初三数学反比例函数的专项培优练习题

1、初三数学反比例函数的专项培优练习题、反比例函数1.P是线段AB上的一点，连接(3)【答案】（1）解：当-如图，已知 A(-4, 1), B( -12）是一与八、 5次函数 y=kx+b与反比例函数AC± x 轴于 C , BD±y 轴于x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?4V XV 1PC, PD, APCAAPDB面积相等，求点 P坐标. 时，一次函数大于反比例函数的值；-4Jt + b 二;(2)把 A (一 4, 士)所以一次函数解析式为2)代入y=kx+b得解得y= - x+把B ( - 1, 2)代入y=（3）解：如下图所示:设P点坐标为（t, - t+ 一）

2、， PCA和 PDB面积相等，1 1 1? ? ? ? (t+4) = ? ?1? (2- 2 t 2 ),即得 t= - 2 ,.P点坐标为（-【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当- 4vxv - 1时，一次函数图象都在反比例函B点坐标代入y=J,可计数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把算出m的值；（3）设P点坐标为（t,:t+二），利用三角形面积公式可得到(1)(2)(3)T15b（t+4）=？1? （2- W t-工），解方程得到t=-三，从而可确定P点坐标.2.如图，已知点 D在反比仞函数 y= I'的图象上，过点 D作x轴的平行线交 y轴于点B 2（

3、0, 3）.过点 A （5, 0）的直线 y=kx+b 与 y 轴于点 C,且 BD=OC, tan/OAC* .求反比例函数 y=，和直线y=kx+b的解析式；连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；点E为x轴上点A右侧的一点，且 AE=OG连接BE交直线 CA与点M,求/ BMC的度数.【答案】（1）解：. A （5, 0）, ，OA=5.tZOAC0C 2 出 )，解得OC=2, C (0, - 2),BD=OC=2,. B (0, 3) , BD/ x 轴, D (2,3),设直线YjrAC关系式为y=kx+b,.过 A (5, 0) , C (0, 2),q# 二一p

4、= 5k * b ，5 . t J b ,解得 b -二，2y - 20 一 ，(2)解：.B (0, 3) , C (0, 2),BC=5=OA在OAC和ABCD中OA = BC(AQC = 4阮 OC = BD.OACABCD) (SAS ,.AC=CD,/ OAC=Z BCD, / BCD+Z BCA=Z OAC+Z BCA=90 ； ACXCD;(3)解:/BMC=45.如图，连接AD, . AE=OC, BD=OG AE=BD, .BD/x 轴,四边形AEBD为平行四边形, .AD/ BM,/ BMC=Z DAC, .OACABCD,.AC=CD, .ACXCD,.ACD为等腰直角三

5、角形，/ BMC=Z DAC=45 :反比例【解析】【分析】（1）由正切定义可求 C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出 函数解析式；由 A、C求出直线解析式；( 2)由条件可判定 OA8 4BCD,得出 AC=CD /OAC=/ BCQ 进而 AC± CD; (3)由已知可得 AE=OC BD=OG 得出 AE=BD, 再加平行得四边形 AEBD为平行四边形，推出 OAC BCD,，AC=CD, / AC± CD, . ACD为等腰直角三角形，/ BMC=Z DAC=45 .°k3.已知：O是坐标原点，P (m, n) (m>0)是函数 y=(k>

6、0)上的点，过点 P作直 线PAL OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点 A (a, 0) (a>m).设4OPA的面积为J24s,且 s=1+ J .(3)设n是小于20的整数，且kw?l,求OP2的最小值.【答案】(1)解：过点P作PQ, x轴于Q,则PQ=n, OQ=m,(2)解：解法一：,. OP=AP, PAX OP, OPA是等腰直角三角形.d一 m=n=. - 1+ ?an.即 n4 - 4n2+4=o, k2_ 4k+4=0,.k=2.解法二：. OP=AP, PAX OP,.OPA是等腰直角三角形.m=n .设OPQ的面积为sisi 1in4KB KBMl=则：&am

7、p;= _/. ：,？mn=2(1+ /), 即：n4 - 4n2+4=o,k2- 4k+4=0, .k=2.(3)解：解法一：V PKL OP, PQ± OA, .OPQAOARlaaa设：OPQ的面积为s ,则5=d4化简得:2n4+2k2 kn4 - 4k=0(k-2) ( 2k- n4) =0,/2J''' k=2 或 k= -J (舍去)，当n是小于20的整数时，k=2.IjOP2=n2+m2=n2+ fI 又 m>0, k=2,n是大于0且小于20的整数.当 n=1 时，01=5,当n=2时，0产=5,当 n=3 时，01=3?+炉=9+。=

