北京高考数学第8和14题压轴题汇编与答案

1、1如图，正方体中，分别为 棱，上的点. 已知下列判断：平面；在侧面上 的正投影是面积为定值的三角形；在平面内总存在与平面平行的直线；平 面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（A）1个 （B）2个（C）3个 （D）4个（B）2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F/面A1BE，则BF与平面CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 CA.B.C.D. 3.如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.不存在点,使四面体有三个面是直角三角形不存在点,使四面体是正三

2、棱锥OABDC存在点,使与垂直并且相等存在无数个点,使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是D（A）（B）（C）（D）4.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个5.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离平面，两两互相垂直，点，点到平面，的距离都是，点是上的动点，且满足到的距离是到点距离的倍，则点到平面的距离的最大值是C（A） （B）（C） （D）66.已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为

3、函数给出下列函数：；是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有其中是函数的序号为C（A） （B）（C）（D）7.定义区间，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中. 设，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有 B（A） （B） （C） （D）图1图2图38.下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作 则下列命题中

4、正确的是（ ）CAB是奇函数C在其定义域上单调递增D的图象关于轴对称9.用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、x轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是AABCD10.对于定义域和值域均为0，1的函数f(x)，定义，n=1，2，3，满足的点x0，1称为f的阶周期点设 则f的阶周期点的个数是C(A) 2n(B) 2(2n-1)(C) 2n(D) 2n211.定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（ C ）ABCDxyO12.对于函数，判断如下两个命题的真假：命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使命题甲、乙均为真的

5、函数的序号是D（A）（B）（C）（D）13.已知函数，(a>0)，若，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是 D(A) (B) (C) (D)14.已知函数则函数的零点个数是 A（A）4（B）3 （C）2 （D）115.已知点是的中位线上任意一点，且，实数，满足设，的面积分别为，记，则取最大值时，的值为 A（A） （B） （C） 1 （D）216.已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是 DAB CD17.设点，如果直线与线段有一个公共点，那么（A）（A）最小值为（B）最小值为（C）最大值为（D

6、）最大值为18.已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为.若点，则=；已知点，点M是直线上的动点，的最小值为 .4 20.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_.，21.已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是22.定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是>>23将全体正奇数排成一个三角形数阵

7、：1357911131517 19按照以上排列的规律，第n行（n 3）从左向右的第3个数为24.已知函数，则，若，则（用含有的代数式表示），25.已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，_；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_.62；1或526.已知数列，满足：，且当时，若数列满足对任意，有，则；当时，27数列满足，其中，当时，_；若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_.；28函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，若，则，数列的通项公式为，29.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则30.如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点

8、.设=，的面积为.则的定义域为；的零点是.31.已知函数（1）判断下列三个命题的真假：是偶函数； ；当 时，取得极小值. 其中真命题有_；（写出所有真命题的序号）（2）满足的正整数的最小值为_. , 932如图所示，AOB=1rad，点Al，A2，在OA上，点B1，B2，在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为_秒，质点M到达An点处所需要的时间为_秒6，OA1A2A3A4B1B2B3B4AB33已知函数，且，则对于任意的，函数总有两个不同的零点的概率是. 34.

9、对于各数互不相等的整数数组 (是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为.4；35.已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有（）求证：；（）求证：；（）对于，试给出一个满足条件的集合()证明：依题意有，又，因此可得所以即4分（）证明：由()可得又，可得，因此同理，可知又，可得，所以均成立当时，取，则，可知又当时，所以9分（）解：对于任意，由可知，即因此，只需对，成立即可因为；，因此可设；由，可得，取由，可得，取由，可得，取由，可

10、得，取所以满足条件的一个集合14分36.已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.（）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.（）若时 若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值解：（）当时，集合,不具有性质 .1分因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素与，使得成立.2分集合具有性质 .3分 因为可取，对于该集合中任意一对元素，都有 .4分（）当时，则若集合S具有性质，那么集合一定具有性质.5分首先因为，任取 其中，因为，所以，从而，即所以.

11、 .6分 由S具有性质，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素，都有对于上述正整数m，从集合中任取一对元素，其中，则有,所以集合具有性质 .8分设集合S有k个元素由第问知，若集合S具有性质，那么集合一定具有性质任给，则与中必有一个不超过1000，所以集合S与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t个元素不超过1000由集合S具有性质，可知存在正整数，使得对S中任意两个元素，都有，所以一定有.又，故, 即集合中至少有个元素不在子集中，因此，所以，得，当时，取，则易知对集合S中任意两个元素，都有，即集合S具有性质，而此时集合中有1333个元素因此集合S元素

12、个数的最大值是1333 .14分37.已知函数，数列中，当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，；当时，得到常数列2，2，2，；当时，得到有穷数列，0（）若，求的值；（）设数列满足，求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；（）若当时，都有，求的取值范围解：（）因为 ，且，所以 同理可得，即3分（）证明：假设为数列中的第项，即；则；，即。故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列8分（）因为，且，所以 又因为当时， ，即，所以 当时，有13分38.已知数列，满足，其中.（）若，求数列的通项公式；（）若，且.（）记，求证：数列为等差数列；（）若数列中任意一项的值均未在该

