2020版高考数学一轮总复习-复数的概念与运算教案(文)(含解析)新人教A版

1、复数的概念与运算1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算23知识梳理1 .复数的有关概念(1)复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中a为实部， b为虚部，i是虚数 单位，且满足i2=-1 ，全体复数组成的集合 C叫做 复数集.(2)复数的分类：满足条件(a, be R)分类a+ bi 为实数？ _b= 0a+bi 为虚数？ bwoa+bi为纯虚数？ a=0,且b*O(3)复数相等的充要条件：a+bi = c+di ? a= c 且 b= d (a, b, c, de R).特别地，a+

2、bi=0?a=b= 0 (a, bCR).2 .复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 实 轴，y轴叫做虚轴.(2)复数z=a+bi( a, bCR)与复平面上的点 Z( a, b) 及平面向量Oz= (a, b) 是对应关系.(3)复数的模：对应复数z的向量OZ"r： r叫做复数z=a+ bi的模，记彳| z|或| a+bi|.| z| = | a+ bi| = aja-b b2 .3 .共轲复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为共轲复数，用 z 表示.(2)代数形式：a+bi 与 a bi 互为共轲复数(a,

3、 bCR)dz= a+bi? z = a bi .(3)几何意义：非零复数 zi, Z2互为共轲复数？它们的对应点Z1,乙(或向量OZ, OZ)关 于实轴对称.4 .复数的运算(1)运算法则：设 zi= a+ bi , z2= c+di( a, b, c, de B .运算运算法则加减法zi±z2=(a+bi) ±(c+di)=(a±c) + (b±d)i乘法zi - z2= (a+ bi)( c+ di)=(ac bd)+(ad+bc)i除法zi _ a+ bi _ ac+bd bcad. z2- c+ di - c2+d2+c2+d”(2) 复数加、

4、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数zi, Z2对应向量OZ, OZ不共线，则复数zi+z2是以OZ, OZ为两邻边的平行四边 形的对角线&所对应的复数.复数减法的几何意义复数Zi Z2是以连接OZ, OZ的 终点 所对应的向量，并指向 被减数Zi所对应的点 Z1 所对应的复数复平面内的两点间的距离公式d = | Zi Z2I .其中Zi, Z2是复平面内的两点 Zi和乙所对应的复数，d为点Zi与Z2的距离.热身练习1. 实部为一2,虚部为i的复数所对应的点位于复平面的(B)A.第一象限 B .第二象限C.第三象限D .第四象限实部为 2，虚部为 1 的复数在复平面上对应点的坐标为

5、（ 2,1） ，位于第二象限2. （2018 长春二模）已知复数z = m23饰mi（标R）为纯虚数，则 亦（B）A 0 B 3C 0 或 3 D 42m-3m= 0,由题意得所以m=mp5 0,3.3. (2016 全国卷n )设复数z满足z+i =3i ,则z = (C)A1 2i B 1 2iC 3 2i D 3 2i. 一 一 一一一 由 z+i = 3i 得 z=32i ,所以 z3 2i.4. (2017 全国卷出)复平面内表示复数 z = i( -2 + i)的点位于(C)A.第一象限 B .第二象限C.第三象限D .第四象限因为 z=i( -2+i) =- 1 2i ,所以复数

6、z=1 2i所对应的复平面内的点为Z(1, 2),位于第三象限.5. 已知zi=3-4i , Z2=5+2i, zi, Z2对应的点分别为R, P2,则巨於对应的复数为(B)A8 6i B 8 6iC 8 6i D 2 2im=oP ofe对应的复数为ziz2=(3 4i) ( 5+2i) =8 6i.复数的概念,-, -2下面是关于复数z = j的四个命1 ipi： |z| =2;p2： z2=2i ;p3： z的共轲复数为1 + i;p4： z的虚部为一1.其中的真命题为A.p2,p3B .pi,p2C.p2,p4D .p3,p42Z = -1 + i因为|z|=N 1 2+ -1 2所以

7、p1是假命题;因为z2=(-1-i) 2 = 2i ,所以p2是真命题; . . . . .因为z = 1 + i ,所以P3是假命题；因为Z的虚部为一1,所以P4是真命题.所以其中的真命题共有 2个：P2, P4.(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轲复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算.(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a+ bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理.1. (1)(2016 全国卷I )设(1 +2i)( a+i)的实部与虚部相等，其中 a为实数，则a =(A)A. 3 B . - 2C. 2

