 s2Y(s) sy(0) y (0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s22/3152/5 )2)(1(5)23(52332/5)(2222 ssssssssssssssssssY)( 15)(2)(3)(22ttydttdydttdy y(t) = 5/2 5 e

32、 t + 3/2 e 2t初始条件：初始条件：y(0)= 1, y (0) =2 例例2-72-7 图示的图示的RC电路，当开关电路，当开关K突然接通后，试求出电突然接通后，试求出电容电压容电压uc(t)的变化规律。的变化规律。 解：解：设输入量为设输入量为ur (t)，输出量为，输出量为uc (t)。由。由KVLKVL写出电路方程写出电路方程 rccuudtduRC 电容初始电压为电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换对方程两端取拉氏变换 R C ur uc tRCctRCceueutu1100)1()( RCsuRCssusUcc110111)(0 当输入为阶跃电压当输入为阶跃电压

33、ur (t) = u0 1(t)时时, u0为幅值，为幅值， 得得)0(1)(11)(crcuRCsRCsURCssU 式中右端第一项是由输入电压式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状决定的分量，是当电容初始状态态uc(0) =0 时的响应，故称时的响应，故称； 第二项是由电容初始电压第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称时的响应，故称。)()()0()(sUsUussURCrccc 用拉氏变换求解的优点：用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程）复杂的微分方程变换成简单的代数

34、方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确不用另行确定积分常数定积分常数3）若所有的初值为）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用，拉氏变换式可直接用s 代替代替 , 得到。得到。 当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，往往并，往往并不需要求出解，可用不需要求出解，可用图解法图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。的特征，初值、终值等，满足工程需要。dtd222dtds 代替 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、

35、零输入响应。求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(*线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 R1 C1i 1(t)ur(t)uc(t)例例2.15 已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) 拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，考虑初始条件，对微分方程中的每一

36、项分别进行拉氏变换，得到变量得到变量s的代数方程；的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。式，即为所求微分方程的解。解：解：) s (U) s (U) s (sUCRrcc11 1sCR1)s (U)s (U11rc 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换： 传递函数的定义传递函数的定义)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdad

37、ttcdammmmmmnnnnnn nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCSG 11101110)()()()()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数拉氏变换之比，称为传递函数 。 2.2.1 2.2.1 传递函数的性质传递函数的性质 (a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 (b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。传递函

38、数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 (c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。( (d d) )传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。 ( (e e) )传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）的运动情况。（零状态解）( (f f) )传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量s s 的有理分式，它

39、的分母多项式是系统的特征多项式，的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n n m m。并且所有的系数均为实数。并且所有的系数均为实数。(g)(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。 系统辨识系统辨识 )()()()()()()()(1)()(1sGtgsGLtcsGsGsRsCtLsR 1、如图、如图RLC电路，试列写网络传递函数电路，试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLC

40、rccc )()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc例例2.8 RLCi(t)ur(t)uc(t)LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)参见解解:1) 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：传递函数：传递函数：2) 变换到复频域来求。变换到复频域来求。 求零状态条件下阶跃响应求零状态条件下阶跃响应uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) ; 3）求脉冲响应）求脉冲响应g(t)。1111)()()(11 ssCRsUsUsGrc)1(11)()( ssssUsUrctce1)

41、 t (u （前例已得）（前例已得） )()()(11sUsUssUCRrccrccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(tesLsGLtg 11)()(112、 已知已知R1=1，C1=1F， 1）对上式进行拉氏反变换：对上式进行拉氏反变换：3）解解: 1）2） R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t) 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式： njjmiinmp

42、szsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()( n1jjm1ii)sT1(s)s1(K)s (G K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。2.2.2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 0 j S平面平面 零、极点分布图。零、极点分布图。 传递函数分子多项式与分母多传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：项式也可分解为如下形式： 传递函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式称为传递函数的零点；分母多项式的根的根pj称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。K*称为

43、传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。2 G(s)的微观结构的微观结构 G(s)是关于是关于s的有理分式，可分解成多种形式：的有理分式，可分解成多种形式：1）零极点表达式）零极点表达式).().(.)(1111101110nmgnnnnmmmmpspszszskasasasabsbsbsbsG 00abkg 可知：传递函数定，零、极点和可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数数可用零极点和传递系数等价等价表示。表示。 零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称零极点既可以是实数，也可以是复数，

