【2020年高考必备】全国版高考数学必刷题：第十七单元直线与圆锥曲线的关系

1、第十七单元直线与圆锥曲线的关系真题回访考点一 直线与椭圆的综合应用1.(2016 年全国皿卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C_+_=1(ab)的左焦点A B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点A的直线丨与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE勺中点，则C的离心率为().A.-B.-C-D.-【解析】如图，由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).由PF丄x轴，得P -设E(0,m),由PF/ OE得=则|MF|=.又由OE/ MF得一=则|MF|=-.由得a-c=_(a+c),即卩a=3c,e= 一.【答案】A2.(2014 年全国n卷)设Fl、F2分别

2、是椭圆 c：+=1(ab)的左、右焦点，皿是C上一点且MF与x轴垂直，直 线MF与C的另一个交点为N.(1) 若直线MN勺斜率为求C的离心率；(2) 若直线MN在y轴上的截距为 2,且|MN|=5|FiN|,求a,b.2【解析】(1)由c=-及题设知M ,2b=3ac.将b=ad代入 2b=3ac,解得1=或-=-2(舍去).故C的离心率为-.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点,MF/y轴，所以直线MF与y轴的交点D(0,2)是线段MF的中点，故_=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|.设Nw)，由题意知 中b)，四点P1(1,1),P2(0,1)F -

3、p-中恰有三点在椭圆C上.(1) 求C的方程；(2) 设直线丨不经过F2点且与C相交于AB两点.若直线PA与直线P2B的斜率的和为-1,证明：l过定点.【解析】(“由于F3，F4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P,R两点.又由一 +一+知，椭圆C不经过点P，所以点F2在椭圆C上.解得2故C的方程为一+y=l.(2)设直线FA与直线RB的斜率分别为ki,k2,如果丨与x轴垂直，设l:x=t,由题设知t工 0,且|t|0.设A(X1,y1),BX2,y2),贝UX1+X2=-,X1X2 -.而k1+k2=+=-+-由题设k1+k2=-1，故(2k+1)X1X2+(m-1)(X1+X2)=0.

4、即(2k+1) +() -=.解得k=-当且仅当m-1 时,0.所以丨：y二x+m即y+1二(x-2),所以丨过定点(2,-1).4.(2015 年全国n卷)已知椭圆C9x2+y2=m(m：0),直线丨不过原点O且不平行于坐标轴丿与C有两个交点AB线段AB的中点为M.(1)证明：直线0M的斜率与丨的斜率的乘积为定值(2)若丨过点，延长线段0M与C交于点P四边形OAPBE否为平行四边形？若能,求此时丨的斜率，若不能,说明理由.因此【解析】(1)根据题意，因为直线不平行于坐标轴，所以斜率k必然存在，故设直线丨:y=kx+b(k工 00)，则A(xi,yi),B(X2,y2),MxMyM).2222

5、222将y=kx+b代入 9x +y =m,得(k +9)x +2kbx+b -m =0,故XM=-=-,yM=kxM+b=- .于是直线OM勺斜率k。一二-，即koM-k=-9.所以直线OM勺斜率与I的斜率的乘积为定值.(2)不妨设四边形OAPBE为平行四边形.因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,且k工 3.由(1)得OM勺方程为y=-x.设点P的横坐标为XP.由得=-，即XP=.将点一的坐标代入直线l的方程，得b=，因此x _-.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即 XP=2XM于是一=2X-.解得k1=4-_,k2=4+ _.因为

6、ki0,ki工 3,i=1,2,所以当I的斜率为 4-一或 4+一时,四边形OAPB为平行四边形.5.(2016 年全国H卷)已知椭圆E：=1 的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点，点N在E上,MAL NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求AMIN勺面积;当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围【解析】(1)设Mxi，yi)，则由题意知 yo.当t=4 时椭圆E的方程为一+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知直线AM的倾斜角为-，因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2 代入一+=1,得 7y2-12y=0,解得y=0 或y=,所以yi=.