8、 ° ,当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、619时,0产的值分别是:42+不、52+斤、62+存1§+工学,.-192+ 7 >182+ 羌 >32+ 孑 >5, OP2的最小值是5.【解析】【分析】（1）利用4OPA面积定义构建关于 a的方程，求出 A的坐标；（2）由 已知OP=AP, PAI OP,可得4OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于 n的方程，转化为k的方程，求出k； （3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达 OP2，,在n的范围内求出O

9、P2的最值.k4.如图，已知函数上的图象与一次函数 y 眩十55 6）的图象相交不同的点A、B,过点A作AD，1轴于点D,连接AO,其中点A的横坐标为 皿， AOD 的面积为2.(1)求上的值及反=4时血的值；(2)记Ad表示为不超过卜的最大整数，例如：11. 17 = 1 , S7-2，设f OD.DC，若a A -1_ n ./,求值【答案】(1)解：设 A (xo , yo),则 OD=x), AD=yo ,Sa aod=寸OD?AD= X0y0=2,1- k=X0y0=4;当 Xo=4 时，y0=1,A (4, 1), 代入 y=mx+5 中得 4m+5=1 , m=-1a = mx+

10、5,整理得，mx2+5x-4=0,A的横坐标为xo ,mxo2+5xo=4,当 y=0 时，mx+5=0, Jx=- H, 目 . OC=-5,OD=xo ,.m2?t=m2? (OD?DC),口=m2?xo - - f- -xo),=m (-5xo-mxo2),=-4m,35''' - - v m v - -,5V -4m <6,.m 2?t=5【解析】【分析】(1)根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将 A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出 m的值；解联立直线与双曲线的解析式所组成的

11、方程组，得出mx2+5x-4=0,将A点的横坐标代入得出mxo2+5xo=4,根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出 OC,OD的长，由m2?t=m2?(OD?DC) =-4m,根据m的取值范围得出 5<-4m<6,从而答案。5.如图，在平面直角坐标系中， 上，顶点B在第一象限，线段 lit - / J jL if AC - /Lf ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点 工在仅轴正半轴封，为的长是一元二次方程心小斑二匕的两根,(1)直接写出点 讨的坐标 点C的坐标;kF - -, (2)若反比例函数1的图象经过点 去，求k的值；(3)如图过点 方作的上，轴于点山；在川轴上是否存在点 出

12、，使以H Z ，为顶点的F的坐标；若三角形与以J,匕，0为顶点的三角形相似？若存在，直接写出满足条件的点不存在，请说明理由.解：如图，过点工作座上AC ,垂足为皂,BAC = 45照' 成,设班' 叫3陛G晨9二典，说=12,.EC=12-x,在Rt A BE冲,BC -入,，整理得：/ 心4彩二匕，解得：,0=4(不合题意舍去)，卜7丁 a,M 电匝 g 6=1 .叵自外,(3)解：存在.如图2,OP=2 或 OP=6,若点P在OD上OP=12,若点P在OD上方， PDBs AOP, PDBs MOP,P (0, 6)P (0,P (0, 12)如图4,如图3,图5若点P在y

13、轴负半轴，PDPAOP,PD Db 贝U OA Of ,即若点P在OD上方， BD2 AOP,PD Db 贝U OA Of ,即 解得：OP=4+2 J7或OP=4-2%4 （不合题意舍去）， P （0, 4+2 币）;0P * 82OF解得：OP=-4+2 Y1或-4-2%;丁（不合题意舍去）， 则P点坐标为（0, 4-24 ）故点/的坐标为：故中或色词或（口壮）或他，手或也-2! 7）【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程 / /为孑网二心，解得：品.其 4,所以为=（T 6, 所以A（值9，以a" ；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程1- 心什/笫- G的两根，从而得

14、出OA=OC=q进而得出 A,C两点的坐标；（2）如图，过点上作质1就,垂足为七 根据等腰直角三角形的性质得出比 比，设3E ， EC=12-x,在Rt A BE冲利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE的长从而得出B点的坐标，然后 禾I用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在. 如图2,若点P在OD上，若PDBsAOP,根据相似三角形对应边成比 OA OF例得出 加 应，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3,若点P在PD DBOD上方，PDBAOP,根据相似三角形对应边成比例得出则即 /根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4,若点P在OD上

