天津高考数学理科试卷带详解

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理理 科科 数数 学学第第卷卷一选择题一选择题: 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分，分，共共 40 分分.1已知|2AxxR，|1BxxR，则AB ()A.,2B.1,21,2C.2,22,2D.2,12,1【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法） 、集合的交集运算.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】先化简集合A A，再利用数轴进行集合的交集运算.由已知得22AxxR22AxxR,于是21

2、ABxxR21ABxxR2设变量 x, y 满足约束条件0,230,306,xxyyy则目标函数2zyx2zyx的最小值为()A.7B.4C. 1D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【难易程度】容易【参考答案】A【 试 题 解 析 】 作 出 可 行 域 ， 平 移 直 线xy2xy2， 当 直 线 过 可 行 域 内 的 点)3 , 5(A)3 , 5(A时，Z Z有最小值,min32 57Z min32 57Z .第 2 题图jxq563阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为 1, 则

3、输出 S 的值为（）第 3 题图jxq57A. 64B. 73C. 512D. 585【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350 xSSSxSSxS1,0,1,502,9,504,7350 xSSSxSSxS，跳出循环，输出73S 73S .4已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;直线 x + y + 1 = 0 与圆2212xy相切.其中真命题的序号是:（）A. B. C. D. 【测量目标】

4、球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】命题，设球的半径为 R，则3341 4,328 3RR3341 4,328 3RR故体积缩小到原来的1818，命题正确；(步骤 1)对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和 3,3,3 的平均数相同，但标准差不同，命题不正确； （步骤 2）对 于 命 题 ， 圆2212xy2212xy的 圆 心0,00,0到 直 线10 xy 10 xy 的距离1222d 1222d ，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤

5、 3)5已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物线22(0)px py 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为3, 则 p =（）A. 1B.32C. 2D. 3【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值.【难易程度】中等【参考答案】C【 试 题 解 析 】 由 已 知 得2ca2ca， 所 以2224aba2224aba， 解 得3ba3ba，即渐近线方程为3yx .（步骤 1）而抛物线的方程为2px 2px ，于是3

6、3,2222ppppAB，从而AOBAOB的面积为13= 322pp13= 322pp，可得2p 2p .（步骤2）6在ABC中,2,3,4ABBCABC则sin BAC=（）A.1010B.105C.3 1010D.55【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由余弦定理可得2222cos2922352ACBABCBA BCABC 2222cos2922352ACBABCBA BCABC （步骤1）于 是 由 正 弦 定 理 可 得sinsinBCACBACABCsinsinBCACBACABC，

7、 于 是233 102sin105BAC.（步骤 2）7函数0.5( )2 |log| 1xf xx的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】令0.5( )2 |log| 10 xf xx ，可得0.51|log|2xx.设 0.51|log|,2xg xx h x 0.51|log|,2xg xx h x，在同一坐标系下分别画出函数 g xEMBED Equation.DSMT4 ,h x的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f x有

8、2 个零点.第 7 题图jxq588已知函数( )(1|)f xxa x. 设关于 x 的不等式()( )f xaf x的解集为 A,若1 1,2 2A,则实数a的取值范围是（）A.15,02B.13,02C.1130,5,022D.52,1【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】利用绝对值不等式解含参的一元二次不等式.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】 1 1,0 ,(1)02 2Af afaa a 1 1,0 ,(1)02 2Af afaa a，解得10a 10a ，可排除C， （步骤 1）又1122faf1122faf，111(1)12222aaaa ，115224aaa

9、a 115224aaaa .（步骤 2）10a EMBEDEquation.DSMT4115224aa 221515,2424aa ，1502a1502a.排除 B,D.应选 A.（步骤 3）第第卷卷二填空题二填空题: 本大题共本大题共 6 小题小题, 每小题每小题 5 分分, 共共 30 分分.9已知 a, bR, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) =bi, 则 a + bi =.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出含复数的等式求值.【难易程度】容易【参考答案】12i【试题解析】由(a + i)(1 + i) = bi 可得 11 iiaab 11 iiaab