7、因此AMN勺面积SAM=2x-xx=.(2)由题意知t3,k0,A(-_,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入一 =1, 得(3+tk2)x2+2 -tk2x+t2k2-3t=0.由x1 (-_)=-,得X1=-一,故|AM|=|X1+_|=-.由题设知直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=-.由 2|AM|=|AN|,得-=-，即(k -2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立，因此t=- .t3 等价于 = -0,即0,由此得-或-解得_k 2 +8=16.当且仅当k1=-k2=1 或k1=-k2=-1 时取等号.【答案】A7. (2015 年全国I卷)在直角坐标系x

8、Oy中，曲线Cy=_与直线I：y=kx+&a0)交于MN两点.(1) 当k=0 时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时总有/OPMZOPN说明理由.【解析】(1)由题设可得M2_,a),N(-2_,a)或M-2_,a),N；2_,a).又因为y=所以y=在x=2 处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2 ),即x-y-a=0.y=在x=-2 一处的导数值为-一,C在点(-2_,a)处的切线方程为y-a二_(x+2_),即x+y+a=0.故所求切线方程为_x-y-a=0 和_x+y+a=0.(2)存在符合题意的点.证明如下：设P(

9、0,b)为符合题意的点，皿刘/),比沟护),直线PMPN的斜率分别为hk.2将y=kx+a代入C的方程，得x -4kx-4a=0.故xi+X2=4k,xiX2=_4a.从而ki+k2=+当b=-a时，有ki+k2=0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故/OPMZOPN所以点 RO,-a)符合题意.8.(2017 年全国皿卷)已知抛物线Cy2=2x,过点(2,0)的直线丨交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1) 证明：坐标原点O在圆M上；(2) 设圆M过点只 4,-2),求直线I与圆M的方程.【解析】(1)设A(X1,y1),B(X2,y2),|：x=my+由可得y-2my

10、4=0,则丫屮2=-4.又xn,X2A,故X1X2=-=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为一一=-=-1.所以OAL OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得1+2=2口乂1+乂2=0(|0+护)+4=2用+4,故圆心M的坐标为(m+2，m,圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(X-4)(X2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,(也可结论:以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接写出)即X1X2-4(x1+X2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得,y1y2=-4,X1X2=4,所以 2nn-m-1=0,解

11、得m=或m=-.22当m=时，直线I的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为，圆M的方程为(x-3)+(y-1)=10.当m=-时，直线丨的方程为 2x+y-4=0,圆心M的坐标为，圆M的半径为一，圆M的方程为+9. (2016 年全国皿卷)已知抛物线Cy2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线丨i,l2分别交C于AB两点，交C的 准线于P,Q两点.(1) 若F在线段AB上,R是PQ的中点 证明AR/ FQ(2) 若厶PQF勺面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【解析】由题意知F-.设|1：y=a,|2：y=b则ab工 0,且A,B ,P- ,Q-,R-.记过

12、A,B两点的直线为丨，则丨的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于点F在线段AB上，故 1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=- =-=-b=k2.所以AR/ FQ.设丨与x轴的交点为D(X1,0),则SABF|b-a|FD|= -|b-a|-SPQI由题设可得|b-a|所以X1=0(舍去)或X1=1.设满足条件的AB的中点为 日x,y),当AB与x轴不垂直时，由kAB=kDE可得 =(x工 1).而一=y，所以y=x-1(x工 1).2当m=-时，直线丨的方程为 2x+y-4=0,圆心M的坐标为，圆M的半径为一，圆M的方程为+当AB与x轴垂直时,E与D重合，此

13、时E点坐标为(1,0),满足方程y =x-1.2故所求轨迹方程为y =x-1.考点三直线、圆与圆锥曲线的综合10. (2017 年全国H卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C_+y2=1 上，过M作x轴的垂线，垂足为N点P满足(1)求点P的轨迹方程；设点Q在直线x=-3 上，且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(xo，yo)，则NKxo,O),=(x-xo,y),=(,yo).由=一，得(x-xo,y)=_(o,yo),即-解得 =代入椭圆方程一+=1,得x+y=2,2 2故点P的轨迹方程为x +y=2.(2)由题意知F(-1,0),设Q-3,t

14、),F(mn),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(mn),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m+tn-n2=1,又由(1)知m+f=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即丄.又过点P存在唯一直线垂直于OQ所以过点P且垂直于OQ的直线丨过C的左焦点F.11.(2013 年全国I卷)已知圆M(x+1)2+y2=1,圆N(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为 曲线C.(1) 求C的方程；(2)1是与圆P,圆M都相切的一条直线,1与曲线C交于AB两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【解析】由已知得圆M的圆心为M-1,0),半径1=

15、1；圆N的圆心为N(1,0),半径2=3.即四边形MPN面积的取值范围是12,8).设圆P的圆心为P(x,y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+ri)+(r2-R)=ri+r2=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以MN为左、右焦点，长半轴长为 2,短半轴长为 一的椭圆(左顶点除外)，其方程为一+=1(x工-2).对于曲线C上任意一点Px,y),因为|PM|-|PN|=2R-2 2,所以 R 2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.2 2所以当圆P的半径最长时，其方程为(x-2)+y=4.若丨的倾斜角为 90,则丨与y轴重合，可得|AB|=2一若

