解析单位1和部分的概念以及在分数乘除法中的应用

1、“单位1”与“相关量”山东滨州西海小学王训彬2013年12月16日近些年以来，小学数学的分数相关量， 已经不再提整 体（整体1）与部分这两个概念了。其中整体（整体 1） 这个概念已经被单位“ 1”这个概念所取代，而部分这个概 念则是彻底去掉了。因为说到部分，人们往往就自然而然 的认为，部分小于整体。对小学生来说，恐怕更是如此。 可是当时分数这个地方的相关量概念，却不是如此，比如在语句“甲等于乙的7 ”中，乙是单位1，甲是部分，可这5个部分则是大于单位1的。也许正是因为与学生的固有认 识格格不入，这一概念被数学家抛弃了。然而，对于学过单位1与部分概念的我来说， 却忘不 了这两个概念在解决分数乘除

2、法所表现出的巨大灵活性 和有效性！因此在今天的教学中我还是不断地试图向学生 渗透这两个概念。只不过，为了消除大家对“相关量可能 大于单位1 ”的困惑，我把“部分”改名为“相关量”一、 单位1今天教材中是这样定义单位 1的：一个物体或多个物 体组成的一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫 做单位1。从定义可以看出，单位 1，仍是表示一个整体，就是 以前的整体1。之所以改称单位1，只不过是因为现在没 有了部分的概念，单单突出一个整体（整体 1 ）的概念， 显得太不自然！如何判断那个量是单位 1单位1这一概念贯穿分数教学始终，是深入理解分数 的定义，探索分数四则运算不可或缺的手段。可以说活不夸张

3、地说，这一概念的重要性一点也不亚于分数本身的概 念。既然这样我们就需要知道如何判断那个量是单位1。这还要通过分数的定义来分析，教材是这样定义分数 的：把单位1等分成若干份，表示其中一份或几份的数叫 做分数。从定义可以看出那个被等分的量就是单位1。根据这点我们不难判断出：1、提到“谁”的几分之几“谁”就是单位I比如在语句“乙的1 ”中，分明说“乙”的，所以乙是2 2单位1。下面我们详细分析一下：根据分数的定义，我们 不难看到语句所表达的意义是把乙等分成2份，表示其中的一份，因此被等分的对象是乙，所以乙是单位1。再比如在语句“乙等于丙的7 ”中，明明说“丙”的，因55此丙是单位12、在比较语句中，

4、比“谁”，“谁”是单位比如在语句“甲比乙大丄”中，说的是比“乙”因此“乙”2是单位1。而在语句“乙比甲小* ”中说的是比“甲;'因此“甲”是单位1。为什么呢，我们对语句“甲比乙大 丄”分析一下；2不难看出这句话的完整意义是说“甲比乙大乙的-:既然是2“乙”的，当然乙是单位1。23、 一个带单位的分数量，一个单位就是它的单位1 比如：语句“丄千克”中，量-千克的单位是千克，因2 2此1千克就是该量的单位 1。因为-千克表示的是“ 1千克2的-；既然是“1千克”的，当然1千克就是单位1。2一、 相天量对于相关量我一时无法给出精确的定义；但我们可以这样理解它：如果一个量是某一个单位 1的几分

5、之几；这个量就是这个单位1的一个相关量。或者说；如果一个量 与某一个单位1，有某种明确的关联性， 这个单位1的一 个相关量。比如在语句“乙的？”中，我们已经知道乙是单5位1，那么量“乙的7 ”就可以理解为“单位1的1 ”所以量“乙5的7 ”就是单位1-乙的一个相关量，而且还是一个大于5单位1的一个相关量！另外任何单位1也可以看做他自身的一个相关量，比如上面的乙这个量，就可以看做乙的一分之一，所以此时的乙既是单位1，又是相关量！因此从这个角度来说，单 位1也是一个特殊的相关量。因此相关量可以小于， 也可大于，甚至可以等于单位 1。另外，同一个单位1的两个相关量的和，仍是这个单 位1的相关量！比如

6、乙是甲的-，丙是甲的-，贝y易知乙23与丙的和就是甲的6，所以从我们上面对相关量的理解就 可以看出乙与丙的和还是甲的一个相关量。类似的还有，同一个单位1的两个相关量的差，仍是 这个单位1的相关量。这里就不在详细讨论这一结论了。 感兴趣的朋友可以仿照对“同一个单位1的两个相关量的 和，仍是这个单位1的相关量”的分析，自己来分析。三、单位1与相关量的两个属性这两个量可能与其他量不同，因为它们有两个属性1、他们都有自己的实际大小，比如在语句“乙是 6，甲是8,则乙是甲的号”中“乙”这个量是相关量，它的实际4大小是6，甲是单位1，它的实际大小是 8。2、 它们都有自己的相对大小（占单位1的几分之 几）

