2020-2021杭州市高中必修一数学上期末一模试题含答案

1、2020-2021杭州市高中必修一数学上期末一模试题含答案一、选择题1.已知定义在R 上的增函数 f(x),满足f(X)+f(X)=O,X1,X2,X3CR,且Xl+X2>0,X2 +X3>0, X3+X1>O,则 f(Xl)+f(X2)+ f(X3)的值()A. 一定大于0C.等于0B. 一定小于0D,正负都有可能2.已知函数f(X)10g22x,x 0,关于 x的方程 f(x) m,m x 2x,x 0.R,有四个不同的实数解 Xi,X2,X3,X4，则 XiX2+X3 X4的取值范围为(A. (0,+B 0,2C.1,2D.(1,+ )3.设a脸3c 10g147 ,则

2、a,b,c的大小关系是a. a bB. aC. b a cD.cab4.若函数f(X)log 1 (x23X,x N1),Xf(f(O)()A. 0B. -1f(X)的定义域为R,满足1C3f(x 1) 2 f(x),且当D.若对任意8 r一，则9m的取值范围是A.B.C.6.若 x0= cOSX0,则()A.X0 e( 一, 一) b. x0 e7.设f X是R上的周期为C.的函数，且对任意的实数X,恒有(0,1时,f (X)D.X0C(0,x(x 1).0,当11,0 时，f x -2若关于x的方程fl0ga0(0且 a 1)恰有五个不相同的实数根，则实数a的取值范围是A.3,5B. 3,

3、5C.4,6D.4,68.已知函数10g0.5 x,则函数f 2x x2的单调减区间为A.,1B. 1,C.0,1D.1,29.若 a30.3, b log 3 , c log o.3 e ,则(A. a b cB. b a cC. cabD. b c a10.对任意实数x,规定f x取4x三个值中的最小值，则()A.无最大值，无最小值C.有最大值1,无最小值B.有最大值2,最小值1D.有最大值2,无最小值11 .若不等式x2 ax 10对于一切x1 , 一，0,-恒成立，则a的取值范围为()A. a 012.已知函数f (x)g(1)()5B. a 2C. a 2g(x) x ,对任意的x

4、R总有f ( x)D. a 3f (x)，且 g( 1) 1,则A.1B. 3二、填空题13. f (x)是R上的奇函数且满足 f (3 x)C. 3D. 1f(3 x),若 x (0,3)时，f(x) x lgx,则f(x)在(6, 3)上的解析式是.14 .若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(一8, 0上是减函数，且f(2)=0,则使得f(x)<0 的x的取值范围是15 .已知f (x)?g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且f(x) g(x) 2x x,则f(1) g(1) .16 .已知函数g(x) f (x) x是偶函数，若f ( 2) 2,则f (2) 21 一.

5、17. f (x) x 2x (x 0)的反函数 f (x) 118 .若帚函数f(x) = xa的图象经过点(3,),则a 2.919 .已知函数f x是定义在R上的偶函数，且 f x在区间0,)上是减函数，则f x f 2的解集是.20 .若函数f(x)2x 2 b有两个零点，则实数b的取值范围是.三、解答题21 .某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x20 x,1 x 15(1 x 30, x N )天的单件销售价格(单位：元f(x)，第x天50 x,15 x 30的销售量(单位：件) g(x) m x(m为常数)，且第20天该商品的销售收入为 60

6、0元(销售收入=销售价格销售量).(1)求m的值；(2)该月第几天的销售收入最高？最高为多少?22 .已知全集U R ,函数f(x) JXF lg(10 x)的定义域为集合 A,集合B x|5 x 7(1)求集合A;求(CuB) A.23 .已知函数 f xloga x 1 loga x1(a0, al),且 f3 1.(1)求a的值，并判定f x在定义域内的单调性，请说明理由；(2)对于x2,6 , f x logam值成立，求实数 m的取值范围.x 1 7 x24 .已知定义在 0, 上的函数f x满足f xy f x f y , f 20201 ,且当 x 1 时，f x 0.(1)求

7、f 1 ;(2)求证：f x在定义域内单调递增；(3)求解不等式 f收 2019x1.2 一225 .已知哥函数f xxmm Z为偶函数，且在区间0,上单调递减.(1)求函数f x的解析式；b(2)讨论F xa4fx-的奇偶性.a,b R (直接给出结论，不需证明)xf x226 .已知 f(x)g(x) f(x) 1. 1 2x(1)判断函数g(x)的奇偶性； 1010(2)求 f( i) f(i)的值. i 1i 1【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1 . A解析：A【解析】因为f(x)在R上的单调增，所以由x2+ x1>0 ,得x2>-x1，所以f（X2）f（

8、X1）f（X1）f（X2） f（X1）0同理得 f（X2） f（X3） 0, f（X1）f（X3） 0,即 f（X1）+ f（X2）+ f（X3）0,选 A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个 函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注 意转化在定义域内进行2 . B解析：B【解析】 【分析】由题意作函数y f（x）与ym的图象，从而可得 xi X2X3gX4 1 ,从而得解【详解】解：因为 f （X）10g2X,XX2 2x,x0，一，一,可作函数图象如下所不:0.依题意关于X的方程f（x） m,m R,有四个不

