第7讲因动点产生的相切问题

1、第7讲因动点产生的相切问题例1上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 V=ax2 2ax 4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 点A的坐标为(一 3,0)，点D在线段AB上，AD二AC .(1 )求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；(2)如果以DB为半径的OD与OC外切，求OC的半径；(3)设点M在线段AB上，点 N在线段BC上，如果线段 MN被直线CD垂直平分，求 BN的CN值.图1思路点拨1 准确描绘A、B、C、D的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系.2 第(3)题在图形中模拟比 划MN的位置，存在的等角对比，思路就有了.近似DC垂直平分MN

2、时，把新产生的等角与前面满分解答(1)将点 A( - 3,0)代入 y= ax2- 2ax-4，得 45a-2 4- 0.ay - XX 4 .今15解得a二一.所以抛物线的解析式为_1515抛物线的对称轴为直线 x=1 .<2由 y =±x2-©x-4 = ±(x+ 3)(x5)、得 B(5, 0), C(0, 4).151515由 A( 3,0)、B(5, 0)、C(0, - 4),得 AB= 8, AC = 5.当 AD 二 AC 二 5 时，O D 的半径 DB = 3.由 D(2, 0)、C(0, 4)，得 DC = 2 寸 5 .因此当O D与O

3、 C外切时，O C的半径为2j5-3 (如图2所示).(3)如图3，因为AD=AC,所以/ ACD=/ ADC .如果线段MN被直线CD垂直平分，那么/ ADC=/ NDC .这时/ ACD =/ NDC ,所以 DN/AC .于是BN BD 3-= .CN AD5图2图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，我以为M就是点O .这是为什么呢?们反过来计算：当 DNAC, BN =3时，dn=3,因此 DM= DN= 3AC = 15CN 5 AC 888而DO=2，你看 M、O相距是多么的近啊.放大还原事实的真相，如图4所示.例2上海市徐汇区中考模拟第*y图425题已知0A=5,

4、 sin/O=3,点D为线段0A上的动点，以A为圆心、AD为半径作O A. 5(1)如图1,若OA交/。于B、C两点，设0D=X, BC=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域；(2)将0A沿直线0B翻折后得到OA；若OA '与直线0A相切，求X的值；若O A与以D为圆心、DO为半径的OD相切，求X的值.图2(2)如图3,将O A沿直线0B翻折后得到O A ；作 AH _L 0A，垂足为H .图3AA 二2A E=6 思路点拨1 .把不变的量先标记出来，圆心A到直线OB的距离AE=3，翻折以后的圆心A '的位置不变，AA = 2AE = 6.2 .若O A与直线0A相

5、切，那么圆心A到直线0A的距离等于圆的半径，由此自然就构造出垂线，以 AA为斜边的直角三角形的三边长就是确定的.3,探究两圆相切,在罗列三要素R、r、d的过程中，发现先要突破圆心距A D.满分解答(1)如图2,作AE_LBC,垂足为E,那么E是BC的中点.在Rt/ OAE中，0A= 5, sin/0=3,所以 AE= 3.5在 RtA BAE 中，AB = AD = 5x, AE= 3, BE = 1 BC = 2由勾股定理，得(5x)2 =32 4-(- y)2.整理，得y =2jx2 -10x+16 .定义域是0W XV2 在 Rta A 'AH 中，AA= 6, sin / A=

6、 3 » 所以 AH = I8 , A，H 二空 55若O A与直线OA相切，那么半径等于AH .解方程”24 ,得-5.如图 4,在 RtA A DH 中，A'D =«(24)2 +(5-X-18)2%2-中+25 .对于 O A 二 R二 5 X ；对于 O D , r 二 DO 二 x；圆心距 d 二 A D .如果两圆外切,fT14由 d二 R+，得 JX -tx+25=5x + x .解得14X =一(如图 4).二如果两圆内切,由 d二 |R- r|,得 J x2 -Ax +25=|5-x-x| .86解得X =>5 所以两圆不可能内切.15图4考

7、点伸展当D为的的中点时，。人，与以口为圆心、O A和O D等圆，R= 5 ,两圆不可能内切.2当D为OA的中点时，DH=AH AD二185 2图5DA为半径的O D是什么位置关系?1110此时心移害二需每5 .因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）.例3上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知O。的半径长为3,点A是O。上一定点，点P为O。上不同于点A的动点.(1)当tan A=1时，求AP的长；2(2)如果OQ过点P、0,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x, QP=y,求y关于x的函数关系式， 并写出函数的定义域；(3)在(2)的条件下，当tan A =4时(如图3),

8、存在OM与0 0相内切，同时与OQ相外切，3思路点拨1 .第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理.2 第题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似.3 第(3)题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程.满分解答(1)如图4，过点0作OH_LAP,那么AP= 2AH .在 RtA OAH 中，0A= 3, tanA=±，设 OH 二 m, AH = 2m,那么 m2+ (2m)2= 32.2解得 m .所以 AP =2AH =4m 二 12/ .55(2)如图5，联结OQ、OP,那么 QPO、八OAP是等腰三角形.又因为底角/ P公用，所以 Q

9、POsAOAP .因此 QP op，即12,PO PA3x由此得到y =9 .定义域是OV XW 6 xH(3)如图6,联结OP，作OP的垂直平分线交 AP于Q,垂足为D,那么QP、Q。是OQ的半在 Rt QPD 中，pD 二 1 Pg 2，tan p=tanA=3，因此。八.如图7,设OM的半径为r.由O M与O O内切，ro =3 ,可得圆心距OM=3- r.由O M与O Q外切，Q 4，可得圆心距QM -在 RtA QOM 中，Q0 =5，om = 3 r， QM =5 +r » 由勾股定理，得(5 什产=(3 -r)2 +(-)2 .解得图8考点伸展如图8,在第(3)题情景下

10、，如果OM M与OO、OQ都内切，那么OM的半径是多少? 同样的，设。的半径为r.由O M与O O内切，0=3，可得圆心距OM二r 3.在RtA QOM中,由勾股定理,得G5产="3)2+(5)2 .解得r= 9.例4河北省中考第25题如图 1, A(-5,0), B(- 3,0),点 C 在 y 轴的正半轴上，/ CBO= 45 ° , CD/AB, / CDA = 90° .点 P从t秒.点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为(1)求点C的坐标；(2)当/ BCP二15 时，求t的值；(3)以点P为圆心， 所在的直线)相切时，求(

11、3)如图如图PC为半径的o P随点P的运动而变化，当O P与四边形ABCD的边(或边t的值.t= 4;i= 5.6.答案(1)点C的坐标为(0,3).(2)如图2，当P在B的右侧，/ BCP=15°时，/ PCO= 30°, t=4+J5 ;CPO = 30° , t =4+3八3 .如图3,当P在B的左侧，/ BCP=15°时，/图2图3如图4，当O P与直线BC相切时，t=1 ;5,当OP与直线DC相切时，图4图5图66,当OP与直线AD相切时，【强化训1冲4洲23）如图1 .已知AB是圆0的切线，切点为B,直线A0交圆。于C、D两点，CD=2 ,/ DAB=30 ° ，动点P在直线AB上运动，PC交圆0于另一点Q.当点（1）P运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长.1点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使八CQD的面积为上？（直接写出答案）21当八CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆周上，CQ AQD时（如图2），求AP的22.(苏州模拟28)如图1, RtA DEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，设运动时间为妙(U>0).(1 )当t=