7、比如上例中甲是单位 1，它占自身的是1，乙是相关1量，占单位1的3。4四、 单位1以及相关量与分数乘除法的关系也许正是这两个概念的两个属性，才使得它们在分数 乘除法中有着极其灵活的应用。为此我们首先看这样一个 例子：第二小组有6人，是第一小组的-，第一小组有多少4人？这是青岛版六年级上册 P28页的一个例子，也是分 数除法的一种典型例题。解：设第一小组有x人。X宀6X=6 +对应的意义对应写在 X=6 -的下面，看看 X=6 -到底 44是什么意义。X=6+-4单位1的实际大小 =相关量的实际大小 - 该 相关量占单位1的分数由此，我们看到了单位1实际大小的算法：只要知道 该单位1某个相关量的

8、两个属性，就可以利用这相关量的 实际大小属性-该相关量的相对大小属性（即该相关量占 单位1的分数）计算出来！由此我们得到了第一个公式：4且慢，我们不要急着做下去， 我们用上面的知识分析一下。问法：第一小组有多少人？显然是要计算第一小组的人数，我们找到与第一小组的人数有关的条件，那就是“第二小组有6人，是第一小组的| ”可以看到第一小组的人 数是单位1，因此本题就是一个求单位 1的实际大小的问 题。第二小组显然是相关量，它的实际大小是6人，而-4则是这个相关量的相对大小，即该相关量占单位1的分数。而X=6 就揭示了单位1的算法，下面我们把x ,6,41、单位1的实际大小 = 相关量的实际大小 -

9、 该相关量占单位1的分数简述为：算单位1用除法！将公式1变形一下，就可以得出相关量的求法：2、相关量的实际大小=单位1的实际大小x该该 相关量占单位1的分数简述为：算相关量用乘法！将公式变形一下，也可以得出该相关量占单位 1的分 数的算法：3、相关量占单位1的分数=相关量的实际大小 - 单位1的实际大小从公式3可以看出算一个数占另一个数的几分之几， 也用除法！至此，我们已经可以来解决分数乘除法的大相关量问 题了，下面我们就通过几个具体的实例来看一下如何用这 些知识来解决问题。例1、 实验小学有1200名学生，六年级人数占全校的1，六年级一班人数占六年级的 1，六年级一班有多少5 6人？分析：看

10、问法，“六年级一班有多少人？”寻找与六年 级一班人数有关的条件，显然是“六年级一班人数占六年级的1,可以看到在这个条件中，六年级人数是单位1,6六年级一班人数是相关量，这相关量占单位1的1。求相6关量用乘法，有公式 2知：六年级一班人数=六年级人数 X1，所以还需要计算六年级的人数。与六年级的人数有6关的条件是“六年级人数占全校的1，在这个条件中全校人5数是单位1，六年级人数是相关量，所以还得用乘法：六年级人数=全校人数X 1=1200 xX，把算式1200 X1代入六555年级一班人数=六年级人数X 1中，且发现1200 X1可以先6 5算，不用加括号：1200 X1 X156例2 :光明小

11、学绿化面积为 960平方米，是向阳小学 的2倍，而南山小学的绿化面积相当于向阳小学的 7，南 山小学的绿化面积是多少？分析：看问法，“南山小学的绿化面积是多少？”，查找 与南山小学有关的条件“南山小学的绿化面积相当于向阳 小学的7,知向阳小学为单位1，要计算的南山小学是相8关量，所以用乘法：南山小学的绿地面积=向阳小学的绿化面积X 8但向阳小学的绿化面积未知， 所以接下来考虑向阳小 学的绿化面积的条件“光明小学绿化面积为 960平方米， 是向阳小学的2倍”知向阳小学的绿化面积为单位1，光明小学的绿化面积为相关量，算单位1用除法，所以有：向阳小学的绿化面积=光明小学的绿化面积+ 2=960吃，代

12、 入上式得到：960吃X78注意：这里我们把倍数问题与“单位1和相关量”统一 了起来，“是向阳小学的2倍”完全就是“向阳小学的Z ”的1意思。当然你也完全可以用倍数的知识来解决这一步。从根本上来说，倍数问题和分数问题是一回事。如甲是乙的1.5倍，从分数的角度来说就是甲是乙的？。 似乎有2这样一个不成文的规定，小数或整数倍数，人们习惯用倍数来称呼它，而对于分数倍数，人们则习惯于称呼它为几 分之几。但这只是一种习惯， 改变不了两者是一回事的本 质。因此分数问题亦可以转化为倍数来考虑。倍数问题也可以转化为分数问题来考虑。例：学校对一块空地进行绿化， 把它设计为3相关量， 草地，花坛，小路。其中小路面

