2020届高考数学一轮复习第三篇导数及其应用专题3.1导数的概念及运算练习(含解析)

1、专题3.1导数的概念及运算【考试要求】1 .通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2 .体会极限思想；3 .通过函数图象直观理解导数的几何意义；4 .能根据导数定义求函数 y=c, y=x, y = x2, y= x3, y=3y =啦的导数；x5 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b)的导数；6 .会使用导数公式表.【知识梳理】1 .函数y = f(x)在x= xo处的导数(1) 定义： 称函数 y = f(x)在x

2、=x0处的瞬时变化率lim"，0+ A x)(xo)=仃巾3y为函数y = f( x)在 xx 0 xx o AxAL 帕日的r，、e 一口 nr, , 、. Ayf(xo+A x) f(xo)=x。处的导数，记作 f (x。)或 y |x = x。，即 f (xo)=hm=hm:.x o x x o x(2)几何意义：函数f (x)在点xo处的导数f' (xo)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(xo, f(xo)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y yo= f' ( xo)( xxo).2.函数y = f(x)的导函数如果函数 y = f(x)在开区间(a,

3、b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a, b)内构成一个新函数，函数f (x+ A x) f (x)f' (x)=lim Ax-O - 称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数 .ZA x3.导数公式表基本初等函数导函数f (x) = c( c为常数)f ' (x) =of (x) =x"( a e Q*)f ( x) = a x " 1f (x) =sin xf ' ( x) = cos xf (x) = cos xf ' (x) = sin xf (x) = exf ' (x) = exf (x) = ax( a> o)f

4、 ' (x) = a In af(x)=ln x1(ff (x) = log ax ( a>0, aw 1)f(xxln a4.导数的运算法则若f' (x), g' (x)存在，则有:(1) f(x)±g(x) ' = f ' (x)±g'(x)；(2) f(x) g(x) ' = f ' (x)g(x)+f (x)g' (x);f (x)而f' (x)g(x)f(x)g' (x)g(x) 2(g(x)W0).5.复合函数的导数复合函数y = f(g(x)的导数和函数y=f(u),

5、 u= g(x)的导数间的关系为 yx' =yJ ux'.【微点提醒】1.f ' (x(0代表函数f (x)在x=x0处的导数值；(f(x0)'是函数值f(x0)的导数，且(f(x0) ' = 0.2， _ f ' (x) f(x)f(x)2.3 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4 .函数y = f(x)的导数f' (x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f' (x)|反映了变化的快慢，|f' (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【

6、疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)f' (x°)是函数y= f (x)在x = x0附近的平均变化率.()(2)函数 f(x)=sin( x)的导数 f ' (x)=cos x.()(3)求 f' (x。)时，可先求 f(x。)，再求 f' (x。)(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()【答案】(1 ) X (2) X (3) X (4) V【解析】(1) f ' (x°)表示y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)=sin( x) = sin x,则 f ' (x)=

7、cos x, (2)错.(3)求f ' (x0)时，应先求f ' (x),再代入求值，(3)错.【教材衍化】2.(选彳2 2P19B2改编)曲线y=x3+11在点P(1 , 12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A. 9B. 3C.9D.15【答案】C【解析】因为y=x3+ 11,所以y' =3x2,所以y' |x'= 3,所以曲线y=x + 11在点P(1, 12)处的切线方程为 y-12= 3(x- 1).令 x=0,得 y= 9.3.(选彳22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度 (单位：m)是h(t)=4.9t2 + 6

8、.5t + 10,则运动员的速度 v=m/s ,加速度a=m/s 2.【答案】一9.8t+6.5 9.8【解析】v=h (t) = - 9.8 t + 6.5 , a= v (t) = 9.8.【真题体验】4.(2019 青岛质检)已知函数 f(x)=x(2 018 +ln x),若 f ' ( x0) = 2 019,则 x0 等于()A.e所以 y' = x 2sin x ' = x' 2sin x z =1 2cos x.B.1C.ln 2D.e【答案】B【解析】f ' (x) =2 018+ln x+ xx -= 2 019 + ln x.x由

