科学和工程计算复习题2014

1、科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的 和得到结果需要付出的 .2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由 决定;二是占据存储器的空间,主要由 决定.3. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成 .4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是 ,否则是 .5. 函数求值问题的条件数定义为: 6. 单调减且有 的数列一定存在极限; 单调增且有 的数列一定存在极限.7. 方程实根的存在唯一性定理:设 且 ,则至少存在一点使.当在上 时,方程在内有唯一的实根.8.

2、 函数在有界闭区域D上对满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点和成立不等式: .其中常数L .9. 设为其特征值,则称 为矩阵A的谱半径.10. 设存在,则称数 为矩阵的条件数,其中是矩阵的算子范数.11. 方程组,对于任意的初始向量和右端项,迭代法收敛的充分必要条件是选代矩阵B的 .12. 设被插函数在闭区间上阶导数连续,在开区间上存在.若为上的个互异插值节点,并记,则插值多项式的余项为 ,其中 .13. 若函数组满足 ,则称为正交函数序列.14. 复化梯形求积公式 ,其余项为 15. 复化Simpson求积公式 ,其余项为 16. 选互异节点为Gauss点,则Gauss型求积

3、公式的代数精度为 .17. 如果给定方法的局部截断误差是,其中为整数,则称该方法是 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象.19. 迭代序列终止准则通常采用 ,其中的为 .20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)的系数矩阵 .二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组的充分条件? ( )A. 矩阵的各阶顺序主子式均不为零; B. 对称正定;C. 严格对角占优; D. 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( ) A. ; B.

4、 ; C. ; D. .3. 对于任意的初始向是和右端项,求解线性代数方程组的迭代法收敛的充分必要条件是( ). A. ; B. ; C. ; D. 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件? ( )A. 为严格对角占优阵; B. 为不可约弱对角占优阵;C. 的行列式不为零; D. 为对称正定阵.5. 设，并记，则函数的过点的线性插值余项,满足( ). A. ; B. ; C. ; D. .6. 设是在区间上带权的首项系数非零的次正交多项式,则的个根( ). A. 都是单实根; B. 都是正根; C. 有非负的根; D. 存在重根

5、7. Legendre多项式是( )的正交多项式.( )A. 区间上带权; B. 区间上带权;C. 区间上带权; D. 区间上带权8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram矩阵与( )无关?A. 基函数; B. 自变量序列;C. 权数; D. 离散点的函数值.9. Simpson求积公式的余项是( ).A. ; B. ;C. ; D. 10. 个互异节点的Gauss型求积公式具有( )次代数精确度.A. ; B. ; C. ; D. .11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( ). A. ; B. ; C. ; D. .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值

6、的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的( ). A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和.14. 当( )时,求解的显式Euler方法是绝对稳定的. A. ; B. ; C. ; D. 15. 求解的经典R-K公式的绝对稳定条件是( ): A; B. ; C. ; D. .16. 在非线性方程的数值解法中,只要,那么不管原迭代法是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是( )阶的. A. 1; B.

7、 0; C. ; D. .17. 在非线性方程的数值解法中,Newton迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1; B. 0; C. ; D. .18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1; B. ; C. ; D. .19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( ),其中的为给定的相对误差容限. A. ; B. ; C. ; D. .20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( ).A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算

8、机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( )3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( )4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。( )5. 设, 则的充要条件是的谱半径.( )6. 若,则一定有.( )7. 求解线性代数方程组,当很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同

9、时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快. ( )9. 均差(或差商)与点列的次序有关. ( )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. ( )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson求积公式是4阶收敛的. ( )12. Gauss求积系数都是正的. ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. ( )14. 在Runge-Kutta法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高

10、的阶. ( )15. 求解的梯形公式是无条件稳定的. ( )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ( )18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. ( )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. ( )20. 在求解非线性方程组时,在

11、一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性. ( )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。2. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。3. 用高斯消去法求解方程组，即 （4） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（5） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（6） 由计算。4. 用高斯消去法求解方程组，即

12、（1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。5. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。6. 用高斯消去法求解方程组，即 （1） 列出用增广矩阵表示的计算过程及解向量；（2） 列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角阵和；（3） 由计算。7. 用追赶法求解三对角方程组,其中8. 用追赶法求解三对角方程组,其中9. 用追赶法求解三对角方程组,其中五、 插值与拟合1. 已知函数的三个点，写出Lagr

13、ange插值基函数,并求2次插值多项式.2. 已知,求函数过这三点的二项Lagrange插值多项式.3. 求不超过3次的多项式，使它满足插值条件： 4. 求不超过4次的多项式，使它满足插值条件： 5. 给定数据如下:11.5021.252.501.005.50(1) 作函数的均差表;(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式.6. 求不超过3次的多项式，使它满足插值条件:7. 己知函数的三个点处的值为：在区间-1, 1上,求在自然边界条件下的三次样条插值多项式.8. 已知为定义在区间上的函数,且有试求区间上满足上述条件的三次样条插值函数.9. 己知点列和权数,试用三项递推公式构造对应的正交多项式.

14、10. 观察物体的直线运动,得出如下数据：时间t /s0.00.91.93.03.95.0距离s /m010305080110求运动方程,并作图.11. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据:012340.000.250.500.751.000.100.350.811.091.9612. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据:012340.000.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.718313. 用自己的语言叙述最小二乘原理，并求参数和，使积分值最小.六、 数值积分和数值微分1. 求积公式已知其余项的表达式为,试确定系数使该求积公式具有尽可能高的代数精

15、确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.2. 确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.(1) (2) (3) 3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精确度的次数, 并求出余项中的常数.(1) (2) 4. 给定数据表:1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.46675分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算的近似值.5. 分别用4段梯形公式和2段Simpson公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。(1) (2) 6. 己知求积公式:试利用此公式导出计算的2段复化求积公式.7. 用两种不同的方法确定，使下面公式为Gauss求积公式:七、 常微分方程的数值解法1. 取步长，试用显式Euler法求解初值问题： 并将计算解和精确解(要求求出)