2020高考理科数学一轮复习学案：8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算

1、18.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算考点梳理1.空间向量的有关概念空间向量：在空间，我们把具有 _ 和_的量叫做空间向量.(2)_零向量：规定_ 的向量叫做零向量.单位向量：_ 的向量称为单位向量.(4) 相反向量：与向量 a_的向量，称为 a 的相反向量，记为一 a.(5) 相等向量： _的向量称为相等向量.(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a + b = _; (a + b) + c =(8)空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线，那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0 和不共线的三点 A,B , C , 满足向量关系式2.空间向

2、量的数乘运算(1) 向量的数乘：实数入与空间向量 a 的乘积 也仍然是一个向量，称为向量的数乘.1当 X_0 时，扫与向量 a 方向相同；当 X_0 时，X与向量 a 方向相反.2X 的长度是向量 a 的长度的 _ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：1分配律：xa+ b) =_.2结合律：X) =_.(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量(4) 共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(bz0), a/ b 的充要条件是(3) a a=|a|a|cosa, a=_.(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：1(X) b=_ ;

3、2a b=_(交换律);3a(b+ c)=_ (分配律).自查自纠:1.(1)大小 方向(2)长度为 0(3)模为 1(4)长度相等而方向相反(5)方向相同且模相(6) b+ aa + (b+ c)2.(1)v|X(2)X+Xb (Xa(3)互相平行或重合(4)存在实数X使 a = ?b平行 存在实数 t，使 OP= OA + ta(5)_ 空间直线 I 的方向向量：和直线 I_的非零向量 a 叫做直线 I 的方向向量.空间直线的向量表示：I 为经过已知点 A 且 平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 0, 点 P 在直线 I 上的充要条件是 _ ，特别地，如果 a= AB ,则上式

4、可以化为 OP = OA + t AB ,或，这也是空间三点 A, B, P 共线 的充要条件.(7)_共面向量：的向量叫做共面向量.OP =(1 t)OA+ tOB (7)平行于同一个平面3.(1)|a|b|cosa b=0 (2)0|a|1 2 3(4) Xa其中b)b aa b+a c则点 P 与点 A , B , C 共面.3.空间向量的数量积运算2空间向量的数量积：已知两个非零向量 a ,b ,则_叫做 a , b 的数量积，记作 ab ,通常规定，0w a , bw n对于两个非零向量 a ,b , a 丄 b? _.3空间零向量与任何向量的数量积为(8)存在惟一的有序实数对(x,

5、 y),使 p= xa + ybOP = xOA + yOB + zOCx+y+ z=12基础自测*已知点 O, A, B, C 为空间不共面的四点,3且向量 a=OA+O)B+OC，向量 b= OA+OBOC,则与 a,b 不能构成空间基底的向量是（）A .OAB.OBC. OCD.o(-oOA 或 OB解: 根据题意得炭=1( a- b),所以OC, a, b共面.故选C.有如下四个关于空间向量的命题（x,y R）：1若 p= xa+ yb,则 p 与 a, b 共面；2若 p 与 a, b 共面，则 p= xa+ yb;O1O1O(1)_ 化简：A1O -AB -AD=_用 AB , A

6、D , AA1表示 OC1,则 OC1=O1O1o o1O OV解: (1)A1O AB AD = A1O (AB + AD)=3若MP= xMOA + yMB，贝 U P, M , A, B 共面;A1O AO = A1O+ OA = A1A.4若 P,M , A, B 共面，则MP= xMA + yMB.其中真命题的个数是（ ）A . 1B . 2C. 3D. 4解：正确中若 a, b 共线，p 与 a 不共线， 则p= xa + yb 就不成立.正确.中若 M , A, B 共线，点P 不在此直线上，则 MlP = xMA + yMB 不正 确.故选 B.如图所示，已知空间四边形OABC

7、, OB =OC,且/ AOB=ZAOC=n贝 V cos OA, BC的3值为A/A()A . 01B. 2C.D. 2解：设 OA = a, OB = b, OC = c,由已知条件a,. o 1 -o 1 -o -o-o-o(2)因为 OC = -AC = -(AB+ AD),所以 0C1= OCo1o o o 1 o1o o+CC1=-(AB+AD)+AA1=AB+?AD+AA1.故填 AA； 玮+知+AAI.0 （2017 鞍山市育英中学月考）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面 CC1D1D 的中心是 F，若AF= AD + mAB + nA，贝 V m =_, n =解