15、方，PDBAOP,根PD Db据相似三角形对应边成比例得出餐一而,根据比例式列出方程，求解并检验即可得出点的坐标；如图5,若点P在y轴负半轴，PDBsaop,根据相似三角形对应边成比 PD DB例得出0A 01 , 根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。6 .阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值。对于任意正实数a、b , 可作如 下变形a+b= W" / (=i)*' = 34，*入吊尸-入必+ _1劭,又(值 伪 刊 .电 加+打前方0+区，即占十幺、/比.(1)根据上述内容，回答下列问题：在 卜'力 3a

16、 (a、b均为正实数)中，若 ab 定值p ,则a+bNA/2,当且仅当a、b满足 时，a+b有最小值 入值.(2)思考验证：如图1, AABC 中，/ACB=90 , CD,AB,垂足为 D, CO 为 AB 边线，AD=2a , DB= 2b,试根据图形验证 a '力成立，并指出等号成立时的条件.F -(3)探索应用：如图 2,已知A为反比例函数，的图象上一点，A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在 A处旋转，保持两直角边始终与 x轴交于两点D、E, F (0, -3)为y轴上一点，连接 DF、EF,求四边形 ADFE面积的最小值.【答案】(1) a=b(2)解：有已知得 C

17、O=a+b,CD=2V ,C0>CD® 1 + 心 I >2/ .当D与0重合时或a=b时，等式成立.(3)解:5四目石封 - 5.如/ G的- -pE*/yA/ ； -pE*OF =-呵Mt + OF)当DE最小时S四边形adfe最小.过A作AHx轴，由(2)知：当 DH=EH时，DE最小,1X 8 X所以DE最小值为8,此时S四边形adfE= 2 ''(4+3) =28.【解析】【分析】(1)根据题中的例子即可直接得出结论。(2)根据直角三角形的性质得出CO=a+b, CD=/耳，再由(1)中的结论即可得出等号成立时的条件。(3)过点A作AHx轴于点H

18、,根据 S 四边形 adfE=sz ade+Sa fde , 可知当 DH=EH 时 DE 最 小，由此可证得结论。7.如图，直线y=2x+6与反比例函数 y= # (k>0)的图象交于点 A (1, m),与x轴交于 点B,平行于x轴的直线y=n (0vnv6)交反比例函数的图象于点 M,交AB于点N,连 接BM.1 泳3人75(1)求m的值和反比例函数的表达式；的解集;(2)观察图象，直接写出当x> 0时不等式2x+6(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，4BMN的面积最大？最大值是多少? 【答案】(1)解：二直线y=2x+6经过点A (1, m),. m=2X 1+6

19、=8A (1,8),;反比例函数经过点 A (1, 8),k=8,6反比例函数的解析式为 y=(2)解：不等式 2x+6工<0的解集为0<x<1.(3)解：由题意，点 M, N的坐标为M (门，n) , N ( 2, n), ,0<n<6,<0e 7n -2 >00 g目口 口 汽s Sa bmn二二 |MN| X 酬=1 x( KJ - 2')Xn =:(n 3) 2+ / ,冏. .n=3时，ABMN的面积最大，最大值为1 .【解析】【分析】(1)求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题;(2)由图象直接求得；(3)构建二次函数，利用二次

20、函数的最值即可解决问题(2)当k=-8时，若点A的横坐标是1,求/AOB的度数;8.如图，点A是反比例函数yi=k一个比例函数y2= x (k<0, xv0)的图象于点 B.(3)若不论点 A在何处，反比例函数 y2= 边形AOBD为平行四边形，求 k的值.【答案】(1) - 4(2)解：二点A的横坐标是1,(k< 0, x<0)图象上总存在一点D,使得四(x>0)图象上的任意一点，过点 A作AB/ x轴，交另y=2，点 A (1, 2),. AB/ x 轴,.点B的纵坐标为2,一 2= 一 解得：x=- 4,，点 B (-4, 2),1 .AB=AC+BC=1+4=5

21、 OA=NL + J = XO , OB=、+ 孝=2%小,2 .OA2+OB2=AB2 ,/ AOB=90 ;(3)解：假设y2=|上上有一点D,使四边形过D作D已AB,过A作AC±x轴,.四边形AOBD为平行四边形,AOBD为平行四边形,BD=OA, BD/ OA,/ DBA=Z OAB=Z AOC, 在 AOC和4DBE中，N眦=ZAOC (ZDEB = ZACO = 90" DB = AO.AOCADBE (AAS),设 A (a, (a>0),即 OC=a, AC=:？， .BE=OC=a DE=AC=:,d 笆 .D纵坐标为 6，B纵坐标为日，akdk .

