山东省高考数学试卷理科答案与解析

1、2010年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2010山东）已知全集U=R，集合M=x|x1|2，则CUM=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|x1，或x3Dx|x1，或x3【考点】补集及其运算【专题】集合【分析】由题意全集U=R，集合M=x|x1|2，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：因为集合M=x|x1|2=x|1x3，全集U=R，CUM=x|x1，或x3故选C【点评】本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题2（5分）（2010山东）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D

2、3【考点】复数代数形式的混合运算【专题】数系的扩充和复数【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1故选B【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题3（5分）（2010山东）在空间，下列命题正确的是（）A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面

3、垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误故选D【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题4（5分）（2010山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=（）A3B1C1D3【考点】奇函数【专题】函数的性质及应用【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（x）=f（x）求f（1）的值【解答】解：因为f（x）为定义在R上的

4、奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=1，所以当x0时，f（x）=2x+2x1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（1）=f（1）=（21+2×11）=3，故选A【点评】本题考查奇函数的定义f（x）=f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）5（5分）（2010山东）已知随机变量服从正态分布N（0，2），若P（2）=0.023，则P（22）=（）A0.477B0.625C0.954D0.977【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】概率与统计【分析】画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果【解答】解：由随机变量服

5、从正态分布N（0，2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（2）=0.023，则P（2）=0.023，故P（22）=1P（2）p（2）=0.954，故选：C【点评】本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解6（5分）（2010山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3若该样本的平均值为1，则样本方差为（）ABCD2【考点】极差、方差与标准差【专题】概率与统计【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=1，样本方差为S2=（11）2+（01）2+（11）2+（

6、21）2+（31）2=2，故选：D【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键7（5分）（2010山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用【专题】函数的性质及应用【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积8（5分）（2

7、010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A36种B42种C48种D54种【考点】排列、组合的实际应用【专题】排列组合【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位，对于排列有影响要分两类：一类为甲排在第一位共有A44种，另一类甲排在第二位共有A31A33种，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列要分两类：一类为甲排在第一位共有A44=24种，另一类甲排在第二位共有A31A33=18种，故编排方案共有24+18=42种，故选B【点

8、评】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”9（5分）（2010山东）设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】等比数列【专题】等差数列与等比数列【分析】首项大于零是前提条件，则由“q1，a10”来判断是等比数列an是递增数列【解答】解：若已知a1a2，则设数列an的公比为q，因为a1a2，所以有a1a1q，解得q1，又a10，所以

9、数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则公比q1且a10，所以a1a1q，即a1a2，所以a1a2是数列an是递增数列的充分必要条件故选C【点评】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题10（5分）（2010山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x4y的最大值和最小值分别为（）A3，11B3，11C11，3D11，3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出可行域z为目标函数纵截距负四倍画直线3x4y=0，平移直线观察最值【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x4y取得最大值3；

10、当直线z=3x4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x4y取得最小值11，故选A【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x4y的几何意义是解答好本题的关键11（5分）（2010山东）函数y=2xx2的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【专题】函数的性质及应用【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（2）符号加以解决即可【解答】解：因为当x=2或4时，2xx2=0，所以排除B、C；当x=2时，2xx2=，故排除D，所以选A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力

11、12（5分）（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A若与共线，则=0B=C对任意的R，有=）D（）2+（）2=|2|2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据题意对选项逐一分析若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；得到答案【解答】解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn

12、）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；故选B【点评】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2010山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答

13、】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y 是否继续循环循环前 10第一圈 10 4 是第二圈 4 1 是第三圈 1是第四圈否故输出y的值为故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模14（4分）（2010山东）若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是a【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】根据

14、x+2代入中求得的最大值为进而a的范围可得【解答】解：x0，x+2（当且仅当x=1时取等号），=，即的最大值为，故答案为：a【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题15（4分）（2010山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理【专题】解三角形【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0B得到B的度数利用正弦定理求出A即可【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即s