44、表示在复平面上，形成的图称传递函数的传递函数的零、极点分布图零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是。传递系数，传递系数，根轨迹增益根轨迹增益静态放大倍数,0)()1).(12)(1()1).(12)(1(.)(0222212222111101110 tsKabsGsTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGnmsjinnnnmmmm 较容易分解成一些典型环节，较容易分解成一些典型环节，chapter5 应用应用p1p2j1 1 j 0 2 3

45、p3z1)22)(3(2)(2 sssssG 例如，试画出下面传递函例如，试画出下面传递函数的零极点图。数的零极点图。例例2.6 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点极点决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点零点影响各模态在响应中影响各模态在响应中所占比重。所占比重。 )2)(1(24)(1 ssssG)2)(1(25 . 1)(2 ssssGtteessssLtc211321)2)(1(24)( tteessssLtc2125 . 05 . 01)2)(1(25 . 1

46、)( 2.2.3 传递函数的零点和极点对输出的影响传递函数的零点和极点对输出的影响 2.2.4 可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有型环节有6 6种，这些典型环节种，这些典型环节, ,对应典型电路。这样划分对系统分对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。析和研究带来很大的方便。 分述如下：分述如下： 121) 12(11) 1() 1() 12)(1() 1() 12)(1()()()(2222222211222212222111101110ssTsssTsKsTssTsTssssKaasasabsbsb

47、sbsRsCsGjinnnnmmmm 比例环节比例环节 : G(s)=K 积分环节积分环节 : G(s)=1/s 微分环节微分环节 G(s)=s11)( TssG1)( ssG 222222121)(nnnssTssTsG 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 惯性环节惯性环节: 一阶微分环节一阶微分环节: 振荡环节振荡环节 :1. 1.比例环节比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）等） 运动方程式运动方程式 c(t) = K r(t) 传递函数传递函数 G(s) = K 单位阶跃响应单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K

48、1(t) 可见，当输入量可见，当输入量r(t)=1(t)时，时，输出量输出量c(t)成比例变化。成比例变化。 r(t)1c(t)t0K 2.2.惯性环节惯性环节 微分方程式：微分方程式： 式中，式中，T是惯性环节时间常数。是惯性环节时间常数。惯性环节的传递惯性环节的传递函数有一个负实极函数有一个负实极点点 p = 1/T，无零点。，无零点。传递函数：传递函数：11)( TssG)()()(trtcdttdcT 01 t ec(t)TtTsssTssRTssC/111111)(11)( j 0 1/T单位阶跃响应单位阶跃响应: :3.3.积分环节积分环节微分方程式：微分方程式：ssRTsCdrT

49、tct)()()()(110 传递函数：传递函数：TssG1)( 阶跃响应曲线是按指数阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。上升的曲线。01 t ec(t)Tt0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T单位阶跃响应：单位阶跃响应：tTtc1)( sTssC11)( 当输入阶跃函数时，该环节的输出当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由随时间直线增长，增长速度由1/T决定。决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有不变，故有。4.4.微分环节微分环节 微分方程式为：微分方程式为：dttdrTtc)()( r(t)t0

50、1c(t)t01T TsTssG 1)( c(t) = T (t) 由于阶跃信号在时刻由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其他有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应的响应 理想的微分环节在物理系统中很少独理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：传递函数为：传递函数为： G(s)=Ts单位阶跃响应：单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T1)(21 sTsTsGsTsT121 )(G时，时，当当 式中，式中，T 0，0 1， n = 1/T，T

51、 称为振荡环节的称为振荡环节的，。振荡环节有一对位于。振荡环节有一对位于s左半平面的左半平面的共轭极点：共轭极点：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 传递函数为：传递函数为： 121)(22 TssTsG 2222)(nnnsssG 或或dnnjjp 2211,5.5.二阶振荡环节二阶振荡环节 微分方程式为：微分方程式为：)sin(111)(2 tetcdtn式中，式中，。响应曲线。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。荡环节。c(t) t 01ssssRsGsCnnn12222 )()()(dnnjjp 2211, np1p2 j d n