8、 D . 3(2) z是z的共轲复数，若 z+z=2, (z- z)i =2(i为虚数单位)，则z等于(D)A. 1 + i B . - 1-iC. 1 + i D . 1-i(1)(1+ 2i)( a+i) = a2+(1 +2a)i ,由题意知a2=1+2a,解得a=-3,故选A.(2)设 z= a+ bi( a, be R),则 z = a bi ,由条件 z+ z =2, (z z)i =2,得 2a=2,2 bi i = 2,所以 a=1, b=- 1.所以 z=1-i.复数的运算(1)(2017 全国卷I)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1 + i) 2 B . i 2

9、(1 -i)C. (1 + i) 2 D . i(1 + i)1 i(2)(2018 全国卷 I)设 z=1Y- + 2i,则 |z|=()1A. 0 B. 2C. 1 D. 2(1)A 项，i(1 + i) 2= i(1 + 2i + i2)=i X2i = 2,不是纯虚数.B项，i 2(1 i) = (1 i) = 1 + i ,不是纯虚数.C项，(1 +i) 2=1 + 2i +i2=2i ,是纯虚数.D项，i(1 + i) = i + i 2= 1 + i ,不是纯虚数. ,.2，1 一 i1 一 i一 2i(2)因为 z=E +2i1T+ 2i = +2i =i,所以| z| = 1

10、.(1)C(2)C(1)复数的四则运算的解题策略:复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轲复复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化.(2)几个常用结论在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度.21 + i 1 i(1 土 i) =±2i ,曰=i ,二= -i.( a+ bi) = b+ ai.i2=-1, i4n=1, i4n+1 = i , i4n+2=-1, i4n+3=-i , i4n+i4n+1 + i 4n+2+i4n+3=0, n N*.2.(1)(2017 浙江卷)已知 a,bC R,(a+bi) 2=3+4

11、i(i是虚数单位)，则 a2+b2=5ab= 2(2)(2018 天津卷)i是虚数单位，复数6 + 7i1 +2i(1)( a+bi) 2= a2b2+2abi.2a2-b2=3,a2=4,由(a+bi) =3+4i,得 ab_2解得 所以 a2+ b2= 5, ab= 2.6 + 7i 6+7i12i6+14 5i 20 5i(2) 1+2i=1 +2i12i- =12-2i2= -5-=4-i.复数的几何意义(1)设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Zi=2+i,则ZiZ2=A. 5 B . 5C. 一 4+i D . 一 4一 i(2)已知平行四边形 OABC勺三个顶点 Q

12、A C对应的复数分别为 0,3 +2i , 2+ 4i , 如图，则：叙示的复数为;C表示的复数为；B点对应的复数为.(1) zi=2+i在复平面内对应的点的坐标为(2,1),因为Zi, Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以Z2对应的点为(一2,1),所以Z2= 2+i,所以 zz=(2+i)( -2+i) =i 2-4=- 5.(2)AO)= - OA所以AO表示的复数为一(3+2i),即一32i. CA= OA-OC所以C表示的复数为(3+2i) (2+ 4i) =52i. OB= AB= OAb OC所以OB1示的复数为(3+2i) +(2+ 4i) =1 + 6i.即B点对应的复数

13、为1+6i.A (2)3 2i 52i 1+ 6i(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义.(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同. i,13. (1)(2018 北东卷)在复平面内，复数 17的共轲复数对应的点位于(D)A.第一象限 B .第二象限C.第三象限D .第四象限(2)已知平行四边形 ABCDK顶点A, B分别与复数1 2i,3 + 2i对应，向量AC寸应的 复数为一2+ 6i ,则：向量AD寸应的复数为一4+2i;顶点D对应

14、的复数为 一3 .11 i-1 i(1) 工"=2+3 其共轲复数为2-2,对应点位于第四象限.(2)根据题意，画出示意图:因为AD=BC=XC-Xh所以XD时应的复数为(2 + 6i) (3 +2i) - (1 - 2i) =4+2i.因为OD-OA=AD所以Od= OAAh所以D对应的复数为(1 -2i) +(4+2i) =- 3.1 .把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径.但要注意：在两个复数相等的充要a= c.条件中，前提条件是a,b,c, dCR,即当a,b,c,dCR时，a+bi=c+di

15、?b= d,若忽略条件，则不能成立.因此，在解决复数相等问题， 一定要把复数的实部和虚部分离出 来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题.2 .复数z = a+bi( a, bCR)与复平面内的点 Z(a, b)及向量向对应的.但要注息：(1)复平面上虚轴含有原点；(2)ABrOZ莫相等且方向相同，则它们表示同一复数， 但是只有向量的起点在原点o时,此时向量才与它的终点表示同一复数.3 .复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ i”的多项式合并同类 项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i2换成-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解.4 .运算的基本要求是准确、迅速、