8、：因为AF=AD+ DF =AD+1(DC+D1)=o 1 -o -o-o 1 -o 1 -oAD + -(AB+ AA1)= AD + ?AB + ?AA1，所以 m= n =故填 2典例解析b = =扌，且 bl= |c|, OA BC = a (c b)11-MM=a c a b= 2|a|c| 2|a|b|= 0,所以 cosOA, BC =0.故选A .如图所示，在长方体 ABCD类型一空间向量的运算GD 在三棱锥 O-ABC 中，M, N 分别是 OA,4-A1B1C1D1中，O 为 AC 的中点.5BC 的中点，G是厶ABC 的重心，用基向量OA,OB,在图中画出 DD1+DB+

9、CD化简后的向量.-解：(1)DBLDC + CB!= DC +BBLBC= a-解：MG=MA+AG=1OA+2AN=2A+b+ c,(2) DD1+ DB + CD = DD1+ (CD + DB)又因为点 GBC1D 的重心，所以CG= 3(CB + CD + CC1)= 3CA1.2( ON-OA)= 2OA+2 2(OB+ OC)OA卜1O1O1O-OA+-OB+ -OC.633OOO1O1O1O1O1OG=OM+MG=2OA-6OA+3OB+3OC=3O1O1OOA+3OB+3OC.O O OOBE = BA + AA1=a+ 2 b+ c,1AF = AB + BF = a+ -

10、(b+ c)1 1=a+ - b+ 2 c.OC表示MIG,OG.点 拨：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，把 所求向量向三个基底向量转化，并注意向量拆分和 重组的技巧.若表示的向量涉及线段的中点，可利 用平行四边形法则来表示此向量，也可利用包含要 表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构 成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干 向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接 的向量.=DD1+ CB= DD1+ D1A1= DA1.连接 DA1,则DAJ即为所求.类型二 空间向量共线与共面问题如图，在棱长为 a 的正方体ABCD-A1B

11、1C1D1中，G BC1D 的重心.如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,AD= b, AA1= c, E 为 AQ1的中点，F 为 BC1与 B1C 的交点.(I)求证：A1, G, C 三点共线；(II)求证：A1C 丄平面 BC1D ；(川)求点 C 到平面 BC1D 的距离.解：(I)证明：由于正方体 ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，所以 CA1= CA + AA1=DB1,BE,CB+ CD + CC1.6故 CG / cAi,即卩 Al, G, C 三点共线.直线所成角以及距离等问题.题(2)要证向量ATB,(n)证明：设 CB = b, CD = c,

12、 CCi= d,则冋=|c|=|d|,且 b c= b d= c d= 0.因为 CAi=CB+ CD+ CCi= b+ c+ d,品，EF 是共面向量，只需证得 EF = 流+ BC,解题的关键是寻找有序实数对(人心满足上述关系底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都点拨：题(i)利用平行向量的充要条件可解决三点共 线和线线平行等问题，要注意空间向量基底的选取, 同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示 已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转 化为向量问题的过程.通过向量的数量积运算，可 证明垂直问题，亦可计算直线与平面所成角、异面为 i ,且两两夹角为 60 .则 ACi

13、的长为BC1=BC+ CC1= db,所以 CA1 BC1= (b+ c+ d)(d b) = a2 a2= 0.如图所示，已知 E, F , G, H 分别是 空间四边形 ABCD 的边 AB, BC , CD, DA 的中点， 用向量方法证明：所以 CAi BCi,l卩 CAi丄 BCi.同理可证 CABD.又 BCiABD = B,所以 CAi丄面 BCiD .(川)由上面的证明知点 C 到平面 BCiD 的距离 为CG.(i)E, F , G, H 四点共面;BD /平面 EFGH.因为 CAi= b+ c+ d,所以|CAI|=3a-所以岡=拜|=*.正方体 ABCD-AiBiCiD

14、i中， E, F 分别为 BBi和 AiDi的中点.求证：向量 AB, BC EF 是共面 向量.证明：(i)连接 BG , EG,则 EG=EB+ BG = EB+ (BC+ BD) = EB+ BF + EH = EF + EH，由共面向量定理知,E, F , G, H 四点共面.证明：因为 EF = EB + BAi+A*i f f i f=2BiBAIB+2AiDiif ffif f=2(BiB+ BC) AiB = 2BiC AiB,f f fififif f(2)因为 EH = AH AE = ?AD ?AB = ?(AD AB)if=-BD,且 E, H , B, D 四点不共线