16、丨的倾斜角不为 90，由ri工R知I不平行于x轴，设I与x轴的交点为Q则J,可求得 Q-4,0),所以可设丨:y=k(x+4),由丨与圆M相切得=9,解得k=.当k=时,y=x+代入一=1 并整理，得7X2+8X-8=0,解得xi,2=- .所以|AB|=|x2-xi|=.当k=- 时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2 一或|AB|=.12.(2016 年全国I卷)设圆x2+y2+2x-15=0 的圆心为A直线丨过点B(1,0)且与x轴不重合交圆A于CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线C,直线丨交

17、C于MN两点，过B且与丨垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(1)如图，圆A的圆心为A(-1,0),半径R=4,因为BE/ AC所以/C=ZEBD又因为AC=A所以/C= EDB于是/EBDhEDB所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4 为定值.因为|AB|=2,点E的轨迹是以AB为焦点，长轴长为 4 的椭圆，2由c=1 ,a=2,得b =3,所以点E的轨迹方程为一+=i(yz0).(2)因为直线l与x轴不重合，故可设丨的方程为x=my+, 过点B且与丨垂直的直线方程为y=mx-1).由得(3m+4)y2+6my9=0

18、.设M(X1,y1),Nx2,y2),贝寸y1+y2=- yy2=-得|MN|=2 2 2 2得(m+1)x-2(m-1)x+m-15=0.设P(X3,y3),QX4,y4),贝寸X3+X4=,X3X4 _得|PQ|=- - =4四边形MPN(的面积S=|MN|PQ|=24-=24-因为斥0所以 0- W,故 12 S0?0?直线与圆锥曲线C；=0?0?直线与圆锥曲线 C C_；0)的焦点的弦中，最短的弦长是 2p.()(5) 过椭圆一+=1 的焦点的弦中，最短的弦长为一.()圆锥曲线的弦长设斜率为k( (k丰丰0)0)的直线I与圆锥曲线C相交于AB两点，A( (xi，yi) )，B( (x2

19、，y2) )，则|AB|=|xi-X2|=- |yi-y2|=直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用 “根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)(1)利用根与系数的关系： 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方 程, ,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论(2)(2) 点差法: :若直线l与圆锥曲线C有两个交点AB般地， 首先设出A( (xi, ,yi),),B( (X2, ,y2) )， 代入曲 线方程，通过作差，构造出xi+X2, ,y计y2, ,xi-X2, ,yi-y2, ,从而建立中点坐标和斜率的关系四辨明两个易误点(i)(i

20、)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点(2)(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与抛物线的对称轴平 行或重合时也相交于一点2若直线y=kx与双曲线x-y2=2 相交，则k的取值范围是().A.(0,i)B.(-:一)C.(-i ,i)D. (-oo,-i)U(i ,+o)3过点(0,i)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有().A.i 条 B.2 条C.3 条D.4 条4直线y=x+i 被椭圆x2+2y2=4 所截得的弦的中点坐标是().A. -B. C. -

21、D.5(教材习题)点P是椭圆 i6x2+25y2=i600 上的一点，Fi、F2是椭圆的两个焦点，又知点P在x轴的上方F是椭 圆的右焦点，直线PF的斜率为-4 一,则厶PFF2的面积为 _.4知识清单一、(1)相交相切相离(2)平行平行或重合基础训练1. 【答案】(1)X(2)X(3)V (5)V2. 【解析】双曲线x2-y2=2 的渐近线方程为y=x,若直线与双曲线相交，由数形结合，得k (-1,1).故选 C.【答案】C3. 【解析】过点(0,1)的直线与抛物线相切时有两条，又与对称轴平行的直线y=1 与抛物线也只有一个公共点 故满足条件的直线有 3 条.【答案】C4.【解析】联立得x2+

22、2(x+1)2-4=0,即 3x2+4x-2=0，则弦的中点的横坐标为-_,纵坐标为-+1=,即- -，故选 B.【答案】B5.【解析】椭圆的标准方程为一+=1,则F-6,0),F2(6,0),故直线PF?的方程为y=-4 一(x-6).将直线方程代入16x2+25y2=1600,得 19x225x+650=0,解得刘=5 或X2.当X2时,y20,得-1k2,即nn+n20),则-=1,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(X1,y1),B(X2,y2),则两式相减，得(y1+y2)(y1-y2)=4(X1-X2)，所以直线丨的斜率为k=-=-=2 所以直线丨的方程为y-1=2(x-2),即y

