北京高考立体几何汇编

1、北京近年高考立体几何试题汇编1(2009 北京理科卷 16)如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。方法提示:方法一：几何法(利用线线关系，线面关系，面面关系)。（）判定线面垂直的主要方法：（）线面垂直的定义；（）线面垂直的判定定理；（）作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条垂直于另一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；（）面面垂直的性质定理；（）作定理用的正确命题：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（）求线面角的基本步骤：（）找角；（）求角。（）

2、求面面角的基本步骤：（）找角；（）求角（或说明原因）。方法二：向量法。（）建立适当的直角坐标系，并表示有关点的坐标；（）表示有关线段所对应的向量；（）利用向量的平行或垂直来判断直线的平行或垂直，从而判定线线、线面、面面的位置关系；或者利用向量的运算求夹角或距离。2(2009北京文科卷16)如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上。（）求证：平面；（）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。3. （2008 北京理科卷 16 文科无第三问）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求二面角B-AP-

3、C的大小；（）求点C到平面APB的距离.4. （2007北京理科卷16,文科无第三问）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点在斜边上（）求证：平面平面；（）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（）求与平面所成角的最大值5.（2006年北京理科卷17,）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.1.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC

4、，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得.（），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为

5、PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.2【解法1】（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE，

6、由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，即AE与平面PDB所成的角的大小为.3.解法一：（I） 取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC,CDAB.PDCD=D,AB平面PCD.PC平面PCD.PCAB.（）AC=BC，APBP，APCBPC.又PCBC.PCBC.又ACB=90°,即ACBC.且ACPCC,BC平面PAC.取AP中点E，连结BE，CE.ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影.CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE90°，BC2，BEAB，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为

7、aresin()由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD.过C作CHPD，垂足为H.平面APB平面PCDPD，CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离，由（）知PCAB，又PCAC，且ABACA.PC平面ABC.CD平面ABC.PCCD.在RtPCD中，CDPCCH=点C到平面APB的距离为解法二：（）ACBC，APBP，APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，1）.PBAB2，t2，P（0，0，2）.取AP中点

8、E，连结BE，CE.ACPC，ABBP,CEAP，BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E（0，1，1），cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arecos（）AC=BC=PC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（）建立空间直角坐标第C-xyZ.点H的坐标为（）.点C到平面APB的距离为4.解法一：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（III）同解法一5.解法一：（）PA平面ABCDAB是PB在平面ABCD上的射影又ABAC，AC平面ABCD，ACPB（