n阶幻方的填法

1、n阶幻方的填法Prepared on 24 November 2020n阶幻方的填法（n，3）幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1, 2, 3,I?排列 成一个胡方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于 生学E x乙这样的方阵称为幻方。2 n幻方最早记教于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中，这说明我国 人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希 腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3 10阶幻方，记教在 他1275年写的续古摘厅算法一书中。在欧洲，直

2、到574年，德国着名画家 丢功才绘制出了完整的4阶幻方。例如：把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9填入3*3的格子，使得：每行、 每列、两条对角线的和是15。inidn是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*（n*n+l）为幻方的变幻常数。 数学上已经证明，对于n2, n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类乂有各种各样的填写 方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。1、奇数阶幻方n 为奇数（n=3, 5, 7, 9, 11）（n=2*k+b k=b 2, 3, 4, 5）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯方）。填写方法是这

3、样：把 1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-l个数：（1）、 每一个数放在前一个数的右上一格；（2）、如果这个数所要放的格已经超出了顶 行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；（3）、如果这个数所要放的格已 经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4）、如果这个数 所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一 行同一列的格内；（5）、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同 （4）。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。2、双偶阶幻方n 为偶数，且能被 4 整除(n=4, 8, 12, 16, 20)(n=4k, k=

4、l, 2, 3, 4,5)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+l,称为互 补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数 字。这里，n*n+l = 4*4+1 = 17；把 1 换成 17-1 = 16；把 6 换成 17-6 = 11； 把11换成17-11 = 6换完后就是一个四阶幻方。16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k 个方阵。因为

5、n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵 的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就 构成幻方。下面是8阶幻方的作法：(1)先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵(2)每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。23%606795/121351X1617X2021X422426273才y30313332343529is3839X4123224445K4849X145253X56y58595626313、单偶阶幻方n 为偶数，且不能被 4 整除(n=6, 10, 14, 18, 22)(n=4k+2, k=l, 2,3, 4, 5)这

6、是三种里面最复杂的幻方。以n=10为例。这时，k=2(1)把方 阵分为A, B, C, D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次 在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。A B17241815677451586523571416735557646646225456637072101219213606269715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293138454785879496783537444628869310077843643502734(3)将这些格，和

7、C象限相对位置上的数，互换位置。92991815677451586598807141673555764664688952254566370728587192136062697153869325296168755259172476839042492633402358289914830323941798197293138454710129496783537444628111810077843643502734(4)在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1歹心(注：6阶幻方由于k- 厂0所以不用再作B、D象限的数据交换)9299181567745865988071416735564664688952254567072858719213606271538693252961685259172476839042492633402358289914830323941798197293138454710129496783537444628111810077843643502734(5)将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，即可完成。92991815677426586598807141673553264664688952254563870728