23、=2x- 3,故选A.(2)设直线丨与椭圆交于A(X1,yJ,BX2,y2),则一+=1,+=1，两式相减，得=- .又因为x1+X2=8，y1+y2=4, 所以=-，故直线丨的方程为y_2=_-(x_4),即x+2y-8=0.【答案】(1)A (2)x+2y-8=0所以=p解得k=-.题型三弦长与面积问题(1)求椭圆E的方程；过点(0,2)且倾斜角为 60的直线交椭圆E于A,B两点，求AOB勺面积.【解析】(1)由题意得 二，且a-c=l,.a=2,c=l./.b=a-c2=3，故椭圆E的方程为一=1.过点(0,2)的直线丨的方程为y= _x+2.代入椭圆方程一+=1,可得 15x2+16x

24、+4=0,A 0 恒成立.设A(X1，yd，B(x2,y2),贝UX1+x2=xX2=,/|AB|=|X1-X2|=2点O到直线AB的距离 d=1,/SAB(=- d=求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解【变式训练 3】已知斜率为 1 的直线丨与椭圆一+y2=1 相交于A,B两点，则|AB|的最大值为().A.2 B. C. D.【解析】设A,B两点的坐标分别为(xi，yi)，(X2,y2),直线I的方程为y=x+t.由消去y,得 5X2+8tx+4(t2-1)=0,则xi

25、+X2=-_t,xx= |AB|=|xi-X2|=时,|AB|max=-.【答案】C，当t=0方法对称冋题求解策略【突破训练】(2015 年浙江卷)已知椭圆一+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求厶AOB面积的最大值(O为坐标原点).【解析】(1)(法一)由题意知 0,可设直线AB的方程为y二一x+b.22由消去,得_ X-x+b-仁0.直线y=-x+b与椭圆一+y2=1 有两个不同的交点2=_2b+2+0,将AB的中点M-代入直线方程y=mx+，解得b=-,由得m或m.(法二)由题意知 0,设A(xi,yi),BX2,y2)是椭圆+y2=1

26、上符合条件的两个点-+=1 ,+ =1 ,两式相减，得-+(yi+y2)(yi-y2)=0./kAEB=-.点AB关于直线y=mx+对称，.AA=-=-，即yoAX。，又yo=mx+-,由得xod,yo二.点Mxo,yo)在椭圆内部，.一+ 1,即 m*,.m 或m”.令t= -U一，则|AB|=且点O到直线AB的距离为d=设厶AOB勺面积为S(t),.S(t)=|AB|dh-0）的焦点的弦，则|AB|的最小值为（）.A.-B.pC.2pD.无法确定【解析】当弦AB垂直于对称轴时，|AB|最短，此时x=,A y= ,|AB|mm=2p.故选 C.【答案】C2. （2017 福州质检）抛物线C的

27、顶点为原点，焦点在x轴上直线x-y=0 与抛物线C交于A,B两点若P（1,1）为线段AB的中点，则抛物线C的方程为（）.A.y=2x2B.y2=2x22C.x =2yD.y =-2x【解析】AB两点其中一个点的坐标是（0,0）,由AB的中点坐标为（1,1）,可知另一个点的坐标为（2,2），代入y2=2px中，可得p=1 所以抛物线C的方程为y2=2x.【答案】B3.（2017 赣州二模）设双曲线-_=1（a0,b0）的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）.A._B.5 C._ D.-【解析】双曲线一-=1 的一条渐近线为y=-X,联立方程组消去y,得x?-X+

28、1=0.因为方程有唯一的解，所以= - -4=，得-=2.所以e=- =-= .选 D.【答案】D4.（2017 太原一模）已知抛物线y2=4x的焦点为F过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,0为坐标原点，若=6,则厶AOB勺面积为（）.A. - B.2 一 C.2 D.4【解析】设直线AB的方程为y=k（x-1）.2与抛物线方程联立可得y - -y-4=0,_则-=4-.2由弦长公式可得一-=4=6,.k=2.SSO=_XX-二X1X2 _= 故选 A.【答案】A5.- (2017 山东质检)已知双曲线C=1 的右焦点为F,过点F的直线I与C交于AB两点，若|AB|=5,则满足条件的I的条数为

29、_.【解析】因为a=4,b=5,c =9 所以F(3,0).若点AB都在双曲线的右支上，当AB垂直于x轴时，将x=3 代入得y=_所以|AB|=5,满足题意 若点AB分别在双曲线的两支上，因为a=2,所以两个顶点的距离为 2+2=40,b0)与斜率为 1 的直线交于AB两点，线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是_.【解析】设A(X1，yd，B(X2,y2),则-=1,=1,两式相减并整理，得-=-=一.T k=1,.一=1, -=士-.故双曲线的渐近线方程为y=-x.【答案】y=-x7.(2017 年北京卷)已知抛物线Cy2=2px过点P(1,1).过点-作直线|与抛物线C交于