9、f'(x0) = 2 019 ,得 2 019+ln xo=2 019 ,则 ln x0=0,解得 x0=1.5.(2018 天津卷)已知函数f (x) = exln x, f ' (x)为f (x)的导函数，则f' (1)的值为.【答案】e【解析】由题意得f ' (x) = exln x + ex -则f' (1) = e.x 21.6.(2017 全国I卷)曲线y=x+x在点(1, 2)处的切线万程为 .【答案】y = x+ 1一 ，1【解析】设y=f(x),则f (x)=2x 飞x所以 f ' (1) = 21=1,所以在(1 , 2)处的

10、切线方程为y-2=1X(x-1),即 y= x+ 1.【考点聚焦】考点一导数的运算 角度1根据求导法则求函数的导数【例1 1】 分别求下列函数的导数： y = exln x；211 y = x x +x+x3 ； f(x)=ln 41 + 2x.【答案】见解析【解析】(1) y' = (ex) z In x+ex(ln x) ' = exln x+e=exln x + -. xx(2)因为 y= x3+1+1,所以 y' =3x2最.1因为 y= In 41 + 2x = 'ln (1 + 2x),11,1所以 y = 2 ' 1 + 2x > (

11、1 + 2x) = 1 + 2x.角度2抽象函数的导数计算【例1 2 (2019 天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f' (x),且满足f(x)=2xf ' (1) + ln 1, x则 f(1)=()A. eB.2C. -2D.e【答案】B【解析】由已知得 f ' (x) =2f ' (1) 1,令 x=1 得 f ' (1) = 2f ' (1) 1,解得 f ' (1) = 1,则 f (1)=x2f ' (1) = 2.【规律方法】1 .求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求

12、导2 .复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元3 .抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解_ _.xx 一.【训练 1 (1)右 y= xcos 2sin 2,则 y =.(2)已知 f(x) =x2+2xf ' (1),则 f ' (0) =.1【答案】 (1)1 -2cos x (2) -4一 一，1【解析】(1)因为y = x 2sin x, 11 *(2) . f ' (x) =2x + 2f ', f ' (1) = 2+2f '，即 f ' (1) = 2.- f' x x) =2x-4,f &

13、#39; (0) = 4.考点二导数的几何意义角度1求切线方程【例2 1 (2018 全国I卷)设函数f (x) =x3+(a1)x2+ax.若f (x)为奇函数，则曲线 y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A. y = 2xB. y= xC.y=2xD.y=x【答案】 D【解析】因为函数f(x)=x3+(a- 1)x2+ax为奇函数，所以 a1 = 0,则a=1,所以f(x) = x3+x,所以 f' (x) =3x2+1,所以f' (0) = 1,所以曲线y = f (x)在点(0 , 0)处的切线方程为y = x.角度2求切点坐标1 2,则切点的横坐标为(2【

14、例2 2(1)(2019 聊城月考)已知曲线xy= 4 3ln x的一条切线的斜率为1A.3B.2C.1D.-(2)设曲线y=ex在点(0, 1)处的切线与曲线 y=lx>0)上点P处的切线垂直，则 P的坐标为 x【答案】(1)A(2)(1 , 1)【解析】(1)设切点的横坐标为 xc(x0>0),.x2 1;曲线y = 4-3ln x的一条切线的斜率为2,Vx 3 日口 x。3_12一x,即 2一x°=2,解得x0=3或x°=2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3.(2) :函数y=ex的导函数为y' = ex,曲线y = ex在点(0 , 1)

15、处的切线的斜率 k1 = e°=1.设P(x0, y(0)( x0>0),二,函数y=：的导函数为v' =曲线y = 9(x>0)在点P处的切线的斜率 k2= xxx1由题意知 k1k2= 1,即 1。 一-2 =-1,解得 x0=1,又 x0>0, x(0= 1.1又,一点P在曲线y=x(x>0)上，y()= 1,故点P的坐标为(1 , 1).角度3求参数的值或取值范围【例23(1)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x y=0平行的切线，则实数 a的取值范围是()A.(巴 2B.(巴 2)C.(2 ,+8)D.(0 ,+8)(2)(201