10、，因此10,1aab ，解得1,2,ab1,2,ab故i12iab 1061xx的二项展开式中的常数项为.【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项求常数项.【难易程度】容易【参考答案】15【试题解析】61xx的展开通项为366216611C1CrrrrrrrrTxxx 366216611C1CrrrrrrrrTxxx ，令3602r，解得4r ，故常数项为4461C154461C15.11 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为4cos, 圆 心 为 C, 点 P 的 极 坐 标 为4,3, 则CP .【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.【考查方式】给

11、出极坐标方程及点 P 的极坐标，利用极坐标与直角坐标的互化及两点间的距离公式求距离.【难易程度】中等【参考答案】2 3【试题解析】由4cos4cos可得224xyx，即2224xy，因此圆心C的直角坐标为2,02,0，又点 P 的直角坐标为2,2 32,2 3，因此2 3CP 2 3CP .12在平行四边形 ABCD 中, AD = 1,60BAD, E 为 CD 的中点. 若1AC BE , 则 AB的长为.【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.【考查方式】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，运用平面向量的运算求值.【难易程度】简单【参考答案】12【试题解析】用,AB AD ,

12、AB AD 表示ACAC与BE BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得ACAC=ADAB ADAB ，12BEBCCEADAB 12BEBCCEADAB ，EMBEDEquation.3AC BE =221122ADAB ADAB ADAB 221122ADAB ADAB ADAB 211122AB ADAB EMBED Equation.32111cos60122AB ADAB ，（步骤 1）12AB 12AB .（步骤 2）第 12 题图jxq5913如图, ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD/AC. 过点 A 做圆的切线与 DB的延长线交于点 E, AD 与 BC

13、 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为.第 13 题图jxq60【测量目标】圆的切割线定理，三角形相似.【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值.【难易程度】中等【参考答案】83【试题解析】因为ABACABAC，所以ABCC ABCC ，因为 AE 与圆相切，所以EABC EABC ，所以ABCEAB ABCEAB ，所以AEBCAEBC.（步骤 1）又因为ACDE，所以四边形AEBC AEBC是平行四边形，由切割线定理可得2AEEB ED2AEEB ED，于是265EB EB，所以4EB 4EB （负值舍去） ，因此4,6ACBC

14、4,6ACBC， （步骤 2）又因为AFCDFB，所以456CFCF456CFCF，解得83CF .（步骤 3）14设 a + b = 2,0b , 则当 a =时,1|2|aab取得最小值.【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求 a 的值.【难易程度】较难【参考答案】2【试题解析】由于 a + b = 2，所以1|2|444aabaabaababaab， （步骤 1）由于0,bao0,bao，所以|2144babaabab，因此当0a 时，1|2|aab的最小值是15144 15144 ； （步骤 2）当0a 0a 时1|2|aab的最小值是13

15、144 13144 ，故1|2|aab的最小值为34，此时|40baaba，即2a 2a .（步骤 3）三解答题三解答题: 本大题共本大题共 6 小题小题, 共共 80 分分. 解答应写出文字说明解答应写出文字说明, 证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.15 (本小题满分 13 分)已知函数2( )2sin 26sin cos2co,s41f xxxxxx R.() 求 f (x)的最小正周期;() 求 f (x)在区间0,2上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性和最值.【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值.【难易程度】容易【试题解析】(I) 2sin2 cos2cos

16、2 sin3sin2cos244f xxxxx 2sin2 cos2cos2 sin3sin2cos244f xxxxx 2sin22cos22 2sin 24xxx2sin22cos22 2sin 24xxx，故 f x f x的最小正周期22T 22T ； （步骤 1）(II)因为 f x f x在区间30,830,8上单调递增，在区间3 ,823 ,82上单调递减，并且 02f 02f ，32 28f32 28f，22f22f，故 f x f x在0,20,2上的最大值为2 2 2 2，最小值为22.（步骤 2）16(本小题满分 13 分)一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4

17、 张, 编号分别为 1, 2, 3,4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).() 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率.() 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(I)记“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件A A，则 1322252547C CC C6C7P A 1322252547C CC C6C7P A，故所求概率为6767； （步骤 1）(II)X的所有可能取值为1,2,3,4 1,2,3,4.3347C11C35P X ，3447C42C35P X