15、，所以 EH / BD .又 EH?平面 EFGH , BD?平面 EFGH，所以BD / 平面 EFGH.类型三利用数量积求长度问题所以向量 AiB, BiC, EF 是共面向量如图所示,四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中,78解：记 AB = a,AD= b, AAi= c,则 |a|= |b|= |c|= 1,a, b= b, c= c, a=60,1所以 a b= b c= c a = q|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2( a b+b c+ca)=1+1+1+2X g+1+2)=6,所以|AC|=6,即 AC1的长为 6故填 6.类型四异面直线所成角问题)如图所示

16、，已知空间四边形 ABCD 的每条AC边和对角线长都等于1，点 E, F, G 分别是AB, AD , CD 的中点，计算:点拨：要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个 已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平 方可求出模的平方，进一步求出模.这里要注意向 量和向量的夹角对数量积的影响如图所示，已知在一个 60的二面角 的棱上，有两个点 A, B, AC, BD 分别是在这个二 面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB = 4cm,AC = 6cm , BD = 8cm，贝UCD 的长为_ cm.解：因为CD=CA+AB+BD=ABAC +BD,所以CD2=(ABAC+ BD)2=(

17、ABAC)2+BD2+2(ABAC) BD=AB2+AC22ABAC+BD2+2ABBD2AC BD=16+36+642X6X8Xcos60=68.所以 =2 17cm.故填 2 17.(1)EF BA;EG 的长；异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值解：设AB=a, AC= b,AD= c.则|a|= |b|= |c|= 1,a, b = b, c = c, a=60,f1f11f(1) EF = -BD = c -a, BA=a,EF - BA = 2cp - ( a) = 2 a2 a c= 4,-f11 1(2) EG= EB + BC + CG = ?a+ b a+?c?b=?a

18、 + ?b+ 2 c,f21212121111|EGf= a+4b+c -?a b+?b c?c a=,则|諭=宁.-f11-fff1(3) AG = b+ ?c, CE= CA + AE= b+ ?a,2所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 3cosAG,CEAG CE|AG|CE|23,由于异面直线所成角的范围是(2017 辽中县第二高级中学月考9点 拨: 要求异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值，可10利用向量的数量积， 求出AG-CE 及和|CE|的值,再套用公式 cos AG ,CE= 芈一求得 AG 与CE|AG|CE|所成角的余弦值，但上述结果并不一定是异面直线 所

19、成的角，由于异面直线所成角的取值范围为如图所示，四棱柱ABCD-AIBICIDI中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60则异面直线BDI与 AC 夹角的余弦值为 _解：记 AB = a,AD= b,AA1=c,则 |a|= |b|= |c|= 1, = c, a= 60,1所以 a b= b c= c a =.点是从基底的公共点出发的， 一般考虑用加法， 否 则考虑用减法， 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.(4)注意应用以下结论.1A 为 BC 的中点，0 为空间任一点，贝UOA =0B+ OC2A, B, C 三点共线，0 为空间任一点，贝 yO

20、A= (1t)OB+ tOC(t R).2.共线向量定理、共面向量定理的应用应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明 点共线、点共面、线共面.(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点 P, A, B,可通过证明下列结论成 立来证明三点共线：1PA=?PB；2对空间任一点 0,存在实数 t，使OP=0A+tAB ；3对空间任一点O,OP=(1 t)OA+ tOB 或 OPBD1= b + c a, AC = a+ b,所以 |BDr|=,=XOA+ yOB，这里 x+ y= 1.(b+ c a)( a+ b)名师点睛1.空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量，一定要结合图形, 可从以下角度入

21、手.(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基 向量上来.(2)把被表示向量用其他向量线性表示，进而寻找这些向量与基向量的关系2对空间任一点 0,0P=OM+XIMA+ ylMB ;3对空间任一点 0, 0P=XOA+ yOB + zOM,其中X+ y+ z= 1;4PM/AB.注：在中，若X=y= z= 1,则点 P 即为 MAB3的重心.设 M(X1, y1, zj ,A(X2,y2, Z2),B(X3,y3, Z3),P(X,y, z),用基向量表示一个向量时，如果此向量的起|AC|= .3.所以 cos BD1AC|BD1|AC|(2)证明空间四点共面的方法对空间四点 P, M ,

22、A, B，可通过证明下列结 论成立来证明四点共面： MP =XIMA+ylMB ;所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值11即为三角形重心坐标公式3利用向量解决立体几何问题的一般方法(1) 利用向量解决立体几何问题的一般方法是：把线段或者角度转化为向量表示，用已知向量(基底或者是建立空间直角坐标系)表示未知向量，然后通 过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题(2) 通常选取两两垂直的向量作为基底，其余的向量都利用这些基底向量来表示，为进一步利用向 量进行计算做铺垫解:当侧面 BCC1B1是正方形时，可得AD1B1C=0,所以排除 A 当底面 ABCD 是正方形时，AC 垂直于对

