向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离ppt课件

1、abABCD设异面直线设异面直线a、b的夹角为的夹角为cos = AB , CDcos| |=AB CDAB| |CD| | = AB , CD或或 = AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1 1 求直线和直线所成的角求直线和直线所成的角一、用向量法求角一、用向量法求角2、求直线和平面所成的角、求直线和平面所成的角CBn设直线设直线BA与平面与平面的夹角为的夹角为，n 为平面为平面的法向量的法向量,Ag1g1n 与向量与向量BA 的夹角为锐角的夹角为锐角g1当当12g=CBAng

2、2g2n 与向量与向量BA 的夹角为钝角的夹角为钝角g2当当22g=balqn1n2g3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设设 , = gn1 n2设设a l b的平面的平面角为角为qq =gbalqn1n2gg 两个平面的法向量在二面角内两个平面的法向量在二面角内同时指向或背叛。同时指向或背叛。balqn1n2gbalqn1n2g 设设 , = gn1 n2设设a l b的平面的平面角为角为qq =g 两个平面的法向量在二面角内两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背叛。一个指向另一个背叛。二：向量法求间隔二：向量法求间隔AB1、知、知A(x1 , y

3、1, z1), B(x2 , y2, z2)|AB|=ABAB212212212zzyyxx=212212212,zzyyxxdBA=其中其中dA,B表示表示A与与B两点间的间隔，这就是空间两点间的间隔公式。两点间的间隔，这就是空间两点间的间隔公式。2. 点到平面的间隔点到平面的间隔知知AB为平面为平面a的一条斜线段的一条斜线段,n平面平面a的法向量的法向量.那么那么A到平面到平面a的间隔的间隔| |AB n| |nd=BCAna3. 直线和它平行平面的间隔直线和它平行平面的间隔n知直线知直线a平面平面,求求a到平面到平面的间隔的间隔AB在在a和平面和平面上分别任取一点上分别任取一点A和和Bn

4、 是平面是平面的一个法向量的一个法向量直线直线a和它平行平面和它平行平面的间隔为的间隔为| |AB n| |nd=a a4. 两个平行平面间的间隔两个平行平面间的间隔ABn| |AB n| |nd=A、B分别是分别是a、上的恣意点，上的恣意点，n 是平面是平面a、 的一个法向量的一个法向量ababAB只需在两条异面直线只需在两条异面直线a 、 b上上分别任取一点分别任取一点A、B。 设与设与a 、 b的方向向量都垂直的的方向向量都垂直的向量为向量为n 那么那么nn a =0n b =0 a、b之间的间隔之间的间隔| |AB n| |nd=3、求两条异面直线的间隔、求两条异面直线的间隔1GKFE

5、AB1C1D1CDBAzyx例例1：棱长为：棱长为1的正方形的正方形ABCDA1B1C1D1中中,E,F,G,K分别是分别是棱棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点，的中点，求求A1D与与CK的夹角；的夹角；求点求点B到平面到平面EFG的间隔；的间隔；二面角二面角GEFD1的大小的大小用三角函数表示用三角函数表示 DD1与平面与平面EFG所成的角；所成的角； 用三角函数表示用三角函数表示求求A1D与与CK之间的间隔。之间的间隔。解：以解：以D为坐标原点为坐标原点DA , DC , DD1 为单位正为单位正交基底建立直角坐标系。交基底建立直角坐标系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1

6、(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)21, 0 , 0KDA1=(1,0,1)=21, 1, 0CK , CKcosDA1=| |CK| |DA1CKDA1411221=1010= DA1 与与CK的夹角为的夹角为1010arccos求点求点B到平面到平面EFG的间隔；的间隔；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA，0 , 0 ,21E，21, 0 , 1F.1 ,21, 1G，=21, 0 ,21EF=1 ,21,21EG设面设面EGF的法向量的法向量=(x, y, z)nn EG=0n EF=0=0212102121zyxzx即令令x=1,得得=(1, 1,1)n=0 , 1,2