9、同的实数解Xi,X2,X3,X4,即函数y f（x）与ym的图象有四个不同的交点，由图可知令Xix2 0X3则XiX22,log 2 X3log 2X4,即 log 2 X310g2 X40 ,所以X3X41,则X3X4X41,2所以XiX2X3X41一X4, X41,2X4因为1,2上单调递增，所以52，21,即一X4X452,2X1X2X3X41一X4X410,2故选：B本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用.属于中档题3. A解析：A【解析】【分析】构造函数x logx-,利用单调性比较大小即可2构造函数x10gx "2 1 1ogx2 110g 2X，则f x在1, 上

10、是增函数,故 a b c.故选A【点睛】属于中档题本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法,4. B解析：B【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值【详解】因为 0 N ,所以 f(0) 30=1, f(f(0)f(1),因为1 N ,所以f(1)= 1 ,故f(f(0)1,故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.5. B解析：B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分 析出临界点位置，精准运算得到解决.【详解】Qx (0,1时,f(x)=x(x 1), f (x+1)=2 f(x), f

11、(x) 2f(x 1),即 f(x)右移 1 个单位，图像变为原来的2倍.如图所示：当 2 x 3时，f(x)=4f(x 2)=4(x 2)(x 3),令 4(x 2)(x 3)-,9整理得：9x2 45x 56 0,(3x 7)(3x 8) 0,x1工死 8 (舍)，33解析：C【解析】【分析】画出y易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学 建模能力.x cosx ,利用零点存在性定理，判断出f x零点R所在的区间【详解】画出yx, y cosx的图像如下图所示，由图可知,x

12、cosx, f - - 0.523662两个函数图像只有一个交点，构造函0.8660.343 0,6. C x, y cosx的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数 0.785 0.707 0.078 0 ,根据零点存在性定理可知，f x的唯一2零点X）在区间本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数 形结合的数学思想方法，属于中档题.7. D解析：D【解析】由fx f X 0,知fx是偶函数，当X 1,0时，f xf x是R上的周期为2的函数,x的方程f x loga x 10（ a 0且a 1）恰有五个不相同的实数根，即为函数y f x和y lo

13、ga x 1的图象有5个交点,a 1所以log a 3 11 ,解得4 a 6.10g a 5 11故选D.点睛：对于方程解的个数 （或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从 图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.8. C解析：C【解析】函数f x 10g0.5x为减函数，且x 0,令 t 2x x2,有 t 0 ,解得 0 x 2.又t 2x x2为开口向下的抛物线，对称轴为x 1,所以t 2x x2在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，根据复合函数“同增异

14、减”的原则函数f 2x x2的单调减区间为 0,1 .故选C.点睛：形如y f g x 的函数为y g x , y f x的复合函数，y g x为内层函数，y f x为外层函数.当内层函数y g x单增，外层函数 y f x单增时，函数y f g x 也单增； 当内层函数y g x单增，外层函数 y f x单减时，函数y f g x 也单减;g x 也单减；g x 也单增.当内层函数y g x单减，外层函数 y f x单增时，函数 y f当内层函数y g x单减，外层函数 y f x单减时，函数 y f简称为“同增异减”.9. A解析：A【解析】因为 0 03l,e：，1,所以 c log0,

15、se 0,由于030.3 0 a 31,1 30 b log 3 1 ,所以 a b c10. D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】x 1画出f x的图像，如图(实线部分)，由1 得 A 1,25 x2故f x有最大值2,无最小值【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题.11. C解析：C【解析】【分析】【详解】1 一x2 ax 1 0对于一切x 0-成乂，2x2 11则等价为a? 1对于一切xC (0,)成立,2即a?-x-1对于一切xC(0, 与 成立， x2设y=-x- 1 ,则函数在区间(0, 1上是增函数x2,-x-x&l

16、t;-1-2=522故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f(x) 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min 0,若 f(x) 0 恒成立，转化为 f(x)max 0；(3)若 f(x) g(x)恒成立，可转化为 f(xmin) g(x)max.12. B解析：B【解析】由题意，f ( - x) +f (x) =0可知f (x)是奇函数，f x g x x , g ( - 1) =1 ,即 f (1) =1 + 1=2那么 f (1) =- 2.故得 f (1) =g (1) +1=-2,

17、 .g (1) = - 3,故选：B二、填空题13 .【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是 上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的 奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析：f (x) x 6 lg(x 6)【解析】【分析】首先根据题意得到f(x 6) f(x),再设x (6, 3),代入解析式即可.【详解】因为f(x)是R上的奇函数且满足f (3 x) f(3 x),所以 f3 (x 3)f3 (x 3),即 f(x 6) f( x) f (x).设 x ( 6, 3),所以 x 6 (0,3).f(x 6) x