13、数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.（）解：当时，有2分. 3分又因为也满足上式，所以数列的通项为.4分（）（）证明：因为对任意的有，5分所以 ，所以数列为等差数列.7分（）解：对于数列，（，为常数且），有所以数列均为以7为公差的等差数列. 8分设，（），所以，当时，对任意的有；9分当时，若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；11分综上：设集合，当时，数列中必有某数重复出现无数次.当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 13分39.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是

14、正三角形(是坐标原点) .（）求；（）求出点的横坐标关于的表达式；解：（）.3分yxOA0P1P2P3A1A2A3（）依题意，则，在正三角形中，有 .5分，同理可得. -并变形得， . 数列是以为首项，公差为的等差数列.，. 8分（），.当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 的最大值为. 12分若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且，解之，得或，即的取值范围是. 14分（）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.yxOA0P1P2P3A1A2A340.已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，设，.（）设数列，求；（）

15、若数列满足，求函数的最小值.解：（1）根据题设中有关字母的定义，（2）一方面，根据“数列含有项”及的含义知，故，即7分另一方面，设整数，则当时必有，所以所以的最小值为. 9分下面计算的值：12分，最小值为. 13分41.定义为有限项数列的波动强度.（）当时，求；（）若数列满足，求证：；（）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.42.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，当能整除时，；当不能整除时，设（）当时，试写出数阵并计算；（）若表示不超过的最大整数，求证：；（）若，求证：（）解：依题意可得， 4分（）解：由题意可知，

16、是数阵的第列的和，因此是数阵所有数的和而数阵所有数的和也可以考虑按行相加对任意的，不超过的倍数有，因此数阵的第行中有个，其余是，即第行的和为 所以9分（）证明：由的定义可知， 所以所以考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以所以 所以所以14分43.有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列（）证明 （，是的多项式），并求的值；（）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)设前组中所有数之和为，求数列的前项和（）设是不超过20的正整数，当时，对于（）中的，求使得不等式成立的所有的值解：（）由题意知，同理，又因为成等差数列，所以.故，即是

17、公差为的等差数列所以，令，则，此时 4分（）当时，数列分组如下：按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为. 即前组中所有数之和为，所以因为，所以，从而 所以 .故.所以 9分（）由（）得，.故不等式 就是考虑函数当时，都有，即而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立所以,满足条件的所有正整数 14分44.已知，或1，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数（）令，存在m个，使得，写出m的值；（）令，若，求证：；（）令，若，求所有之和45.已知定义在上的函数和数列，当且时，且，其中，均为非零常数（）若数列是等差数列，求的值；（）

18、令，若，求数列的通项公式；（）若数列为等比数列，求函数的解析式解：（）由已知，得由数列是等差数列，得所以，所以4分（）由，可得且当时，所以，当时， 7分因此，数列是一个首项为，公比为的等比数列所以 数列的通项公式是8分（）若是等比数列，由（）知， 10分当时，上式对也成立，所以，数列的通项公式为：所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列 所以，12分当时， 上式对也成立，所以所以 所以 等式对于任意实数均成立所以14分46.在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.（）解：因为是单调递增数列，所以，.令，所以.

19、4分（）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以，因为，所以，使得当时，.因为.所以，当时，与矛盾，故假设不成立.9分（）证明：观察：，猜想：.用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，成立；当时，所以. 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.由已知得，.所以.所以当时，. 因为.所以对任意，.对任意，存在，使得，因为数列单调递增，所以，.因为，所以. 14分47.对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“

20、0-1数列”，令.()若数列： 求数列；() 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；()若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.解：()由变换的定义可得2分4分() 数列中连续两项相等的数对至少有10对 5分证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，所以中至少有10对连续相等的数对. 8分() 设中有个01数对，中的00数对只能由中的01数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：

21、由中的1得到； 由中00得到，由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，所以，所以，由可得，所以，当时，若为偶数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足若为奇数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足所以.13分48.若为集合且的子集，且满足两个条件：；对任意的，至少存在一个，使或.则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集

22、合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）（）解：集合组1具有性质. 1分011000011001所对应的数表为：3分集合组2不具有性质. 4分因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质. 5分111111111111000000000（）7分. 8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件和，由条件：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件可知数表中任意一行不全为0.9分由条件知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个

23、0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件可得数表中任意两行不完全相同.10分因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质.所以. 12分因为等于表格中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为.14分49.用表示不

24、大于的最大整数令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列（）求的值；（）求的值；（）求证：在数列中，不大于的项共有项解：（）由已知知 所以 4分（）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格km1234512345从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大且所以 8分（）任取，若，则必有即在（）表格中不会有两项的值相等对于而言，若在（）表格中的第一行共有的数不大于，则，即，所以，同理，第二行共有的数不大于，有，第行共有的数不大于，有所以，在数列中，不大于的项共有项，即项13分50.对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.（）