23、角面 BD1,所以排除 B 显然也排除 C 由 题图可得，BD1与BC 所成的角小于 90故选 D 3如图所示，已知 FA 丄平面 ABC,/ ABC =120 , FA= AB = BC= 6，则 |FC|等于(3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式cos a, b= :;证明两个非零向量垂直可利 |a|b|用 a b= 0课时作业 1 - -解：NM = NA + AM = OA ON + ?AB = OA 1 1 1 1 1 12OC + 2(OB OA) = 2OA+ 2OB 2OC = 2(a + b c),故选 B.2( 2017 上海奉贤二模)已知长方体ABCD-A1B1C1D1

24、,下列向量的数量积一定不为0 的是()AC - AD)= 4(a2cos60+ a2cos60 )=扔.故选 C 5设 OABC 是四面体，G1是厶 ABC 的重心，G 是 0G1上的一点，且 OG = 3GG1，若 OG = xOA +yOB + z OC, 则(x, y, z)为若 P为厶MAB 的重心，则X1+ X2+ X3x =3yi+y2+y33BBD1-zi+ Z2+ Z3z=AAD1- BQAC1(2017 上饶期中)如图所示，三棱锥 O-ABC中，M , N 分别是 AB, OC 的中点，设 OA = a,OB = b, OC= c,用 a, b, c 表示NM,则NM=()A

25、c1A 2( a + b+ c)1B 2(a+ b c)C 歹 a b+ c)1D 2( a b+解：因为FC=FA+AB+ BC，所以FC2=FA2+AB2+BC2+2AB-BC=36+36+36+2X36cos60=144,所以 |FC|= 12.故选 C 4已知空间四边形 的长都等于 a，点 E, F贝 U AE - AF 的值为A a2122aABCD分别是C.的每条边和对角线BC ,AD 的中点,124a解：AE - AF = *AB + AC)AD= 4(AB-AD1BD1BCA 6C 12AB12A 也1HA 4, 4, 413异面直线 ABi, BE 所成角的余弦值为（）CC.

26、 io 解: ABi BE= (AB+ BBi) (BC + CE) = AB BC- ii+ AB CE + BBi BC+ BBiCE = 0+ 0+ 0 +一= 一.22依题意易知 |ABi|=2,|BE|25，点 M , N 分别在 AC1和 BC 上，且满足 AM = kAC1,BN= kBC（O k = A *E= -iO0.故选 |ABi|BE|D.7.（20i7 十堰市竹山县第一中学月考）O 为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，且OP=3OA +i TOB + tOC，若 P, A, B, C 四点共面，则实数 t =8k(CiA + BC) + AB = k(CiA+ B

27、iCi) + AB = kBiA + AB=AB kABi= AB k(AAi+ AB) = (1 一 k)AB kAAi,由共面向量定理知，向量 MN 与向量 AB,AAI共面.10.如图，在空间四边形 OABC 中，若 OA =8, AB = 6, AC= 4, BC= 5, / OAC= 45 , / OAB =60,求 OA 与 BC 所成角的余弦值.|1 1 1)3，3，3D- 3,2 2解：如图所示，取BC 的中点 E,连接 AE.11=1,所以 t=-.故填1 4888.如图所示，在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，M为 AiCi与 BiDi的交点.若 AB= a, AD

28、 = b,0G = 4OGi=3(OA + AG ”=30A+1AE=4OA+1(AB +AC)=4OA+1(OB- OA+OC0A)解：由图可1 - - -=4（OA + OB+ OC）.故选 A.6.（ 2017 沈阳雨田实验中学月考）正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为 1，E 为 CCi的中点，贝 VBBi+ 如色ABi) = c+ ?(b a) = ? a +1b +1 1c.故填a+ 2b+ c.9.如图所示，已知斜三棱柱 ABC-AiBiCi中,i0ioOAAi= c,14I倆醐如图，已知斜三棱柱 ABC-AiBiCi中,n2n/BAC=-,/BAAi= - n, /CAAi=3 , AB=AC=i,AAi= 2,点 O 是 BiC 与 BCi的交点.解：因为 Be =AC-AB，所以 O)A -Be =OA- (ACAB) = OA - AC OA AB =|OA|AC|cosOA, AC|OA|AB|cos =8X4Xcosi358X6Xcos120=24 16 .2.所以 cos |OA|-|BC|8X5的余弦值为，即直线 OA 与 BC 所成角的余5弦值为3LJ.511.