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1、亿库教育网 http:/www.eku.cc初中数学有趣的平行线在平行线这一章的学习中,我们会碰到这道经典的例题:例题 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A、C的关系,并说明理由。解析 图1中,P+A+C=360°;图2中P=A+C。证明 如图3,过点P作PFAB,A+APF=180°。又ABCD,PFAB,PFCD,FPC+C=180°。A+APC+C=A+APF+FPC+C=180°+180°=360°。如图4,过点P作PGAB,A=APG。又ABCD,PGAB,PGCD,GPC=C。APC=APG+GPC=A+C
2、即APC=A+C,我们把这个例题加以拓展引申,可以得到许多有趣的问题:例1 (1)如图(1),ABCD,则B+E1+D= ;(2)如图(2),ABCD,则B+E1+E2+D= ;(3)如图(3),ABCD,则B+E1+E2+E3+D= ;(4)按照上面的规律,如图(4),ABCD,则B+E1+E2+E3+ += 。解析 (1)由问题中的图1可过E1作AB的平行线,得B+E1+D=360°;(2)根据图3,再过E2作AB的平行线,得B+E1+E2+D=360°+180°=540°;(3)依次类推,得B+E1+E2+E3+D=540°+180
3、76;=720°;(4)B+E1+E2+E3+En+D=(n+1)·180。例2 (1)如图(1),ABCD,则E1与B、D的关系是 ;(2)如图(2),ABCD,则E1+E2与B、D的关系是 ;(3)如图(3),ABCD,则E1+E2+E3与B、D的关系是 ;(4)按照上面的规律,如图(4),ABCD,则E1+E2+E3+En与B、D的关系是 。解析 (1)由问题中的图4可证得E1=B+D;(2)根据图4,再过E2作AB的平行线,得E1+E2=B+D+180°;(3)依次类推,得E1+E2+E3=B+D+360°;(4)E1+E2+E3+En=B+D+
4、(n1)·180°。例3 (1)如图(1),ABCD,BE1平分ABE,DE1平分CDE,BED=150°。那么E1= ;(2)如图(2),ABCD,BE1平分ABE,DE1平分CDE,BE2平分ABE1,DE2平分CDE1,则E2= ;(3)如图(3),ABCD,BE1平分ABE,DE1平分CDE,BE2平分ABE1,DE2平分CDE1,BE3平分ABE2,DE3平分CDE2,则E3= ;(4)按照上面的规律,如图(4),ABCD,BE1平分ABE,DE1平分CDE,BE2平分ABE1,DE2平分CDE1,BE3平分ABE2,DE3平分CDE2,BE3平分ABE
5、2,DE3平分CDE2,则En= 。解析 (1)由问题中的图2可得E=ABE+EDC,BED=150°,ABE+EDC=150°;同理E1=ABE1+E1DC=(2)E2=37.5°。(3)E3=18.25°。(4)En=。例4 (1)如图(1),若ABCD,则B+C=E,你能说明理由吗?(2)反之,若B+D=E,直线AB与CD有什么位置关系?请说明理由;(3)若将点E移至图(2)所示位置,此时B、D、E之间有什么关系?请说明理由;(4)若将点E移至图(3)所示位置,情况又如何?(5)在图(4)中,ABCD,E+G与B+F+D又有何关系?解析 (1)由问题中的图4可证得E=B+D。(2)当B+D=E时,直线AB与CD平行。证明如下:过点E作EFAB,则B=BEF。又B+D=BED,D=DEF,EFCD,ABEFCD即
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