22、D横坐标为J，B横坐标为.二 BE=| "J |=a ,即I =a, . k二一4.【解析】【解答】解：如图1,设AB交y轴于点G£ 工 = 1 y(x>0)图象上的任意一点，且 AB/ x轴,图1点A是反比例函数，AB，y 轴，1s Sa aoc=。X 2=1Sa aob=3,Sa boc=2,I. k= 4;故答案为：-4;【分析】(1)首先设 AB交y轴于点C,由点A是反比例函数 y1图象上的任意一点， AB/ x轴，可求得 4AOC的面积，又由4AOB的面积等于 3,即可求得BOC的面积，继 而求得k的值；(2)由点A的横坐标是1,可求得点A的坐标，继而求得点

23、 B的纵坐标，则可求得点 B的 坐标，则可求得 AB, OA, OB的长，然后由勾股定理的逆定理，求得 /AOB的度数；(3)假设y2上有一点D,使四边形 AOBD为平行四边形，过 D作DEL AB,过A作AC x 轴，由四边形 AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用 AAS得到 AOC与4DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=OQ DE=AQ设出 A点的坐标，表示出OC,AC的长，得出D与B纵坐标，进而表示出 D与B横坐标，两横坐标之差的 绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值.9.如图，Pi、P2是反比例函数 y= 1 (k>0)在第一象限图象上的两

24、点，点Ai的坐标为(4, 0).若PiOAi与P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点Pi、P2为直角顶八、(1)求反比例函数的解析式.（2）求P2的坐标.根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点kPi、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=4的函数值.【答案】（1）解：过点Pi作PiBx轴，垂足为B二,点Ai的坐标为（4, 0） , PiOAi为 等腰直角三角形J.OB=2, PiB= - OAi=2.Pi的坐标为（2,2）k将Pi的坐标代入反比例函数 y= = （k>0）,得k=2 x 2=44> =一反比例函数的解析式为工（2） 过点P2作P2C± x

25、轴，垂足为C ，, P2AiA2为等腰直角三角形.P2C=AC设 PzC=AC=a,贝U P2 的坐标为（4+a, a）4y =将P2的坐标代入反比例函数的解析式为工，得4a=十厘，解得ai = :血2 , a2二一二卉 2 （舍去），P2的坐标为（20 2） 在第一象限内，当2<x<2+工企时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.【解析】【分析】（i）先根据点Ai的坐标为（4, 0） , PiOAi为等腰直角三角形，求得Pi的坐标，再代入反比例函数求解；（ 2）先根据P2AiA2为等腰直角三角形，将 P2的坐 标设为（4+a, a）,并代入反比例函数求得 a的值，得到P2的坐标；

26、再根据 Pi的横坐标和 P2的横坐标，判断x的取值范围.S（i0.在平面直角坐标系 xOy中，对于双曲线 y= 1 （m>0）和双曲线 y= 1 （n>0）,如果m=2n ,则称双曲线 y=人（m>0）和双曲线 y=，（n>0）为倍半双曲线"，双曲线 y=（m>0）是双曲线y= q （n>0）的 惜双曲线”，双曲线y=k （n>0）是双曲线y=4（m> 0）的半双曲线”，J;双曲线y=；的半双曲线”是(1)请你写出双曲线 y= -i的 情双曲线”是 ,(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= a在第一象限内任意一点,

27、过点A与y轴平行的直线交双曲线y= f的半双曲线”于点B,求4AOB的面积;(3)如图2,已知点 M是双曲线y=#(k>0)在第一象限内任意一点，过点 M与y轴平行的直线交双曲线 y= ”的半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线 y= a 的半双曲线”于点巳若4MNP的面积记为S；A MNP ,且1W幺MNPW2,求k的取值范围.图26【答案】(1) y=工(2)解：如图1, .双曲线y= 1的 半双曲线"是y=， .AOD的面积为2, ABOD的面积为1, .AOB的面积为1(3)解：解法一：如图 2,”为设点M的横坐标为 m,则点M坐标为(m,-(k > 0