16、9 河南六市联考)已知曲线f(x) =x + a+b(xw0)在点(1 , f(1)处的切线方程为y=2x+ 5,则axb=.【答案】(1)B(2) -8【解析】(1)由题意知f' (x) = 2在(0, +8)上有解.f' (x)=l+a=2在(0 , 十0°)上有解 则 a= 2 一.xx因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(一8, 2).x(2) f ' (x)= 1月，(1) = 1-a, x又 f(1) =1 + a+b,，曲线在(1, f (1)处的切线方程为 y-(1 +a+b)=(1 -a)(x-1),即 y=(1a)x+

17、2a+ b,1-a=2,a=1.根据题意有解得2a+ b= 5,b= 7, " a一 b = 一 1 一 7= 一 8.【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y = f(x)在点P(xc, f(x。)处的切线方程是 y f (x。)=f' (x°)( x x。)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上【训练2】(1)(2019 东莞二调)设函数f(x)=x3+

18、ax2,若曲线y=f(x)在点Rx0,f(x0)处的切线方程为x + y=0,则点P的坐标为()A.(0 , 0)B.(1 , 1)C.( T, 1)D.(1 , 1)或(1, 1)(2)(2018 全国n卷)曲线y= 2ln( x+ 1)在点(0 , 0)处的切线方程为 .【答案】(1)D(2)y=2x【解析】(1)由 f(x) =x3 + ax2,得 f' (x) = 3x2+2ax.根据题意可得 f' (xo) = 1, f (xo) = - xo,x0 + axo= xo,可列方程组23xo + 2axo= - 1,解得xo= 1 ,a= 一 2xo= 1, a= 2.

19、当 xo = 1 时，f ( xo) = 1 ,当 xo = 1 时，f (xo) = 1.点P的坐标为(1 , 1)或(一1, 1).(2)由题意得y' = 2彳 在点9, 0)处切线斜率k=y' | x=o=2.，曲线y=2ln(x+1)在点9 , 0)处的切线方 x+1程为 yo= 2( x o),即 y=2x.【反思与感悟】1 .对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然

20、后“由外及内”逐层求导2 .求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3 .处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解【易错防范】1 .求导常见易错点：公式(xn)' =nxnT与(ax)' =axln a相互混淆；公式中“ + ” “”号记混，如出 现如下错误：g(-x)- ' = f一(x)g(xg(：；(2x)g一凶，(cos x) ' = sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.2 .求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题【分层训

21、练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1 .下列求导数的运算中错误的是 ()A.(3 x) ' = 3xln 38 .( x2ln x) ' = 2xln x + x14cos xC.x,xsin x cos xD.(sin x - cos x) ' = cos 2 xcos x因为'2.(2019日照质检-xsin x-cos x)已知 f (x) =xlnx,若f ' (x0)=2,则 x0等于()A.e2B.eIn 2C/D.ln 2【解析】f(x)的定义域为(0, +oo), f(x) = ln x+ 1,由 f ' ( x

22、。)= 2,即 In x。+ 1 = 2,解得 x0= e.3.函数y = x3的图象在原点处的切线方程为()A. y = xB.x=0C. y = 0【答案】CD.不存在函数y = x3的导数为y' =3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x0),即 y=0.4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过A.1秒末C.4秒末t秒后的位移为s = 1t33t2 + 8t,那么速度为零的时刻是()3B.1秒末和2秒末D.2秒末和4秒末【答案】 D【解析】 s' (t) =t26t+8,由导数的定义知 v=s' (t),令s' (t ) =