30、不同的两点MN过点M作x轴的垂线分别与直线OEON交于点AB,其中O为原点.(1) 求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2) 求证:A为线段BM的中点.【解析】 (1)由抛物线Cy2=2px过点 R1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x,其焦点坐标为-，准线 方程为x=-.(2)(法一)由题意，设直线丨的方程为y=kx+-(k工 0),1与抛物线C的交点为Mxi，yi)，N(X2,y2).由得 4k X+(4k-4)x+1=0 则xi+X2=,xiX2=一.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(xi,yi).因为直线ON的方程为yjx所以点B的

31、坐标为 -.因为yi+-2xi=-=- =0,所以yi+- =2xi.故A为线段BM的中点.(法二)要证A为BM勺中点，且XA,XB,XM相同，只需证 2yA=yM+yB,等式两边同时除以 刈,则有 2koA=ko+koN因为ko+koN+-=- =-=2.又koA=ko=i 所以等式成立，即A为线段BM的中点.8.(20i5 年四川卷)设直线丨与抛物线y2=4x相交于AB两点，与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线I恰有 4 条，则r的取值范围是().A. (1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解析】如图，设A(xi，yi)，B(x2

32、,y2),x0,y0),两式相减，得(yi+y2)(yi-y2)=4(xi-x2).当丨的斜率k不存在时，符合条件的直线丨必有两条.当k存在时,xi工X2，则有- -=2,又yi+y2=2yo,所以yok=2.由CMAB得k=-1,即yok=5-x。,因此 2=5-xo,xo=3,即点M必在直线x=3 上.将点x=3 代入y2=4x,得y2=12,则有-2_yo2 一.2 2 2因为点M在圆上所以(x0-5)+ =r,故r = +44(为保证有 4 条，当k存在时,yo工 0),所以 4r216，即 2rb)的左、右焦点分别为HF,离心率为-，点A在椭圆C上,=2,ZFAF=S0 ,过点F2与

33、坐标轴不垂直的直线丨与椭圆C交于RQ两点,N为P,Q的中点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点M -,且MNLPQ求直线MN所在的直线方程.【解析】(1)由e=-，得a=2c，因为=2,=2a-2,由余弦定理得AF-AFcosA=IF1F2I2,2 2 2解得c=1 ,a=2，所以b =a -c =3.所以椭圆C的方程为一 L=1.(2)因为直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=k(x-1),P(X1，y1)，Qx2,y2),联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.则X1+%=yi+y2=k(xi+X2)-2k=此时N-又M -，贝寸kM=-=-.因为MNL PC所以kM

34、N=-,得k=-或k=-.贝Lt kMt=-2 或kM=.所以直线MN勺方程为 16x+8y-1=0 或 16x+24y-3=0.12. (2017 青岛市质检)已知椭圆r:_+y2=1(a1)的左焦点为Fl,右顶点为 A,上顶点为B,过Fi,A,B三点的圆P的圆心坐标为-.(1)(1)求椭圆的方程；(2)(2)若直线丨:y=kx+n(k,m为常数,k工 0)与椭圆r交于不同的两点M和N.1当直线丨过点E(1,0)且+2=0 时,求直线丨的方程；2当坐标原点0到直线丨的距离为一，且M0的面积为一时,求直线丨的倾斜角.【解析】(1)TA1(a,),B(,1),.扁占的中点为-，AB的斜率为-，.

35、A1B的垂直平分线方程为y-=a.圆P过点F1,AB三点，二圆心P在AB的垂直平分线上.-i=a-i，解得a=或a=-(舍去).椭圆的方程为一+y2=1.(2)设 MxWhNxv),2 2 2 2由可得(3k+1)y-2my+m3k=0,1.直线l过点E(1,0),.k+m=+2=0,A(xi-1,yi)+2(x2-1 ,y2)=(0,0).yi+2y2=0. 由可得,k=1 ,m=-1 或k=-1,m=.直线l的方程为y=x-1 或y=-x+1.2坐标原点O到直线丨的距离为一，=?m=(k+1).结合得|MN|=-|y2-y1|=X-=X - -,由得|MN|=-, -SMOP|MN|X =

36、 -.MON 的 面积为一, -=，解得k= .设直线丨的倾斜角为0厕 tan9=,/-yi+y2=,yiy2= 17.2 直线与椭圆的综合应用必备知识椭圆的焦点弦1.1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值2.2. 椭圆的通径（过焦点垂直于长轴的弦）长一, ,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值直线与椭圆的位置关系的研究方法1.1.弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲 线的定义的运用，以简化运算2.2.中点弦问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算.3.3.定值问题，常把变动的元素用参数表示出来，然

