2018东城区高中数学理一模及答案

1、1北京市东城区北京市东城区 20201 17-20187-2018 学年度第二学期高三综合练习学年度第二学期高三综合练习高三数学（理科）2018.42018.4本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 |31Axx ， |1Bx x 或2x ，则AB （A） |32xx （B） |31xx （C） |11xx （D） |12xx（2）复数i1 iz 在复

2、平面上对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知, a bR，且ab，则下列不等式一定成立的是（A）220ab（B）coscos0ab（C）110ab（D）0abee（4）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点3 4( , )5 5，则tan()的值为（A）43（B）34（C）43（D）34（5）设抛物线24yx上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是（A）1（B）2（C）3（D）4（6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展” 、 “明代御窑瓷器展” 、 “历代青绿山水画展” 、 “赵孟頫书画展”. 某同学决定在五一当天的

3、上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有:（A）6 种（B）8 种（C）10 种（D）12 种（7）设na是公差为d的等差数列，nS为其前n项和，则“0d ”是“ nS为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件2（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）某次数学测试共有 4 道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手” ，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有 5 个“学习能手” ，则“难题”的个数最多为（A）4（B）3（C）2（D）1第二部分（非选择题共 11

4、0 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9 ） 在ABC中， 角,A B C所对的边分别为, ,a b c. 若222acbac， 则B=（10）在极坐标系中， 圆2 cos的圆心到直线sin1的距离为（11）若, x y满足410,xyxyx则2zxy的最大值为（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为_.（13）设平面向量, ,a b c为非零向量能够说明“若鬃a b = a c，则b= c”是假命题的一组向量, ,a b c的坐标依次为（14）单位圆的内接正(3)n n 边形的面积记为( )f n，则(3)f_；下面是关于( )f n的描述:2( )s

5、in2nf nn；( )f n的 最 大 值 为； ( )(1)f nf n； ( )(2 )2 ( )f nfnf n.其中正确结论的序号为_.（注：请写出所有正确结论的序号）3三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知函数22( )sin2sin coscosf xxxxx.() 求( )f x的最小正周期；() 求( )f x在0,2上的最大值和最小值.4（16） （本小题 13 分）从高一年级随机选取 100 名学生， 对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析， 成绩如图所示.（）从这 100 名学生中随机选取一人，

6、求该生数学和语文成绩均低于 60 分的概率；（） 从语文成绩大于 80 分的学生中随机选取两人， 记这两人中数学成绩高于 80 分的人数为x，求x的分布列和数学期望( )Ex；（）试判断这 100 名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）5（17） （本小题 14 分）如图 1，在边长为 2 的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD，PBC沿PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图 2. 在三棱锥POAB中，E为PB的中点（）求证：POAB；（）求直线PB与平面POA所成角的正弦值；（）求二面角PAOE的大小.图 1图 2（18） （本小题 13 分）

7、6已知椭圆22221(0)xyCabab：的离心率为32，且过点 A(2，0)() 求椭圆C的方程；() 设 M，N 是椭圆C上不同于点A的两点，且直线 AM，AN 的斜率之积等于14. 试问直线 MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由（19） （本小题 14 分）已知函数( )e(1)xf xa x.（I）若曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线斜率为 0，求a的值；（II）若( )0f x 恒成立，求a的取值范围；（III）证明：当0a 时，曲线( ) (0)yf xx总在曲线2lnyx的上方.（20） （本小题 13 分）在(2)nn n个实数组成的n行n列的数表

8、中，ija表示第i行第j列的数，记12iiiinraaa(1)in，12(1)jjjnjcaaajn.若 1,0,1ija (1,)i jn. 且1212,nnr rr c cc两两不等， 则称此表为 “n阶H表” .记1212, , , ,nnnHr rr c cc.（I）请写出一个“2 阶H表” ；（II）对任意一个“n阶H表” ，若整数, n n ，且nH，求证：为偶数；（III）求证：不存在“5 阶H表”.7北京市东城区北京市东城区 20201 17-20187-2018 学年度第二学期高三综合练习（一）学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标

9、准 （理科）（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）（9）3（10）1（11）6（12）122 3（13）(1,0), (0,1),(0,-1)（答案不唯一）（14）3 34；三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分）（15） （共 13 分）解： （）因为22( )sin2sin coscosf xxxxxxxxxxx2co

10、s2sin)sin(coscossin2222sin(2)4x.所以( )f x的最小正周期为22 .7 分() 因为02xp.所以32444xppp-.当242xpp-=，即38xp=时，( )f x取得最大值2；当244xpp-= -，即0 x =时，( )f x取得最小值1-.所以( )f x在0,2上的最大值为2，最小值为1-.13 分（16） （共 13 分）解： （I）由图知，在被选取的 100 名学生中，数学和语文成绩均低于 60 分的有 9 人，所以从 100 名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于 60 分的概率为90.09100.3 分8（）由图知，语文成绩大于 8

11、0 分的学生优 10 人，这 10 人中数学成绩高于 80 分的有 4人，所以x的所有可能取值为 0，1，2.262101(0)3CPCx=,11462108(1)15C CPCx=,242102(2)15CPCx=，所以x的分布列为x012p13815215故x的数学期望1824( )012315155Ex=+ +=.10 分（）由图判断，ab.13 分（17） （共 14 分）证明： （）在正方形ABCD中，P为CD中点，PDAD,PCBC，所以在三棱锥POAB中，POOA，POOB.因为OAOBO，所以PO 平面OAB.因为AB 平面OAB,所以POAB.4 分（）取 AB 中点 F，连

