2015高考数学（理）（第七章 7.4归纳与类比）一轮复习题

1、§7.4归纳与类比1归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某属性，结论：任意dM，d也具有某属性2类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d

2、与a，b，c，d相似或相同)3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确4演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2

3、,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN)(×)(6) 2， 3， 4， 6(a，b均为实数)，则可以推测a35，b6.()2数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32 C33 D27答案B解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.3观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的后四位数字为()A3 125 B5 625 C0 625 D8 125答案D解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m4k与5

4、m(kN，m5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 0114×5017，所以52 011与57后四位数字相同为8 125，故选D.4(2013·陕西)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1·解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各

5、式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.5设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而T4，的公比为q16，因此T4，成等比数列.题型一归纳推理例1设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，

6、f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1x21时，均为f(x1)f(x2).证明：设x1x21，f(x1)f(x2).思维升华(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用(1)观察下列等式112349

7、34567254567891049照此规律，第五个等式应为_(2)已知f(n)1(nN)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有_答案(1)567891011121381(2)f(2n)>(n2，nN)解析(1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN)题型二类比推理例2已知数列an为等差数

8、列，若ama，anb(nm1，m，nN)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn>0，nN)，若bmc，bnd(nm2，m，nN)，则可以得到bmn_.思维启迪等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算答案解析设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.因为ana1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以类比得bmn思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见

9、的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等(1)给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22a

10、3;bb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r(其中a，b为直角三角形两直角边长)类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R_.答案(1)B(2)解析(1)错误，正确(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例3已知函数f(x)(a>0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图像关于点(，)对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，

11、函数yf(x)的图像上的任一点关于对称中心的对称点仍在图像上小前提是f(x)(a>0且a1)的图像关于点(，)对称(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(，)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图像关于点(，)对称(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题

12、时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提已知函数yf(x)，满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)>af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)>0，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，x1<x2，f(x2)f(x1)>0，f(x2)>f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(201

13、3·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24)解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)×100×101

14、1001001 000.答案1 000(2)(5分)若P0(x0，y0)在椭圆1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_思维启迪直接类比可得解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1

15、.答案1(3)(5分)在计算“1×22×3n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得1×2(1×2×30×1×2)，2×3(2×3×41×2×3)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1×22×3n(n1)n(n1)·(n2)类比上述方法，请你计算“1×2×32×3×4n(n1)·(n2)”，其结果为_思维启迪根

16、据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证解析类比已知条件得k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得1×2×3(1×2×3×40×1×2×3)，2×3×4(2×3×4×51×2×3×4)，3×4×5(3×4×5×62×3×4×5)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)以上几个式子相加

17、得：1×2×32×3×4n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案n(n1)(n2)(n3)温馨提醒(1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确方法与技巧1合情推理的过程概括为2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行失误与防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意

18、推理过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1(2012·江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199答案C解析观察规律，归纳推理从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.2定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 ()A.nB.n1C.n1D

19、.n2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n1).又1*1=1，n*1n3下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.4已知ABC中，A30°，B60°，求证：a<b.证明：A30°，B60

20、°，A<B.a<b，其中，画线部分是演绎推理的()A大前提 B小前提 C结论 D三段论答案B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提5若数列an是等差数列，则数列bn(bn)也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdn Ddn答案D解析若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，dnc1·q，即dn为等比数列，故选D.二、填空题6仔细观察下

21、面和的排列规律：若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_答案14解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.7定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1，x2(x1x2)，均有|f(x1)f(x2)|k|x1x2|成立，则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件若函数f(x)(x1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_答案解析由已知中利普希茨条件的定义，若函数f(x)(x1)满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域1，)内的任意两个x1，x2(x1x2)，均有|f(x1)f(x2)

22、|k|x1x2|成立，不妨设x1>x2，则k，而0<<，所以k的最小值为.8在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于点E，则类比得到的结论是_答案解析易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，故.三、解答题9已知等差数列an的公差d2，首项a15.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律解(1)由于a15，d2，Sn5n×2n(n4)(2)Tn

23、n(2an5)n2(2n3)54n2n.T15，T24×22218，T34×32339，T44×42468，T54×525105.S15，S22×(24)12，S33×(34)21，S44×(44)32，S55×(54)45.由此可知S1T1，当n2时，Sn<Tn.归纳猜想：当n1时，SnTn；当n2，nN时，Sn<Tn.10在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD&#

24、183;BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.B组专项能力提升(时间：30分钟)1给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；若“a，bR，则ab>0a>

25、;b”类比推出“若a，bC，则ab>0a>b”其中类比结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2设是R的一个运算，A是R的非空子集若对于任意a，bA，有abA，则称A对运算封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A自然数集 B整数集C有理数集 D无理数集答案C解析A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭3平面内