三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f(x,y,z)dz,再做二重积分JF(x,y)db,就是“投ZiD影法”，也即“先一后二”。步骤为：找C及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成"后二”这一步。f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dzd二'-.1DziC2如果先做二重积分Jf(x,y,z)d仃再做定积分JF(z)dz,就是“截面Dzci法”，也即“先二后一”。

2、步骤为：确定。位于平面2=5与2=。2之间，即zWCi,C2,过z作平行于xoy面的平面截C,截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分Jf(x,y,z)d。，完成DzC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分F(z)dz,完成“后CiC2一”这一步。f(x,y,z)dv=f(x,y,z)d；=dz1 CiDz当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积o(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域建投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或Y型，可选择直角

3、坐标系计算(当G的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2+y2),fd)时，x可选择柱面坐标系计算(当建为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) C是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2+y2+z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对C向其它坐标面投影或建不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1 .对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域C及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是C在z处的截面，其边界曲线方程易写错，

4、故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z/x,y无关，可直接计算Sdz。因而G中只要za,b,且f(x,y,z双含z时，选取“截面法”更佳。2 .对坐标系的选取，当。为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2+y2)时，可考虑用柱面坐标计算。重积分的计算方法例题:补例1:计算三重积分I=Jjjzdxdydz,其中：Q为平面x+y+z=1与三个坐标面rix=0,y=0,z=0围成的闭区域。1.画出建及在xoy面投影域D.2.“穿线”0zE1-x-y0MxM1D:0<y<1-x3.计算dx11_x1_x.y11_x1Iiiizd

5、xdydz=dxdyzdz=dx-(1-x-y)2dy=-(1-x)2y-(1-x)y2-y30000002203,113,13231411=-(1-x)dx=-x-xx一一x0=6。62424解2“截面法”1.画出C。2.z0,1过点z作垂直于z轴的平面截C得DzDz是两直角边为x,y的直角三角形，x=1-z,y=1-z3.计算111I=口zdxdydz=JJJzdxdydz=zzffdxdydz=fzSDzdz1. 10Dz0Dz01 11111231=z(；xy)dz=z；(1-z)(1-z)dz=；(z-2zz)dz=02022024补例2:计算口Jx2-y2dv,其中C是x2+y2=

6、z2和z=1围成的闭区域1 .画出C及在xoy面投影域D.z = x22y2z = 1 消去z,得 x2+y2=1 即 D:2 .“穿线”收X型 D:-x2 <22x y _1y2y _ .1 - x2,0 < z < 1Jx2+y2<z<13.计算x2Q11 ) 2y dv : dx dy,x2 y2dz = dxx2 y2(1 -，x2y2)dy2注：可用柱坐标计算解2 “截面法”1.画出C。 2. zW0,1过点z作垂直于z轴的平面截C得Dz : x2 + y2 Wz20 M 日 M 2nDz：0 w r < z0 二 2 二用柱坐标计算Q J0<

7、;r <z3计算in , x2 y2dvQ1二11. x2 y2dxdydz 二0 Dz1 2二z1121dr2drdz=2二-r3zdz=-二z3dz000o33o补例3:化三重积分I=JJJf(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中Q:z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域。解：1.画出C及在xoy面上的投影域D.产=x2+2y2由z=2x2消去z,得x2+y2=1即D:x2+y2<12 .“穿线”x22y2<z<2-x2"-1<x<1X型D:；2:2的-x<y<V1-x-1<x<1C:，-x-MyW、11-x2

8、°c2Axc2x+2y<z<2-x1 由-x22-x23.计算I:inf(x,y,z)dxdydz=dxdyf(x,y,z)dz一1_x2x22y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4:计算Hlzdv,其中C为z=6-x2-y2及z=dx2+y2所围成的闭区域Q解1 “投影法”1.画出。及在xoy面投影域D,用柱坐标计算'x=rcos日由y=rsinB化建的边界曲面方程为：z=6-r2,z=rz=z2 .解Jz=6-r2得1=2/.D：r<2即"工27rz=r0<r<20_f_2二“穿线”rzE6-r2.Q:0&

9、lt;r<2r<z<6-r26_r22-26_r22/123 .计算zdv=zdzrdrd-d>rdrzdz=2二rzrdr；，：Dr00r025、“92-.r )dr = 322_222_2-ir(6-r2)2-r2dr=互j(36r-13r200解2“截面法”1.画出C。如图：C由z=6-r2及z=r围成。2.z0,6=0,22,6-；册'12Q由z=r与z=2围成；z0,2,Dz:rz0<<2二建1：0<r<z0<z<2.。2由z=2与z=6r2围成；zW2,6,Dz:r<V6-z0<9<2C2：0Er

10、Ej6z2<z<6J263.计算zdv=inzdvinzdv=zurdrd-dziz11rdrd-dzQQ0Dzi2Dz22626269o0o92zSddzizSddz=iz二(z)dz，iz二(6-z)dz=二zdz一i(6z-z)dz=一二z1-z20202023r代换注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标补例5:计算m(x2+y2)dv,其中建由不等式09aEJx2+y2+z2WA,z<0所确定x=Pcos?sin解：用球坐标计算。由y=PsinBsin小得C的边界曲面的球坐标方程：a<P<Az=Pcos4PWC,连结OP=P，其与z轴正向的夹角为弧OP=PP在xoy面的投影为P',连结OP',其与x轴正向的夹角为日。.C：aMPEA,0<*,0<0<2n2JIin(x2y2)dvQA21=d1d(：2sin2)：2sind：=2二sin3：5Ad00a05-2-，255.31255.2.455.=(A-a)sind=(A-