13、积与草地面积的比为 1:7 , 小路面积又是花坛面积的 1，已知草地面积比花坛面积大 36平方米，求小路的面积。分析：小路面积与草地面积的比为 1:7 ,理解为“草地 面积是小路的7倍”进一步理解为“草地面积是小路的Z ”1小路面积又是花坛面积的 1，理解为“小路面积又是花4坛面积的1倍”进而“花坛面积是小路的4倍；再进一步“花4坛面积是小路的4 ”i所以，小路面积是单位 1，花坛，草地是相关量，因 而草地与花坛的差（36平方米）也是相关量：36 + 7-4 ） 就是小路的面积。本例放在这里可能不是太合适，不过我就是想告诉大 家，倍数问题和分数问题是一回事， 他们是一个事物的两 个不同的名字，

14、明白之后，完全可以互化。下面看一个难一点的。例3:学校组织学生郊游， 中午吃饭时用了 55个碗， 其中一人一个饭碗，两人一个汤碗， 3人一个菜碗，问你 能算出共有多少学生吗？分析：问法“你能算出共有多少学生吗？”，考虑与学 生人数有关的条件：“其中一人一个饭碗，两人一个汤碗， 3人一个菜碗”。这里换个角度来理解，一人一个饭碗理解 为饭碗是人数的1 ,两人一个汤碗理解为汤碗是人数的?,3人一个菜碗理解为菜碗是人数的 1。方法一：要求的人数在条件中是单位1，用除法，但饭碗，汤碗，菜碗这三个相关量的实际大小都不知道，怎 么办？还记得吗“同一个单位1的两个相关量的和，仍是 这个单位1的相关量”所以饭碗

15、，汤碗，菜碗这三个相关量的和仍是相关量，而这个相关量的实际大小我们是已知的55 !所以有：55 -(1 + 1 + 1)23这种特殊的相关量，使我们用算术法求解一些难题时 常用到的！方法2 :有条件易得相等关系饭碗+菜碗+汤碗=55 ,而饭碗，汤碗，菜碗是三个相关量，求相关量用乘法，因此设共x人，则饭碗=x，汤碗=2x，菜碗=x，代入相等关23系中得到：1 1x+ x x = 5 523例4 :第28届奥运会上中国健儿获得了 32枚金牌， 比第27届多1，第27届中国获得了多少块金牌？分析：从问法知，要考虑第27届的情况，“比第27届 多7 ,所以第27届的金牌数是单位1用除法，而第二十八届的

16、是相关量，其实际大小是32,占单位1的（1 +弓）（此处可以这样理解，既然第 27届的金牌数是单位 1，比第27届多-就可以理解为“比单位1多当然占单位7 71 的 1+1 了）。所以：32珥1+1）自己考虑为何要加括号？例5、小明下载了 30首古诗，小红下载的比小明的-3多3首，小红下载了多少首？分析：问法“小红下载了多少首”,考虑与小红有关的条件“小红下载的比小明的2多3首”小明下载的是单位1 ,3小红下载的是相关量。但这个相关量占单位 1的分 数不知道，再看多3首这个差额，显然也是相关量，可这 个相关量占单位1的分数也不知道！用这个方法似乎无解 了！且慢，同一个单位1的两个相关量的和，仍

17、是这个单位1的相关量”！“小红下载的比小明的-多3首”这句话我3们换个角度来理解：小红下载的去掉三首后是小明的-!3而“小红下载的去掉三首后”这个相关量，恰恰是以上两个相关量的差！而这个相关量的占单位1的分数为：|所以“小红下载的去掉三首后”这个相关量的实际大 小为：30 X23小红下载的这一相关量就应为：30 x2+33关于这种题型的分数除法见下例：例5、小红下载了 30首古诗，小红下载的比小明的-3多3首，小明下载了多少首？列式为：（30-3 ）+23简析如下：“小红下载的比小明的3多3首”这句话我们换个角度来理解：小红下载的去掉三首后是小明的2 !3例6 :已知甲是8，乙是6，求甲是乙的几分之几？分析：有公式3知，这种题用除法。看问法甲是乙的 几分之几，乙是单位1 ,是除数，甲是相关量，是被除数， 所以8弋例7:已知甲是8，乙是6，求甲比乙大几分之几？ 乙比甲小几分之几？分析：“求甲比乙大几分之几？”实际上是说，甲比乙大的相关量（即差）是乙的几分之几，由于问法中的乙是单位1,所以是除数，差