解析几何中几个常见错误剖析

1、解读几何中几个常见错误剖析解读几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。本文试图对解读几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。、忽视斜率不存在导致错误例 已知过点（一，）作直线与圆x2y22x -4y -20 =0 交于、点,弦长为，则直线的方程为错解设直线的方程为（）即一,由题意得k (-1)-2 4k剖析正解口5解得，所以直线的方程为上述解法未考虑直线斜率不存在情形,5x 12y 20=0从而导致错误。事实上，直线斜率不存在时，弦长也为。（）直线斜率不存在时，直线的方程为-，符合题意。（）直线斜率存在时，设直线的方程为（）即,由题意得kx(_1)_2+4k5解得

2、k，所以直线的方程为 5x 12y 2012综上所述直线的方程为：或 5x 12y 20评注使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。、忽视方程自身限制导致错误例直线经过（）,且在轴上的截距相等，试求该直线方程错解 设直线方程为：丄=1,又过（）， -3 =1,求得a ba b直线方程为剖析直线方程的截距式：-=1的条件是：a工且工,本题忽略了 a = b = 0这一a b情形3 03正解 （）当直线过（）时，此时斜率为：k =匚0 =,2 -0 23直线方程为32（）当直线不过（）时，设直线方程为：= 1,又过（）， - =1,求得直线方程为a ba b3综上

3、可得：所求直线方程为或3.2三、忽视题目隐含条件导致错误例 已知在. ABC中，另两边长之差为，求顶点的轨迹方程错解以边所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为| AB - AC| =6c8= BC，所2 2以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，由已知得，b2 =16-9=7，故顶点的轨迹方程为 - y 197剖析上述解法忽视了、为三角形的三个顶点，即、三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解以边所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为AB - AC| = 6 8=| BC，所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，由已知得，b2 =16-9=7，又由、三点不能共线知点不能2 2落

4、在轴上，所以顶点的轨迹方程为 -y 1(y = 0)97评注解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例 设椭圆的中心是坐标原点，长轴3x在轴上，离心率e -,已知点2P(0,3)到这个椭圆上的最远距离2是J1，求这个椭圆的方程。错解依题意可设椭圆方程为2b2=1 (a b 0)剖析正解2c2aa2 -b2b2-2aa = 2 b.设椭圆上的点(x, y)到点P的距离为d，则2需(1 十)y2 -3y 43.221 2二-3(y 1)4b23.所以当 4b2 3 =( 11)2，2d有最大值

5、，从而d也有最大值。由此解得：b s r.于是所求椭圆的方程为-t.本题错在由当y 时，d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上,2由于点(x, y)在椭圆上，所以有-b y b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论。依题意可设椭圆方程为2 2% 告=1(a b 0)a b2 2,2 ,2 2 .2ca-bb3 - b 1贝 V e 2212 ，所以 2 ，即 a = 2b.a aa 4a 4设椭圆上的点(x, y)到点P的距离为d，贝U2223 22 y 291 22d=x (y )=a (12) y -3y3(y ) 4b 3.b241 2| 23 2若b ：,则当y =-b时，d (从而d )有最大值。于是G 11)=(b ),从而解得2 2b = .11 -3 -,与b =-矛盾。2 2 211所以必有b，此时当y时，d2有最大值，从而4b23=(. 11)2，222 2 解得b2 =2,a2 =8.于是所求椭圆的方程为 1.8 2评注用圆锥曲线方程研究圆锥曲线问题时，