四边形专题-正方形及变式

1、四边形专题学案正方形变式一、原题：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF变式1方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明猜想（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足EAF=DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）如图找出上述变式问题中的变与不变变式2源:z#zs#（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E

2、，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数（2）如图，在RtABD中，点M，N是BD边上的任意两点，且，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，求AG，MN的长二、原题如图，将足够大的三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G求证：EF=EG；变式1（2011临沂）（1）如图1，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

3、予证明：若不成立请说明理由：（2）如图1，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值变式2（2011福建）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图1）（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；（2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tanPEF的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长答案：一、

4、原题如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90°得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，1=2，ABG=D=90°，ABG+ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45°2+3=BADEAF=90°45°=45°1=2，1+3=45°即GAF=FAE又AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，故

5、DE+BF=EF变式1、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质。分析：（1）利用角之间的等量代换得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）作出4=1，利用已知得出GAF=FAE，再证明AGFAEF，即可得出答案；（3）根据角之间关系，只要满足B+D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案解答：解：（1）根据等量代换得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF=EF，故答案为：FAE；EAF；GF；（2）证明：延长CF，作4=1，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=D

6、AB，1+2=3+5， 2+3=1+5，4=1，2+3=4+5，GAF=FAE，4=1，ABG=ADE，AB=AD，AGBAED，AG=AE，BG=DE，AF=AF，GAF=FAE，AGFAEF，GF=EF，DE+BF=EF；（3）当B与D满足B+D=180°时，可使得DE+BF=EF点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等得出是解决问题的关键变式2；（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（图）MN 源:中教网（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得

7、，（舍去负根）中。教。网z。z。s。tep在（2）中，中#教#网z#z#s#tep设，则即二、原题及变式1考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。分析：（1）由GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得RtFEDRtGEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得RtFEIRtGEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EMAB，ENAD，则可证得CENCAD，CEMCAB，又由有两角对应相

8、等的三角形相似，证得GMEFNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：（1）证明：GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，DEF=GEB，又ED=BE，RtFEDRtGEB，EF=EG；（2）成立证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，HEI=90°，GEH+HEF=90°，IEF+HEF=90°，IEF=GEH，RtFEIRtGEH，EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则MEN=90°，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB，即=，I

9、EF+FEM=GEM+FEM=90°，GEM=FEN，GME=FNE=90°，GMEFNE，点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想的应用变式2考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明APBDCP，利用相似比求PC；（2）tanPEF的值不变过F作FGAD，垂足为G，同（1）的方法证明APBDCP，得相似比=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是BPC的中位线解答：解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AP=1，CD=AB=2，则PB=，ABP+APB=90°，又BPC=90°，APB+DPC=90°，ABP=DPC，APBDCP，=即=，PC=2；（2）tanPEF的值不变理由：过F作FGAD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，A=PFG=90°，GF=AB=2，AEP+A