15、in2B=1，因为0B，所以B=45°，b=2，所以在ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又ab，所以AB=45°，所以A=30°故答案为【点评】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力16（4分）（2010山东）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y3=0【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线垂直的直线的方程【解答】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为

16、（a，0），则由题意知：，解得a=3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=3，故所求的直线方程为x+y3=0故答案为：x+y3=0【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2010山东）已知函数f（x）=sin2xsin+cos2xcossin（+）（0），其图象过点（，）（）求的值；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在0，上的

17、最大值和最小值【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】（I）由已知中函数f（x）=sin2xsin+cos2xcossin（+）（0），其图象过点（，）我们将（，）代入函数的解析式，结合的取值范围，我们易示出的值（II）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值【解答】解：（I）函数f（x）=sin2xsin+cos2xcossin（+）（0），又因为其图象过点（，）解得：=（II）由（1）得=，f（x）=sin2xsi

18、n+cos2xcossin（+）=x0，4x+当4x+=时，g（x）取最大值；当4x+=时，g（x）取最小值【点评】本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力已知函数图象求函数y=Asin（x+）（A0，0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的y=Asin（x+）（A0，0）的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，否则的值不确定，解析式也就不唯一18（12分）（2010山东）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26

19、an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令（nN*），求数列bn的前n项和Tn【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n项和公式（2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法裂项法，注意解题过程中项数不要出错【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，有，解得a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n

20、；（）由（）知an=2n+1，bn=，Tn=，即数列bn的前n项和Tn=【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键是每年要考的一道高考题目19（12分）（2010山东）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的

21、角【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）要证平面PCD平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；（）过点A作AHPC于H，说明PBO为所求角，然后解三角形求直线PB与平面PCD所成角的大小，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，平面PCD的一个法向量，计算，即可（）直接求出底面面积和高，再求四棱锥PACDE的体积【解答】解：（）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在ABC中，由余弦定理得：，解得，所以AB2+AC2=8+8=16=BC2，即ABAC，又PA平面ABCDE，所以PAAB，又PA

22、AC=A，所以AB平面PAC，又ABCD，所以CD平面PAC，又因为CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AHPC于H，则AH平面PCD，又ABCD，AB平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO平面PCD于点O，则BPO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，所以，即BPO=30°，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°；另解：（）因为PAB为等腰三角形，所以又ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离由CD平面P

23、AC，在RtPAC中，所以PC=4故PC边上的高为2，即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离为2设直线PB与平面PCD所成的角为，则，又，所以（）由（）知AB，AC，AP两两互相垂直，分别以AB，AC，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由PAB为等腰直角三角形，所以，而，则因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE=2，ABC=45°，AEBC，所以BAE=135°，CAE=45°，故，所以因此，设是平面PCD的一个法向量，则，解得x=0，y=z取y=1，得，而设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则因此直线PB与平面PC

24、D所成角的大小为；（）由（）知CD平面PAC，所以CDAC，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=【点评】本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力20（12分）（2010山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积

25、分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果（2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留

26、，所以最少答两个题，随机变量可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果【解答】解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件由题意得，则（）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4由于每题答题结果相互独立，P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4

27、）=P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=（）由题意可知随机变量可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结果都是相对独立的，P（=4）=1P（=2）P（=3）=1=【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力21（12分）（2010山东）如图，已知椭圆=1（ab0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和P

28、F2与椭圆的交点分别为A、B和C、D（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k2=1；（）（此小题仅理科做）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可

29、证明结果；（）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=|AB|CD|，求得的值【解答】解：（）由题意知，椭圆离心率为=，得，又2a+2c=，所以可解得，c=2，所以b2=a2c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为（）设点P（x0，y0），则k1=，k2=，k1k2=，又点P（x0，y0）在双曲线上，即y02=x024，k1k2=1（）假设存在常数，使得得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立，则由（II）知k1k2=1，设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x2），由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k28=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，AB=，同理可得CD=，|AB|+|CD|=|AB|CD|，=，存在常数=，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立【点评】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题（III）是一个