37、后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明.4.4.定点问题，常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明.5 5.范围（最值）问题: : （1 1）利用判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（最值）；）；（2 2）利用隐含或已知的不等关系建立不等式 ，求出参数的取值范围（最值）；）；(3)(3) 利用基本不等式，求出参数的取值范围( (最值););(4)(4) 利用函数的值域，确定目标变量的取值范围( (最值) )；(5)(5) 利用几何图形中的边角大小关系，确定参数的取值范围( (最值) ).?左学右考

38、1已知经过点(0,_)且斜率为k的直线I与椭圆+y2=1 有两个不同的交点P和Q则k的取值范围是().A. - - B.-U C.(- :_)D. (-0，-_)U( +)2已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线I：y=x+3 上移动椭圆C以AB为焦点且经过点P,则椭圆C的 离心率的最大值为().A._ B.一C. D.3若点O和点F分别为椭圆一=1 的中心点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最小值为_ .4已知椭圆C的方程为一=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点 道线x=4 与直线PA PB分别交于M N两点.若点D(7,0),则过D

39、 M N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为.基础训练1.【解析】由题意得，直线丨的方程为y=kx+一,代入椭圆方程并整理，得一X2+2_kx+1=0.直线丨与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4 一=4k2-20,解得kv-一或k,即k的取值范围为-一U .故选 B.【答案】B2. 解析】 点A(-1,0)关于直线I的对称点为A(-3,2),连接AB交直线I于点P,则椭圆C的长轴长的最小值 为|AB|=2 1,所以椭圆C的离心率的最大值为-j 故选 A.答案】A3.解析】设P(x,y)(-3Xw3,-2 yb)的离心率是一，点 R0,1)在短轴CD上，且=-1.(1)求椭圆E

40、的方程.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于AB两点.是否存在常数 入，使得+入 为定值？若存在，求入的值;若不存在 请说明理由.【解析】(1)由题意得，点CD的坐标分别为(0，-b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且二1，所以椭圆E的方程为一=1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为丫=収+1人*，0)，呛2$2),2 2联立得(2k +1)x +4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以X1+X2二- ,X1X2=-.从而 +入 =x1X2+y1y2+入【X1X2+(y1-1 )(y2-1)2=(1+入)(1+k)x1X2+k(X1+X2)+1=

41、-=一-入-2,当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时 +入 =+入 =-2-入，当入=1 时也满足 +入 =-3.所以-解得此时+入=-3 为定值.故存在常数入=1,使得+入 为定值-3.(1) 定值问题,涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可.(2) 定点问题，可先用特殊值法求岀，然后再验证，这样可确定代数式的整理方向和目标.(3) “值的存在”问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由.这类问题常用“肯定 顺推”.【变式训练 1】(2016 年北京卷)已知椭圆 Ci=1(ab)的离心率为一，A(a,0)

42、,B(0,b),O(0,0),OAB勺面积为 1.(1)求椭圆C的方程；设 P是椭圆C上一点 道线PA与y轴交于点M直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定值.【解析】(1)由题意得解得2所以椭圆C的方程为-+y=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y。),则+4=4.当X。工 0 时道线PA的方程为y=(x-2).令x=0，得yMF-，从而|BM|=|1-yM=1+ 直线PB的方程为y=x+令y=0,得XN=-，从而|AN|=|2-xN=2+所以|AN|BM| =-=4.当xo=0 时,yo=-1 ,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上所

43、述,|AN|BM|为定值.椭圆中的定点问题题型二则两条切线PCPD的方程分别为一+yiy=1,+列=1.因为点P在切线PCPD上所以xi+yit=1,x2+y2t=1,故C（xi，yi），Dx2,y2）均满足方程x+ty=1,即x+ty=1 为直线CD的方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点（1,0）.定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此 类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找岀相 应参数满足的条件，确定定点.【变式训练 2】设椭圆E：+=1 的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距

44、为 1,求椭圆E的方程；（2）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点 道线F2P交y轴于点Q并且RP丄RQ.证明:当a变化时,点P在某定直线上.2 2【解析】（1）因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为 1 所以 2a-1=,解得a =.故椭圆E的方程为一+.设 Px0，y0），F1（-c,0）,F2（c,0）,其中c=-.由题设知X0工c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率故直线F2P的方程为y=（x-c）.当x=0 时,y=，即点Q的坐标为.因此，直线F1Q的斜率为-=-1.【例 3】(2017 河南洛阳统考)已知椭圆的中心是坐标原点Q焦点在x轴上，离心率为一，坐标原