52、j 0微分方程式为：微分方程式为： c(t) = r(t )传递函数为：传递函数为：单位阶跃响应：单位阶跃响应： sesCs1)( c(t) = 1(t )r(t)t01c(t)t01 sesG )(ABnsnnnsnene)()(lim 11111慢变信号慢变信号ssses 12122纯滞后环节纯滞后环节图2-18 具有传递滞后的装置 测量点处溶液的浓度混合点处溶液的浓度式中tctrvd, trtc sesRsCsG 则则如果如果电气网络传递函数的求取电气网络传递函数的求取无源网络电路图2-19 无源网络图2-19中z1和z2为复数阻抗，由图得221)()(ZsUZZsUIcr即212)()

53、()(ZZZsGsUsUrc1/1/11111111sCRRsCRsCRZ（2-41）图2-20 R-C电路例例2-1 求图2-20所示电路的传递函数解：解：sCCRsCRZ222222111)() 1)(1(111)()(211122221211122222111222212sCRCRCRsCCRRsCRsCRsCCRsCRRsCCRZZZsUsUrc由式（2-41）得有源网络电路图2-21 有源网络1图2-22 有源网络2设Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，并略去运放的输入电流，则由图2-21得0AU21)()(ZsUZsUcr12)()(ZZsUsUrc基于上述同样的假设，由图2-22得

54、即1143221ZUIIIIIIr443322ZUUIZUIZUICBBB消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和UB，求得：31324243)()()(ZZZZZZZZsUsUsGrc例例2-2 求图2-23、图2-24所示两个有源网络的传递函数。1）在图2-23中，于是得CsCsRCsRZRZ1122211)11 (1)()()(21211212CsRRRCsRRRZZsUsUsGrc2）在图2-24中，3432211/1RCs、s、ZR、ZRZ则由式（2-43）得1323213322)(/)()()(RCsRRRRCsRCsRRRCsRsUsUsGrc图2-23 PI调节器图2-2

55、4 PD调节器2.3.1 2.3.1 结构图的定义及基本组成结构图的定义及基本组成1.1.结构图的定义结构图的定义: 讨论过的直流电动机转速控制系统，用讨论过的直流电动机转速控制系统，用可描述其可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。可迎刃而解。放大器放大器电动机电动机测速机测速机urufua e+- 转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态代入相应的方框中，并标明两端对应的

56、变量，就得到了系统的动态。 用用G(s)G(s)代替相应的元件，代替相应的元件，好处：好处：因此，它是对系统每个元件因此，它是对系统每个元件功能和信号流向功能和信号流向的图解表示，也就的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。是对系统数学模型的图解表示。Ka1/ keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf (s)Ua(s) (s)E(s)+ P34，ML0 2.3.1.2.3.1.结构图的基本组成结构图的基本组成 1 1）画图的）画图的4 4种基本元素种基本元素 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，递方向

57、，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。从方框出来的表示输出。r(t), R(s) r(t), R(s)r(t), R(s) 表示对输入信号进行的数学运算表示对输入信号进行的数学运算。方框中的。方框中的传递函数是传递函数是的运算算子，使得输出与输入有确定的因的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。果关系。R(s)R(s) U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)+ 对两个以上的信号进行代数运算，对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号号表示相加，表示相加， “ ”号表示相减。外部信号作用于系统需通号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。过相加点表示。

58、2 2）结构图的基本作用：）结构图的基本作用： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照原则，原则，对于输出对输入的反作用，通过对于输出对输入的反作用，通过反馈支路反馈支路单独表示。单独表示。 (c) s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。 (1) 列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应

59、考虑相互间负载效应。 (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个然后分别以一个方框方框的形式将因果关系表示出来，而且这的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。 例例2-162-16 画出下图所示画出下图所示RC网络的结构图。网络的结构图。 R C u1 u2 解：解：(1) 列写各元件的原始方程式列写各元件的原始方程

60、式 2121uuuidtCuRuiRR i( (2) )取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式 )()()()()()()(sUsUsUsICssUsURsIRR21211(3)(3)将这些方框依次连接起来得图。将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)2121uuuidtCuRuiRR1RI(s)UR(s)()(1)(11sUsURsIi )()()(21sIsIsIc sCsIsUc1)()( )()(1)(22sUsURsIo sCsIsUo22)()( 例例2.8 绘出图示双绘出图示双RC网络的结构