7、1BE而点点B到平面到平面EFG| |BE n| |nd=3121=23=二面角二面角GEFD1的大小的大小用三角函数表示用三角函数表示zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向量的法向量=(1, 1,1)n而面而面DAD1A1法向量法向量DC =(0, 1,0), , cosDCnDCnDCn=3331=在二面角在二面角GEFD1内内是指向面是指向面GEFnDC 是背叛平面是背叛平面DAD1A1二面角二面角GEFD1为为33arccos DD1与平面与平面EFG所成的角；所成的角； 用三角函数表示用三角函数表示zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向

8、量的法向量=(1, 1,1)nDD1=(0,0,1) , cosDD1n11DDnDDn=31= , DD1n33arccos= DD1与平面与平面EFG所成的角为所成的角为33arccos233arccos2=求求A1D与与CK之间的间隔。之间的间隔。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx=2110，CKA1D=(1,0 ,1)DAn1令CKn =(x, y, z)n且设且设=001DAnCKn由=0021zxzy得令令x=2,得得=(2, 1, 2)nGKFEA1B1C1D1CDBAzyx=(2, 1, 2)n=2100 ，DKA1D与与CK之间的间隔之间的间隔| |DK n| |nd=9

9、1=31=例例2 正四棱柱正四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面边长为中底面边长为4,侧棱长为侧棱长为5,P为为CC1上的恣意一点上的恣意一点.求证求证:BDAPC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP证明：以证明：以D为坐标原点建立如下图为坐标原点建立如下图坐标系。坐标系。A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)由知可知由知可知P(0,4,z)APBD=(4, 4, z ),=(4,4, 0 ),AP BD=1616=0 AP BD AP BDC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。解：解：P(0, 4,3)

10、B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP =(4, 4,3)PB1 =(4, 0,2)令平面令平面APB1的法向量为的法向量为=(x, y, z)n=0240344zxzyx得n n AP=0PB1=0由由令令x =2 得得=(2, 5, 4 )n而面而面BCPB1的法向量为的法向量为CD的方向向量的方向向量=(0, 1, 0 )m , cosmn455=35=在二面角在二面角AB1PB内是指向平面内是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角在二面角AB1PB内是指向平面内是指向平面APB1nm在二面角在二面角AB1PB内是背叛平面内是背叛平面BCPB1故二面角

11、故二面角AB1PB的平面角为的平面角为 , mn无妨令二面角无妨令二面角AB1PB的平面角为的平面角为tan1,cos12=mn552=二面角二面角AB1PB的正切值为的正切值为552例例3 在三棱锥在三棱锥DABC中中,底面底面ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,侧面侧面DBC是等边三角形是等边三角形,平面平面DBC平面平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为分别为 BD,AD中点。中点。求二面角求二面角FCED的大小；的大小；求点求点B到平面到平面CEF的间隔；的间隔；直线直线CE与平面与平面ABC所成的角；所成的角；O解：找解：找BC的中点的中点O,连连AO,DOABC是等腰三角形是

12、等腰三角形AOBC于于ODOBC于于ODO面面ABC故可以以故可以以O为坐标原点为坐标原点OA、OC、OD分别为分别为x,y,z轴建立如下图的直角坐标系轴建立如下图的直角坐标系zyxBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2FxOzyBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2F0 ,2,2=EF6,23,= oCE设面设面EFC的法向量的法向量=(x, y, z)nn CE=0n EF=0由由=0623022zxyx得令令 x =13, 1, 1=n得因因OA面面BCD,故故的方向向量OA=(1, 0, 0)为面为面BCD的一个法向量的一个法向量mmn,cos51=55=xOzyBFEDAC3, 1, 1=nm =(1, 0, 0)mn,cos51=55=在二面角在二面角FCED内内3, 1, 1=n指向面指向面EFC,nm 在二面角在二面角FCED内是背叛面内是背叛面BCD二面角二面角FCED的大小等于的大小等于mn,即二面角即二面角FCED的大小为的大小为55arccos求点求点B到平面到平面CEF的间隔；的间隔；xOzyBFEDAC解：由知平面解：由知平面CEF的法