23、0,得t = 2或4,即2秒末和4秒末的速度为零.5.(2019 南阳一模)函数f(x)=x g(x)的图象在点x=2处的切线方程是 y=- x-1,则g(2) +g' (2)=()A.7B.4C.0D. -4【答案】 A【解析】-f (x) =x-g(x) , f ' (x) = 1 g' (x),又由题意知 f(2) =-3, f1 (2) =- 1,g(2) + g' (2) = 2 f (2) + 1 f ' (2) = 7.6.已知e为自然对数的底数，曲线y=aex+x在点(1 , ae+1)处的切线与直线 2exy1 = 0平行，则实数a=(

24、)c 2e1B.eC.e 12eD.2e12e【解析】y' =aex+1,，在点(1 , ae+1)处的切线的斜率为 y' |x=i=ae+ 1,又切线与直线2exy1 =0平行，.2e 1ae + 1 = 2e,解得 a=e7.如图所示为函数 y=f(x), y = g(x)的导函数的图象，那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是(【解析】由y= f' (x)的图象知，y=f' (x)在(0 , + 00)上是单调递减的，说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0, +8)上也是单调递减的，故可排除a, C;又由图象知y = f' (x)与y=g&#

25、39; (x)的图象在x = xo处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图象在 x = x。处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.8.(2019 广州调研)已知直线y=kx 2与曲线y=xln x相切，则实数k的值为()B.1A.ln 2C.1ln 2D.1 + ln 2【答案】 D【解析】由y=xln x得v = lnx+1,设切点为（x°,y°）,则k= lnxo+1, =切点（x。，yo）（x。）既在曲线 y = xlnx 上又在直线y=kx 2 上，'2，kx°2=xolnx0,1- k = lnx0+,则 Inxq+?y0= x0ln x0,

26、x0x0=In xo+1,x0= 2,k= In 2 +1.二、填空题9 .已知曲线f（x） =2x2+1在点Mxq, f （x0）处的瞬时变化率为一8,则点M的坐标为.【答案】(2, 9)【解析】由题意得f' (x) = 4x,令4x0=8,则x 2,，f(X0)= 9, .点 M的坐标是(一2, 9).10 .(2017 天津卷)已知aC R,设函数f(x) = axln x的图象在点(1 , f(1)处的切线为l ,则l在y轴上 的截距为.【答案】11【解析】 f(1) = a,切点为(1 , a). f' (x) = a,则切线的斜率为 f' (1)=a1,切线

27、方程为：ya= x(a- 1)( x-1),令x= 0得出y= 1,故l在y轴上的截距为1.11.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf' (2) + ln x,则f ' (2) =.【答案】-4【解析】 因为 f(x)=x2+3xfz (2) + ln x,所以 f ' (x) = 2x + 3f ' (2) +x1 9所以 f (2) = 4+ 3f ' (2) + 5= 3f ' (2) + 2,所以 f ' (2) = 4.12 .已知函数y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线方程

28、为y=2x-1,则曲线g(x) = x2+f(x)在点(2 ,g(2)处的切线方程为.【答案】6x-y-5=0【解析】由题意，知 f (2) =2X2 1 = 3,g(2) =4 + 3=7,.g' (x)=2x+f' (x), f' (2) = 2, .g' (2)=2X2+2 = 6,曲线 g(x) = x2+f(x)在点(2, g(2)处的切线方程为 y-7=6(x-2),即 6x-y-5=0.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13 .(2019 深圳二模)设函数f(x)=x + 1+b,若曲线y=f(x)在点(a, f(a)处的切线经过坐标原点，则 ab x=()A.1B.0C. 1D. 2【答案】 D【解析】由题意可得，f(a)= a + -+ b, f(x)= 1 2,所以f( a)= 1 2,故切线方程是 y a baxaa1 一孑(xa)，将(0，0)代入得一 a ： b= 1 a2( a),故b= a，故 ab= - 2.14 .已知函数 f(x)=|x3+ax+b|( a, bCR),若对任意的 x1,x2C0, 1 , f (x1) f (x2)W2|x1 x2|恒成 立，则实数a的取值范围是-2, 1【解析】当 x1=x2 时，f (x1) f (x2) W