专题07三角变换及解三角形易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

1、1.【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】所以，选A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】3.【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，ABE中，又，综上可得，BCD面积为，4.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积

2、为，求。【答案】(1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理及得所以b=2.1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，且，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D)【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A7.【2016高考天津理数】在ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】由余弦定理得,选A.8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .【答案】8.【解析】，又，因即

3、最小值为8.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（）证明详见解析；（）4.【解析】（）由已知，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B=410.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.【答案】（I）证

4、明见解析；（II）或【解析】（）由正弦定理得，故，于是又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，（）由得，故有，因为，所以又，所以当时，；当时，综上，或易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知为锐角，若cos，则cos_.(2)已知sin，sin()，均为锐角，则角等于()A.B.C.D.答案(1)(2)C解析(1)因为为锐角，cos()>0，所以为锐角，sin()，则sin(2)2sin()cos()2××.又cos(2)sin(2)，所以cos(2).(2)因为，均为锐角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin，所以cos，所以sinsin()s

5、incos()cossin()××().所以.【变式探究】(1)已知sin，cos2，则sin等于()A.BCD.(2)等于()A4B2C2D4答案(1)D(2)D解析(1)由sin，得sincoscossin，即sincos，又cos2，所以cos2sin2，即(cossin)·(cossin)，因此cossin.由得sin，故选D.(2)4，故选D.【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要

6、特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解【锦囊妙计，战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在ABC中，B，BC

7、边上的高等于BC，则cosA等于()A.B.CD(2)(2015·北京)在ABC中，a3，b，A，则B_.答案(1)C(2)解析(1)设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得SABCa·aacsinB，ca.由余弦定理得b2a2c22accosBa2a22×a×a×a2，ba.cosA.故选C.(2)由正弦定理得sinB，因为A为钝角，所以B.【变式探究】如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在

8、ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【锦囊妙计，战胜自我】1正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2RsinA，sinA，abcsinAsinBsinC等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22

9、bccosA；变形：b2c2a22bccosA，cosA.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3(2015·山东)设f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsinA0，得sinA，由题意知A为锐角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1bcb2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立因此bcsinA.所以ABC面积的最大值为.【变式探究】已知函数f(x)cos2x2sinxcosxsin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f()2且a2bc，试判断ABC的形状解(1)f(x)cos2x2sinxcosxsin2x