18、6 lg(x 6) f(x),所以 f (x) x 6 lg(x 6).故答案为：f (x) x 6 lg(x 6)【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.14 . ( 22)【解析】【详解】二.函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(8。比是 增函数又f(2) = 0；f(x)在(0+8止是增函数且f( 2) = f(2) = 0.当2 < x<2时 f(x) < 0 即 f(x) < 解析：(一2,2)【解析】【详解】函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一8, 0)上是增函数，又f(2) =0,，f(x)在 (0 ,

19、 +8)上是增函数，且 f( 2)=f(2) =0, .当2v x<2 时，f(x) <0,即 f(x) <0 的解为(一2,2),即不等式的解集为(一2,2)，故填(一2,2).15 .【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】？分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容 易题 3解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令 x1即可求解.【详解】Q f (x)?g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且f(x) g(x) 2x xf( 1) g( 1) f(1) g(1) 211V23故答案为：32【点睛】本题主要考查

20、了函数的奇偶性，属于容易题.16 . 6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数 是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值 难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系 解析：6【解析】【分析】根据偶函数的关系有 g(2) g 2 ,代入即可求解.【详解】由题：函数g(x) f(x) x是偶函数，g( 2) f( 2) 2 4 ,所以 g(2)f(2) 2 4,解得：f (2) 6.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数 值的关系.17 .()【解析】【分析】设()求出再求出

21、原函数的值域即得反函数【详解】设()所以因为x>o所以所以因为xo所以yo所以反函数故答案为【点 睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对解析：jx1 1 ( x 0 )【解析】【分析】2设fx y x 2乂(乂0),求出乂 -1+J广，再求出原函数的值域即得反函数 f 1 x .【详解】设 f x y x2 2x (x 0)，所以 x2+2x y 0, x 2 4y =-1 Jy 1 ,因为 x>0,所以x -1+JyT,所以 f 1x Jx 11 .因为x>0,所以y>0,所以反函数 f 1 x jx_7 1,(x0).故答案为Jx7 1 ,

22、(x 0)【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和分析推理计算能力.18.【解析】由题意有：则：一 1解析：14【解析】1由题思有：3-， a 2 ,9921则：a221.419.【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可 求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析： ，22,【解析】【分析】即可由题意先确定函数 f x在 ,0上是增函数，再将不等式转化为f 1 1 f 2求得x的取值范围.【详解】Q函数f x是定义在R上

23、的偶函数，且 f x在区间0,)上是减函数，函数f x在区间 ,0上是增函数Q f x f 2f |x| f 2x 2x 2 或 x < 2解集为 ，2 U 2,故答案为：，2 U 2,【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型20.【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的 图象如图要有两个交点那么解析：0 b 2【解析】【分析】【详解】函数f(x) 2x 2 b有两个零点，二|r - 2和1y 二七的图象有两个交点，解答题21 ( 1) m 40；(2) 当第 10天时，该商品销售收入最高为900元【解析】【分析】( 1

24、)利用分段函数，直接求解f (20) g(20) 600 推出 m 的值(2)利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可【详解】20 x,1, x 15,(1)销售价格f (x)第x天的销售量(单位：件) g(x) m x(m为50 x,1啜k 30,常数)，当 x= 20时，由f (20)g(20) (50 20)( m 20) 600，解得 m 40 ( 2)当1, x 15时，y (20 x)(40 x)22x2 20x 800(x 10)2900，故当 x 10时，ymax 900，当 15剟 x 30时， y (50 x)(40 x) x2 90x 2000 (x 45)2 25，

25、故当 x 15时，ymax 875，因为 875 900，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题22 (1) A x|3 x 10 (2)(CU B) A x |3 x 5或 7 x 10【解析】试题分析：(1 )根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A( 2)先根据数轴求CU B ，再根据数轴求交集x30试题解析：(1 )由题意可得：，则 A x | 3 x 1010 x 0( 2) CU B x | x 5或 x 7CUBA x|3 x 5或 7 x 1023 (1) a

26、2，单调递减，理由见解析；(2) 0 m 7【解析】【分析】( 1 )代入 f (3) 1 解得 a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；( 2)由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值【详解】由f3 loga4 loga2 loga2 1 ,所以 a 2.函数fx的定义域为1,log2 X 1 log 2 X 110g 2 U log2X 1因为y21 在 1,X 1上是单调递减,(注:未用定义法证明不扣分所以函数f在定义域1,上为单调递减函数.(2)由(1)可知X log10g 2所以一 x0.所以6x16在x 2,6恒

27、成立.2,6时,函数y16的最小值ymin7 .所以0 m【点睛】7.本题考查对数函数的性质,考查不等式恒成立,解题关键是问题的转化.由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值.24. (1)0; (2)证明见解析；(3)1,0 U 2019,2020(1)y 1，代入即可求得(2)任取X2X10 ,可确定fX2X1f曳X10,根据单调性定义得到结论;(3)利用f . 20201将所求不等式变为2fx22019x72020 ,结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果【详解】(1)1,(2)任取X2X1X2X1X2X1X1f X1X1fX1X2X1X2. Xor .Q X2 Xi 0 1 f -20,即 f x2f x10XiX1f X在定义域内单调递增(3) Q f 2020 f 72020f 720201 f ,202012f X2 2