《复变函数》作业题

1、复变函数复习题一 判断题1 若z0是f(z)的 m阶零点，则z0是1/f(z)的 m 阶极点.()2 若 lim f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.()z z03 若f(z)在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 f(z)dz 0.()C4 若函数f(z)是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.()5 若函数f(z)在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.()6 若函数f(z)在z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()7 若函数f(z)在z0 可导，则f(z)在z0解析.()8 若f(z)在区域D

2、内解析，则|f(z)|也在D 内解析 .()9 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.()10 如z0是函数f(z)的本性奇点，则lim f(z)一定不存在.()z z011 若函数f(z)在z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()12 若 lim f (z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()z z011113 存在一个在零点解析的函数f(z)使f ( 1 ) 0且 f ( 1 )1 ,n 1,2, ()n 12n 2n14 若数列 zn 收敛，则Re zn 与 Im zn 都收敛 .()15 若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析

3、.()16 若f(z)在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 f(z)dz 0 .()C17 如果z0是f(z)的可去奇点，则lim f (z) 一定存在且等于零.()z z018 若函数f(z)是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.()19 若函数 f(z) 在单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.()20 若函数f(z)在区域D 内解析且f '(z) 0，则 f(z)在 D 内恒为常数.()21 如果z0是f(z)的极点，则lim f (z)一定存在且等于无穷大.()z z022 如果z0 是f(z)的本性奇点，则lim f (z) 一定

4、不存在.()z z023 若 lim f (z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.()z z024 若 z 是函数 f(z)的可去奇点，则Resf(z) 0.()11 若 C是单位圆周，n是自然数，则1 n dz .C ( z z0 )dz2 |z z0| 1(z z0)n .13 设 f (z)2 ，则 f ( z) 的孤立奇点有.z14 幂级数nxn 的收敛半径为n05 若 z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是f'(z)的 零点 .z6 Res(en ,0) ，其中 n 为自然数.z7 公式eix cos x i sin x 称为 .8 幂级数nxn 的和函数为.n

5、09 方程2z5 z3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为.110 函数 f (z)2 的幂级数展开式为.1z11 若 z0是f(z)的m 阶零点且m>1，则z0是f'(z)的 零点 .212 幂级数n2zn 的收敛半径为.n0ze13 Res( 2,1) .z114 函数 f (z) z的不解析点之集为.15 级数 2 ( 1) n zn 的收敛半径为 .n016 cosnz在 | z | n( n 为正整数)内零点的个数为.17 函数 f (z) 6sin z3 z3(z6 6) 的零点 z 0的阶数为.设 a 为函数 f (z)(z)(z)的一阶极点，且(a) 0, (a

6、) 0, (a) 0，则 Re s f (z) .za18 设 a为函数 f(z)的 m 阶极点，则Res f (z) .z a f (z)19 若 z a为函数 f ( z)的一个本质奇点，且在点 a的充分小的邻域内不为零，则 z a是的 奇点 .f (z)20 设 z a 为 f (z) 的极点，则lim f (z) .za21 设 f (z) zsin z，则 z 0是f (z)的 阶零点 .122 设 f(z) 2 ，则 f(z) 在 z 0的邻域内的泰勒展式为1zz23 设 f ( z) e 2 ，则 f ( z) 在 z 0处的留数为.z24 求函数 sin(2z )的幂级数展开式

7、. zcos zdz.025 设 z a为 f(z)的可去奇点，则lim f(z)为 .za226 设 f(z) z2 (ez1)，则 z 0是 f(z)的 阶零点 .127 设 f(z) 1 z2 ，则 f(z) 在 z 0的邻域内的泰勒展式为1i z28 zez dz .1129 设 f (z) z sin ，则 f (z) 在 z 0处的留数为.z1 设 f(z) (z 1)(z 2)，求 f(z)在 D z:0 | z| 1内的罗朗展式.30 求 f(z) (z 1)(z 2) 在 2 |z| 内的罗朗展式.z 11dze sin zdz31 求 |z| 12 i |z| 3(z 1)

8、(z 4) .5 求函数z 在 1 | z| 2内的罗朗展式.(z 1)(z 2)1|z| 1 coszdz.ize7 求 Res( 2 ,i).1zz e8 设 f (z)2 ，求 Res( f (z), ).z119 求函数ez在 0 |z| 内的罗朗展式.sin z31011121314求函数sin6z 在 0 | z | 内的罗朗展式.z2zdz.|z| 2 (9z2)(z i)z e设 f(z) e2 ，求 Res( f ( z),0). z2利用留数定理计算积分：dx ,(a 1).0 a cosx32 71i).设 f(z) 371 d ，其中 C z :| z| 3，试求 f

9、'(1Cz15 求函数z 120在 2 | z | 内的罗朗展式.(z 1)(z2 2)116 利用留数定理计算积分1 2 dx.0 2 sin2 x217 利用留数定理计算积分4xx 2 2 dx .x4 10x2 9z e18 设 f (z)2 ，求 Res( f (z), i).z1izeR es (2 , i ).19 求1 z20 求下列函数的奇点，并确定其类型(对于极点要指出它们的阶)21 计算下列积分1)3)5)(7)21222324251)tan2 z；19z|z| 4 (z21)4(z42)3dz72z3 2 dz|z| 2 (z2 1)3(z2 2)5z 2 dz;|z| 2 z(z 1)2;sinz|z| 2(z 2)z求Rze0szn 1.dz;2求下列幂级数的收敛半径.n11)nzn1计算积分2x4dx.1x试求 f (z)计算积分1在zz22d0 5 3cos设 是函数f(z)的可去奇点且1ez 12)ez1.2)4)6)(8)2)n1d21 cosx2dx22 2( a 0)(222x a)2sin z2 dz|z| 4 z2 (z 1).z222 dz|z| 4 z2 (z 3)( 1)nznn!1 的邻域内的泰勒展开式.lim f (z