45、点O到过右焦点F且斜率为 1 的直线的距离为一.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线丨交椭圆于P,Q两点,在线段QF上是否存在点Mm0)，使得|MP|=|MQ|?若存在，求出m的取值范围若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为 一+=1(ab)，F(c，0)(c0)，由坐标原点O到直线x-y-c=0 的距离为，得 =一，解得c=1.又e=-=, a=，b=1. 椭圆的标准方程为一+y2=1.(2)假设存在点Mm0)(0m0 恒成立,/.X1+x2=- ,X1X2 .设线段PQ的中点为Nx0，y。)，贝寸x0=-=- ,y0= k(X0-1 )=-.T

46、|MP|=|MQ|,. MNLPQ.kMNkp=-1,将代入椭圆E的方程，由于点Px0,y。)在第一象限，解得X0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1 上.题型三椭圆中的范围与最值冋题化简得-(2a2-l).即- k=-1, m=-2k 0,.0mb0)右焦点的直线x+y- _=0 交M于AB两点，P为AB的中点，且0P的斜率为-.(1) 求M的方程；(2)C,D为M上的两点若四边形ACBD勺对角线CDLAB求四边形ACB面积的最大值【解析】(1)设A(X1,y1),B(x2,y2),则一+_=1,_+_=1,两式相减，得+-=0.因为 =-1,设P(X0,y。),又P为AB的中点

47、，且OP的斜率为-,所以ydX0,即卩y+y2=(x1+X2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2)，即a2=2c2.又因为c=一,所以a2=6.所以M的方程为一+=1.(2)因为CDL AB直线AB的方程为x+y-一=0,设直线CD的方程为y=x+m将x+y-_=0 代入一=1,得 2x2-4_x=0,解得x=0 或x=一.不妨令A(0, 一),B - 一，可得|AB|=.将y=x+m代入一+=1,得 3x2+4mx-2nn-6=0,设C(X3,y3),Dx4,y4),则|CD|=又因为=16斥-12（2吊-6）刃,即-2mb,2 2解得a =3，b =2，所以椭圆E的离心率e=(2)

48、依题知圆F的圆心为原点，半径r=2,|AB|=2 :所以原点到直线AB的距离d= -二=1.因为点P的坐标为存在，设为k.所以直线AB的方程为y-1=k，所以直线AB的斜率即kx-y- k+1=,所以d=l,解得k=0 或k=2当k=0 时道线PQ的方程为x=, 所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍，即|PQ| =2X1=2.当k=2 一时，直线PQ的方程为y-仁- -，代入椭圆E的方程一 +=1,消去y并整理，得34x2-10_x-21=0.设点Q的坐标为(为屮)，所以一+X1，解得x1=-,所以|PQ|=(1) 由待定系数法求出a,b,c,再根据离心率的定义求椭圆E的离心率.(2) 先根据垂

49、径定理求圆心到直线AB的距离，再根据点到直线的距离公式求直线AB的斜率，然后根据垂直关系求直线PQ的斜率，最后联立直线PQ与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求|PQ|.【解析】如图所示，点P与点F2关于直线y=x对称, OP=Q=OF=c,PF丄PF.又vtan /PFF2=,FF2=2c,.PF=2b,PF=2a.点P在双曲线上， PF-PR=2a? 2b-2a=2a?b=2a?e=-=一.【答案】D3.(2017 长沙月考)已知椭圆 J+_=1(0vm)的左、右焦点分别为Fi、F2,过点Fi的直线交椭圆于A,B两点，B处的切线斜率为 1,则线段|AF|=（）.A. 1B. 2C.3D. 4

50、【解析】x2=2y,.y=x.抛物线C在点B处的切线斜率为 1,.B - . -/x2=2y的焦点为F - ,直线丨的方程为y=-,： |AF|=1,故选 A.【答案】A2.（2017太原模拟）已知点R、F2是双曲P与点F2关A. - B. C.2 D.1.（2017 天水一模）过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线丨交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则m的值为_.【解析】由 0mb)的离心率为一,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点，且厶PFF2的周长是 4+2 一(1) 求椭圆C的方程；(2) 设椭圆C的左、右顶点分别为A B,过椭圆C上

51、的一点D作x轴的垂线交x轴于点E若点C满足ABL BCAD/ OC连接AC交DE于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e,知-=,所以ca.因为PFF2的周长是 4+2_,所以 2a+2c=4+2，所以a=2,c=,所以b=a-c2=1,所以椭圆C的方程为一+y2=1.由(1)得A(-2,0),B(2,0),设D(xo,yo),所以日xo,O).因为AB丄BC设Q2,yi),所以=(xo+2，yo),=(2，yi).由AD/ 0C得(xo+2)yi=2yo,即y=,所以直线AC的方程为=,整理得y=-(x+2).又点P在直线DE上将x=xo代入直线AC的方程，可得yj,即点P的坐标为 一，

