不等式的解法典型例题

1、不等式的解法·典型例题  【例1】  解不等式：(1)2x3-x2-15x0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30【分析】  如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0(或f(x)0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51)的阴影部分(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集为x|x-5或-5x-4或x2【说明】  用“区间法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于

2、偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)【例2】  解下列不等式：变形解：(1)原不等式等价于用“区间法”原不等式解集为(-，-2)-1，2)6，+)用“区间法”【例3】  解下列不等式：【分析】  无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性解：(1)原不等式等价于(2)原不等式等价于原不等式解集为x|x5(3)原不等式等价于【说明】  解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边

3、同时平方后不等号方向才不变此外，有的还有其他解法，如上例(3)原不等式化为t2-2t-30(t0)解得0t3【说明】  有些题目若用数形结合的方法将更简便【例4】  解下列不等式：解：(1)原不等式等价于令2x=t(t0)，则原不等式可化为(2)原不等式等价于原不等式解集为(-1，23，6)【说明】  解对数不等式需注意各真数必为正数在利用对数性质价性，否则会出现增解或漏解【例5】  解不等式|x2-4|x+2【分析】  解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用解：原不等式等价于-(x+2)x2-4x+2故原不等式解集为(1，3)这是解

4、含绝对值不等式常用方法【例6】  解下列不等式：换底公式先化为同底对数不等式(2)中先解绝对值不等式，再解无理不等式解：(1)原不等式等价于log2(2x-1)-log2(2x-1)-2令log2(2x-1)=t，则上述不等式变为t(-1-t)-2即  t2+t-20解之，得  -2t1，从而-2log2(2x-1)1【例7】  解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)1【分析】  题目中未知数出现在底数部分，就必须对底数大于零还是位于零与1之间进行讨论解：原不等式等价于【说明】  当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论

5、【例8】  解关于x不等式a+1a+a，其中a0且a1【分析】  题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式对于底数a分a1或0a1两种情况讨论解：原不等式等价于(ax)2-(a2+a-2)ax+10(*)当a1时，a2a-2，于是(*)式得a-2axa2，即-2x2当0a1时，a-2a2，于是(*)式得a2axa-2，即-2x2综上所述，原不等式解集为(-2，2)【说明】  本题在化成关于ax的二次不等式后，解题关键是利用a2·a-2=1进行因式分解【例9】  设a0；a1解关于x的不等式xlogaxa3x2【分析】  这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”在两边取对数的时候用