关于自转变形的讨论

1、关于自转形变的讨论机械工程学院包装工程0802班季彩霞摘要：讨论纸圈及匀质不可压缩流体因自转引起的形变。分三部分：地球变扁的原因，纸圈和流体自转形变不是椭圆的证明和实验测量纸圈自转离心率的大小。关键字：自转，纸圈，匀质流体，椭圆地球先说说我们想到这个问题的源头吧在上初中的时候，老师说过（可能甚至小学常识课本上也会写到），“地球，是个两极稍扁，赤道略鼓的球体”，就像行星的运行轨道是个椭圆而不是正圆一样，绝对的完美总是不稳定的，是受不了一点干扰的，这就是宇宙选择让地球成为椭球（暂时先这么称呼，事实上不是）形式存在而不是球的原因。那又是什么导致地球成为椭球的呢？毋庸置疑，地球自转肯定是其中最关键的因

2、素。 要证明这一点很容易：准备一个纸圈，一根筷子，做成如图1装置。用手转动筷子，纸圈就会跟着转动。转动过程中，纸圈会慢慢变扁。我们的地球也是一样（虽然我们没法亲手用筷子转转地球）。其他的因素还有很多。如地球自身的万有引力；地球的质量和体积；陆地和海洋的分布；地质构造及地球内部物质的流动等等。甚至地表上每一个坑坑洼洼都对地表的形状产生贡献。可以肯定的是，公转对这个形变肯定没有影响。因为地球在绕日公转时，是处于完全失重状态，故太阳引力不会引起地球各小部分间的弹力。（当然，这是在地球上不同位置的点受到的太阳引力加速度差值GM/R2小到忽略不计的前提下）。而且，另一方面，GM/R2<<Gm

3、/r2（其中M是太阳质量，R是地日距离，m是地球质量，r是地球半径）也就是说，地球上某小部分收到的太阳引力的影响远小于重力对它的影响。（否则它就不会留在地球上，而是飞向太阳了）综上可知：地球公转对其自转是没有影响的。非椭圆的证明纸圈：其实纸圈的自转和地球的自转还是有几分相似之处的沿着经线圈将地球一圈圈的剪开。对于自转而言，每个经线圈都是等效的，我们只需取其一作为研究对象。（如图2）先大致分析一下其受力及运动：我们的手带动筷子旋转，之前，轴与纸圈之间力的作用带动纸圈运动。等到它们平衡时，轴与纸圈之间的作用力为0.（在重力不存在的情况下）。即：此时“纸分子”之间的张力恰好提供纸圈的向心力。那这样形

4、变稳定后的纸圈是否是精确的椭圆呢？我们来分析一下：给纸圈取主视图，再配上如图3的直角坐标系。以AB段(A(a,0),B(x,y)）整体为研究对象，进行受力分析：此时，纸圈各质点只受到张力的作用。A点左端受到向下的张力H，B点右端受到沿切线方向的张力T。内力对AB的运动不起作用。将T分解，分解至水平和竖直的分量。AB段在作匀速圆周运动。故有：T*cos=m2*RT*sin=H两式一除，得：T*sin/(T*cos)=tan=y'=H/(m2*R)（*）当纸圈稳定时，H和是确定的。dm=*ds R=x。（如图4）mR=其实就是某一确定x值位置处纸圈的宽度d。（如图5）由于纸圈是由经线圈剪开

5、所得，故d=x*。且各位置都应相等。 推出mR=，将其代入（*）式，得： （1）(其中K=H/(2*)这样，这个微分方程所确定的函数的图像就应该是纸圈形变后的形状。这个微分方程不好解，但我们可以将椭圆方程代入验证符不符合。结果是不符合的。也就是说，纸圈的这种形变并非精确的椭圆。用同样的方法可以算得，图1的纸圈的形变也不是精确的椭圆。匀质流体：要使它能自由形变，对于地球，就必须假定为流体。对于流体，我们知之甚少。但从高中时做过的那些习题里，我们总结出了一个经验：对于流体，“形”的表现形式就是力的表现形式。在回过头来看看地球：地球要自转，地球上的流体分子就需要向心力。向心力是效果力，效果力一定是由

6、别的性质力来提供的。那些流体分子，就只可能受到两种性质力：万有引力和流体分子之间相互挤压的弹力。（当自转运动达到稳定的时候是不存在摩擦力的。否则，沿着转动方向的力必定会改变转动速率）（设流体不可被压缩）万有引力有使流体分子靠拢的趋势，弹力则阻碍他们靠拢。故弹力向外。弹力和万有引力的合力就是向心力。要知道地球的形状，我们可以取最外层的流体分子作为研究对象。在某点流体分子所受的弹力一定垂直于地球表面在该点的切面。（因为对于流体，“形”的表现形式就是力的表现形式）根据弹力垂直于地表可列得方程：（即万有引力和向心力各自沿截面曲线的切线方向的分量相等）取该“抽象地球”的截面曲线，如图配上直角坐标系。可得

7、： （ 其中=arctany' =)解这个微分方程同样不容易。但若要判断它是否是个椭圆，同样的，将椭圆方程代入即可。代入结果：不符合。也就是说，这个“抽象地球”也不是椭圆。实验尽管这些形变都不是精确地椭圆，但主观上，我们可以把它们近似成椭圆。（如果可能的话，求出这两个微分方程地解，再算一下它和 与之等长短轴的椭圆 的偏差。这个偏差应该不会很大）。当然，如果求得出微分方程的话，我们就可以用已知量表示出“离心率”，也就可以知道它们自转离心率的影响因素及之间的定量关系了但我们数学功底不够。于是我们只能采用实验的方法。对于流体模型的实验过于复杂，我们这里只做纸圈的实验。（由于时间仓促，之列得如

8、下初拟方案。未进行亲手实验）通过移动滑动变阻器，改变电压大小，从而改变转速，而且可由电压表数值算出电动机转速。电动机：尽量选电阻较小，转速较慢，变速区间较大的。（若转速太快可能会把纸圈张破；而且转速快，h值就小，误差就大）还要便于安插转轴。转轴：转轴底托和转轴粘合在同一平面上，成十字架型。转轴长度适当，略长于H。（如图，H为将转轴倒置时，纸圈自由下垂，纸圈圆孔恰好不超出转轴顶部的长度）纸圈：取一条长纸条，正中挖去一圆孔，圆孔半径略大于转轴半径，令圆孔通过转轴，将AB两端黏在底托上。成像屏：正中间竖直贴一条刻度尺。屏高略高于转动装置。实验在平行光下进行。1. 连好电路，取周长为l的纸圈，黏在转轴上，将转轴插至电动机上。（注意：要保证转轴竖直）2. 打开光源。使光源，转轴，屏尺尽量在同一平面内。（即：是转轴的影子与屏尺恰好重合）但屏面与光线的角度（即可调至145°左右，便于读数）3. 打开电动机，控制转速为。待纸圈稳定之后，在屏尺中读出纸圈底部和顶部的读数。4. 关闭电动机。将转轴倒置，在连接在电动机上。打开电动机，稳定后读出纸圈底部和纸圈顶部的读数