52、所以P为DE的中点 所以PD=PE.6.(2oi7 汉中市质检)已知直线丨:y=kx+一与y轴的交点是椭圆Cx2+=1(m：o)的一个焦点.(1) 求椭圆C的方程.(2) 若直线丨与椭圆C交于A B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点0?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为直线l：y=kx+一与y轴的交点坐标为F(0,_),所以椭圆Cx2=1(m：0)的一个焦点坐标为F(0,_),所以椭圆的焦半距c=一所以m=C+1=3+1=4,2故椭圆C的方程为一+x=t(2)将直线l的方程y=kx+一代入一+x2=1 并整理，得(k2+4)x2+2_kx-1=0

53、.设点A(X1,y1),B(x2,y2),则X1+X2二-xX2二-.假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点Q则 =0,即X1X2+y1y2=0.又y1y2=kx1X2+ k(X1+X2)+3,经检验知，此时0,符合题意.故存在k=士二，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.7.(2017 太原五中二模)已知椭圆C_+_=1(ab3)的左、右焦点分别为Fi(-1,0)、F2(1,0),点A二-在椭圆C上.(1) 求椭圆C的标准方程.(2) 是否存在斜率为 2 的直线I,使得当直线丨与椭圆C有两个不同交点MN时，能在直线y二上找到一点P在椭圆C上找到一点Q满足=?若存在，求出直线l的方程

54、；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得椭圆C的半焦距c=1,椭圆C的标准方程为+一=1 (a21).点A 在椭圆上，-一+-=1 (a 1),解得=2.2故椭圆C的标准方程为一+y=1.(2)假设存在这样的直线，设直线l的方程为y=2x+t,点Mx1，yJNx2,y2),P-,Qx4,y4),MN勺中点为D(x0,y。),由_得 9x2+8tx+2t2-2=0,2 2X1+X2=-且 =(8t)-36(2t -2)0,则-3t3,.y1+y2=2(X1+X2)+2t=,.y0=-二.知,四边形PMQ为平行四边形而D为线段MN的中点，因此,D也是线段PQ的中点，y=-，可得y4=又J -

55、3vt3,.-vy4v-1,点Q不在椭圆上.故这样的直线丨不存在.8. (2017 福州模拟)已知点A(-4,0)，直线丨:x二 1 与x轴交于点B动点M到AB两点的距离之比为(1)求点M的轨迹C的方程；设C与x轴交于E,F两点,P是直线I上一点，且点P不在C上,直线PEPF分别与C交于另一点三点共线.【解析】(1)设点Mx,y),依题意,=:化简得x2+y2=4，即轨迹C的方程为x2+y=4.22由(1)知曲线C的方程为x+y =4,令y=0,得x=2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),Sx1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=yb)的右焦点为(一,

56、0),且经过点-过点M的直线丨与椭圆C交于A,B两点(点A在x轴的上方).(1)求椭圆C的方程；若|AM|=2|MB|,且直线I与圆Qx2+y2二相切于点N求|MN|的长.【解析】(1)由题意知c=一,且一+- =1,解得b=1 所以a =4,2所以椭圆C的方程为-+y=1.设Mm)0)，直线l:x=ty+m,A(X1,y1),B(X2,y2),由|AM|=2|MB|,得y1=-2y2.由得(t2+4)y2+2mty+m4=0._则y1+y2=-,y1y2=由yy2=-2y+y2=-2y2+y2=-y2,得yy2=-2 -2=-2(y+y2).-，点M是x轴上的一点-2 2 2 2即=-2 -

57、，化简得(m-4)(t +4)=-8t m.22因为原点0到直线丨的距离 d=，又直线丨与圆Ox+y二相切,2 2所以=一，即卩t =m-1.得 21n4-16ni-16=0,即(3riT-4)(7ni+4)=0,22解得mi,此时t =-,满足0,此时M 或- ,在 Rt OMN中MN|=-=，所以|MN|的长为.10.(2017 佛山质检)已知椭圆G：-=1(ab0)的焦距为 4,左、右焦点分别为Fi、F2,且G与抛物线G：y2=x的交点所在的直线经过F2.(1) 求椭圆G的方程；(2) 分别过点F1、F2作平行直线m n,若直线m与G交于AB两点，与抛物线G无公共点，直线n与G交于GD两点,其中点AD在x轴上方，求四边形AFF2D的面积的取值范围.【解析】(1)依题意