28、) xW)，点N坐标为(m,血)，CM=*2k,CN".k k，MN=同理PM=m 一工-1 Sapmn= - MN?PM=解法二：如图3,飞r飞*图3 2kkr - - (k > 0)v = - (k > 0)依题意可知双曲线1的 半双曲线”为 工,2kJi设点M的横坐标为 m,则点M坐标为(m,即)，点N坐标为(m,血)，点N为MC的中点，同理点 连接OM,P为MD的中点.PMNAOCM.S A 胸1s u tUf2.- SAOCM=k,ASa pmn= L.1 1 W8PMNW2,k1.4< kW8【解析】【解答】解：（1）由 倍双曲线”的定义40双曲线y=

29、*,的倍双曲线”是y="双曲线y=的 半双曲线”是yf .64故答案为y= a , y= # ;【分析】(1)直接利用 惜双曲线”的定义即可；(2)利用双曲线的性质即可；(3)先利 用双曲线上的点设出 M的横坐标，进而表示出 M, N的坐标；方法一、用三角形的面积公 式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出4PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论.11.如图1,抛物线y= ax2 - 4ax+b经过点A (1, 0),与x轴交于点B ,与y轴交于点 C ,且 OB=OC.|图圄2(1)求抛物线的解析式；(2)将4OAC沿AC翻折得到4ACE ,直线AE交抛物线于点

30、P ,求点P的坐标；(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与 B、C重合)，连 OM , 将OM绕O点旋转 90°,得到线段ON ,是否存在这样的点 N ,使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2,则B (3, 0);已知 OB=OC=3 贝U C (0, -3);设抛物线的解析式为：y=a (x-1) ( x-3),依题意有： a (0-1) ( 0-3) =-3, a=-1;故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3.(2)解：设AE交y轴于点F;易证得 FO FEC ,有 FF CE设 OF= x

31、,贝U EF= 3x ,所以 FA= 3x- 1 ;在RtFOA中，由勾股定理得:(3xT) 2= X2+1,日解得x= J ;即 OF= 1, F (0,二)；求得直线AE为y = - / x+ 1,33r v=x 4 一f " I 7联立抛物线的解析式得：=:;心 d,13故点P ( / ,33心(3)解：.B (3, 0) , C (0, 3),. .直线 BC: y=x-3;设点 M (a , a-3),则： 当点M在第一象限时，OG= a , MG=a-3;过M作MGx轴于G,过N作NHx轴于H;根据旋转的性质知：/MON=90°, OM = ON ,则可证得 M

32、OGNOH ,得：OG= NH=a , OH=MG= a- 3,故 N(a- 3, - a),将其代入抛物线的解析式中，得：-(a - 3) 2+4 (a-3) - 3=-a ,整理得：a2-11a+24 = 0,a = 3 (舍去)，a=8;故 M (8, 5) , N (5, - 8). 当点M在第三象限时，OG= - a , MG=3 - a；同 可得：MG=OH=3-a , OG= NH= - a ,则N (3-a , a),代入抛物线的解析 式可得：-(3- a) 2+4 (3-a) - 3=a , 整理得：a2-a=0,故 a=0, a=1; 由于点M在第三象限， 所以a<0

33、,故a=0、a= 1均不合题意，此种情况不成立； 当点M在第四象限时，OG= a , MG=3-a；同 得：N (3-a , a),在中已经求得此时a = 0 (舍去)，a=1;故 M (1, 2) , N (2, 1);综上可知：存在符合条件的 N点，且坐标为N (2, 1)或(5, - 8).【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点 B的坐标，已知 OB=OC,即可彳#到点 C的坐标，从而利用待定系数法求得 抛物线的解析式.(2)点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点 P,必须先求出直线 AE的 解析式；设直线 AE与y轴的交点为F,易得

34、FOAsFEG由于OA=1, EC=3,根据相似 三角形的对应边成比例即可得到FE=3OR设OF=x,则EF=3x, AF=3x-1,进而可在 RtA FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论：当点M在第一象限时，可设 M (a, a-3),由于ON是由OM旋转90°而得，因此4OMN是等腰直角三角 形，分别过 M、N作 MG、NH垂直于 x轴，即可证得 OMG0NOH,得 MG=OH, NH=OG,由此可表示出 N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；当点M在第三象限，点M在第四象限时，解法同 .12.如图，在平面直角坐标系中，点 A ( 5,