12、接 OF，取 AO 中点 M，连接 BM.过点 O 作 AB 的平行线 OG.因为 PO平面 OAB，所以 POOF，POOG.因为 OAOB，F 为 AB 的中点，所以 OFAB. 所以 OFOG.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.A(1， 3，0)，B(1， 3，0)，P(0，0，1)，M(12，32，0)因为 BOBA，M 为 OA 的中点，所以 BMOA.因为 PO平面 OAB，PO平面 POA，所以平面 POA平面 OAB.因为平面 POA平面 OABOA，BM平面 OAB，所以 BM平面 POA.因为BMuuur(32，32，0)所以平面 POA 的法向量 m(3，1，0).

13、BPuur(1， 3，1)设直线 BP 与平面 POA 所成角为，9则15sincos5BPBPBPa= =uuruuruurmm,m.所以直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值为155.10 分（）由()知13 1,222E，13 1,222OE ，1, 3,0OA .设平面OAE的法向量为n，则有0,0.OAOE nn即30,30.xyxyz 令1y ，则3x ，2 3z . 即3, 1,2 3n.所以21cos,2 42m nm nmn.由题知二面角 PAOE 为锐角，所以它的大小为3p.14 分（18） （共 13 分）解： （I）由已知有222,3.2aaba解得2,1.ab椭圆

14、 C 的方程为2214xy.4 分（II）若直线 MN 斜率存在，设直线 MN 方程为ykxn.由22,1,4ykxnxy消去y，得222(14)8440kxknxn.当0 ，设1122( ,),(,)M x yN xy，则12281 4knxxk .，21224414nx xk.由12121224AMANyykkxx 以及11ykxn，22ykxn整理，得221212(1 4)(42)()(44)0kx xnkxxn.10将，代入上式，整理，得220nkn，解得0n 或2nk .当0n 时，直线ykxn过(0,0)；当2nk 时，直线ykxn过(2,0)（舍）.若直线 MN 斜率不存在，则直

15、线,AM AN斜率互为相反数.不妨设11,22AMANkk ，于是直线1:(2)2AMyx 与椭圆交于(0,1)M，由对称性可知直线AN与椭圆交于(0, 1)N.所以直线 MN 也过(0,0).综上，直线 MN 过定点(0,0).13 分19） （共 14 分）解： （I）函数( )e(1)xf xa x的定义域为R.因为( )e(1)xf xa x，所以( )exfxa.由(0)10fa 得1a . 4 分（II）( )e(R)xfxa x.当0a 时，令( )0fx 得lnxa.lnxa时，( )0fx ；lnxa时，( )0fx .( )f x在(,ln )a上单调递减，在(ln ,+

16、)a上单调递增.所以当lnxa时，( )f x有最小值(ln )(1 ln )lnfaaaaaa .“( )0f x 恒成立”等价于“( )f x最小值大于等于 0” ，即ln0aa.因为0a ，所以01a.当0a 时，( )e0 xf x 符合题意；当0a 时，取011xa ，则111101()e( 11)e10aaf xaa ，不符合题意.综上，若( )0f x 对xR恒成立，则a的取值范围为0,1.9 分（III） 当0a 时， 令( )( )(2ln )eln2(0)xh xf xxxx， 可求1( )exh xx.11因为121( )e1002h，(1)e 10h ，且1( )exh

17、 xx在(0,)上单调递增，所以在（0，+ ）上存在唯一的0 x，使得0001()e0 xh xx，即001exx，且0112x.当x变化时，( )h x与( )h x在（0，+ ）上的情况如下：x0(0,)x0 x0(,)x ( )h x0( )h x极小则当0 xx时，( )h x存在最小值0()h x,且000001()eln22xh xxxx.因为01( ,1)2x ，所以0000011()2220h xxxxx.所以当0a 时，( )2ln (0)f xx x所以当0a 时，曲线( ) (0)yf xx总在曲线2lnyx的上方. 14 分（20） （共 13 分）解： （I）3 分（

18、II）对任意一个“n阶H表” ，ir表示第i行所有数的和，jc表示第j列所有数的和（1, i jn）.1niir与1njjc均表示数表中所有数的和，所以1niir1njjc.因为 1,0,1ija ，所以1212,nnr rr c cc只能取, n n内的整数.又因为1212,nnr rr c cc互不相等，, n n 且nH，所以1212 , ,1, 1,0,1,1, nnr rr c ccnnnn ，1110（答案不唯一）12所以1niir1njjc(1)( 1)0 1+(1)0nnnn .所以12niir 为偶数.8 分（III）假设存在一个“5阶H表” ，则由（II）知55, 5,3, 3H ，且54H和54H 至少有一个成立，不妨设54H.设125,5rr ，则121,1(15)jjaaj ，于是3(15)jcj，因而可设34r ，313233341aaaa，350a.若 3 是某列的和，由于52c ，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511aa.现考虑3，只能是4r或5r，不妨设43r ，即424344451aaaa ，由234,c c c两两不等知525354,aaa两两不等， 不妨设5253541,0,1aaa ， 若551a 则5