条件概率试题

1、2.2.1条件概率【学习要求】1 .理解条件概率的定义.2 .掌握条件概率的计算方法.3 .利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件 .P AB概率，然后再进行推厂；计算条件概率可利用公式P(B|A) = PABP A也可以利用缩小样本空间的观点计算.1 .条件概率的概念设A,B为两个事件，且P(A)>0,称P(B|A) =为在事件发 生的条件下，事件一发生的条件概率.P(B|A)读作_发生的条 件下发生的概率.2 .条件概率的性质(1)P(B|A)6(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BUC|A) =一点通求条件概率

2、一般有两种方法:是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(BA)=n AB ,其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含 n a的基本事件个数. PAB 二是直接根据定义计算，P(B|A) = EAT，特别要注意P(AB)的求法. P A例1 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1) 先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2) 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？(3) 思路点拨先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同.精解t¥析设“先摸出1个白球不放回”

3、为事件 A, “再摸出1个白 球”为事件B,则“先后两次摸到白球”为 AB,先摸1球不放回，再摸1球共有4X3种结果.2X3P(A) = 4 =P(AB) =2X 1 _ 14X3=6P(B|A) =P AB 1PA =3(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1, “再摸出1个白球”为事件B1, 两次都摸到白球为事件 A1B1.2X4 12X2 1 P(A1)=总=1，P(A1B1)=Q=71P(B1|A1) =P A1B1P A1= 4=1一2.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1;先摸1个白球后放回,31再摭出1个白球的概率为2.1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能

4、结果为。=1,2,3,4,5,6,记事件 A = 2,3,5, B = 1,2,4,5,6,则 P(A|B) =()八1o 1-2-3A.zB.CD.2555151P AB 3 2斛析：p=6, p(aab)=3，p(a|b)="pb-=5=562.已知 P(A|B) = 1, P(B)=1,则 P(AB) =.23. .一P AB解析：才依:瓦不，P B1 1 1 .P(AB)=P(A|B)P(B) = 2X3 = 6.3.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记18%两地同时下由题意，得P(A)录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20御雨的比例为12%问:(1)乙

5、地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A, “乙地为雨天”为事件B, = 0.20, P(B) = 0.18, P(AB) = 0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B) =P ABP B0.120.180.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)=百大=瓦=0.60.P AB 0.12探究点一条件概率问题1 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？”乙1答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1,不比其他同学小.3问题2如果已知第

6、一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？1答按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为2.小结已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率，这就是条件概率.例1在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取 2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.解 设”第1次抽到理科题”为事件A, “第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Q) = A5 = 2

7、0.根据分步乘法计数原理,n(A) = A3 X a4= 12.nA 12 3于7H P(A) = n Q =20= 5.(2)因为 n(AB) = A2 = 6,n AB 63所以 P(AB)=7F=2o=w-(3)方法一 由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题” 3P AB 10 1的概率为P(B|A)=彳=2.P A 3 25方法二因为 n(AB) = 6, n(A)=12, n AB 61所以 p(B|A)= n a =12=2.小结 利用P(B|A) = nB解答问题的关键在于明确 B中的基本事件 n A空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，

8、B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数.任取1个,跟踪训练1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地 连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率.解方法记”第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球” 6X 4 4的概率为P(AB户诉=行.4 9=» 415一©10 PAB由条件概率的计算公式，得p(B|A)=P;AB=P A方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩 9个球，其中54个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是 9. 9探究点二条件概率的性质及应

9、用问题条件概率满足哪些性质？答 条件概率具有一般概率的性质，即对 P(B|A)来说有：0WP(BA)W1;如果B, C为互斥事件，则 P(BUC|A) = P(B|A)+P(C|A).例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个.某 人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过 2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.解 设“第i次按对密码”为事件Ai(i = 1,2)U A = AiU(HA2)表示“不超过2 次就按对密码” .(1)因为事件Ai与事件Ai A2互斥，由概率的加法公式得1

10、9 11P(A)=P(Ai)+P( A1 4)=记+ 诉=5.(2)用B表示“最后一位按偶数”的事件，则1 4X1 2P(A|B)=P(A1|B)+P( A1 A2|B)=5 + E = 5.小结 本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式 P(B U C|A) = P(BA) + P(CA)可使有些条件概率的计算较 为简捷，但应注意这个性质在“ B与C互斥”这一前提下才成立.跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优

11、秀成绩的概率. 解 设事件A为“该考生6道题全答对事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中 4道题，另两道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A、B、C两两互斥，且D=AUBUC,由古典概型的概率公式及加法公式可知一，一八C60 C50C10 C40C20 12 180P(D)= P(A u B u C)=P(A)+ P(B)+ P(C) = C+C+CP(AD) = P(An D) = P(A), P(BD) = P(B A D) = P(B),PA P B . P(E|D)= P(AU B|D)= P(A

12、|D)+ P(B|D) =+八6八5 c 1C10C10 C10C20C6013二12 180+ 12 180= 58.c2oC60 13所以他获得优秀成绩的概率是131.某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是.解析 设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A) = 0.8,P ABP(B) = 0.4,而所求概率为 P(BA),由于 B? A,故 AB=B,于是 P(BA)="z- P AP BPA04_0.5,所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.2 . 1,2,3,4,

13、5中任取2个不同的数，事件A= "取到的2个数之和为偶数”，事件8= ”取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()1 A.8解析1B.4C3+C2P(A户/"21C.5D.22C2 1=5，P(AB户C2=而P(BA) =P ABPA14.3 .某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚值班的概率为.解析 设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”C61 .P AB 1则 P(A) = m P(AB) = C7,故 P(B|A) = mA- = 6.4 .考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求

14、这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为等可能)解 Q= （男，男），（男,女），（女，男），（女，女） .设8= “有男孩"，则B = （男，男），（男，女），（女，男） .A= "有两个男孩"，则A=（男，男）,B1= "第一个是男孩"，则B1 = （男，男），（男，女）3 于是得P(B) = 4,1 P(BA) = P(A)=4, .P(A|B) =P BAP B -3'11P(B1)=2，P(B1A)=P(A) = 4,-P AB n AB1 .条件概率：p(b|A)=mh=t.2 .概率P（BA）与P（AB）的区别与联系：P（AB）表示在样本空间 。中，计算AB发生的概率，而P（B|A）表示在缩小的样本空间 QA中，计算B发生的概AB中样本点数AB中样本点数率.用古典概型公式，则P（B|A）=-P（AB）= -上一.Qa中样本点数。中样本点数方法规律小结1 .计算条件概率要明确：（1） 准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的,其结果受两个条件的概率的制约；（2） 要正确求出条件概率，必须首先弄清楚事彳A发生”事件A发生并