线性代数2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)

1、*1 + =0 |+2=0 (*) A 2 +&3 = 0011«II(*=1011-11-2*01I0 >1E I0= k" =* Cfp,方程组（。只有零解p+y , y+a线性无关.例证明如果向量组a, P. y线性无关，則竺, 卩卄»尸性无关.设C區®十& 2十” +钉些區仗+匕）or + （不不庐卫7廷）y = 00, Y羲性无关卩1+“课堂练习设/+，“十心(I <*>何0««()所以（X,%,，叫 线性无关.«n&21t*G2=«I2 勺2“a% 二14|42

2、，4丹线性相关 J存在不全为0的数*,忍g I,使也+匕码+ .+3=0a尸倉%不令为9的数*7""卜务、 ""u"iw是n个m维向量二存在不全为0的数6心+S血+ijAr"d由十<出十十AR) (*)次线性方程组2X非零解I秩(ai，a2,， ) 51"|»2 丿a陰二&«22 皿2" U“21v"g彳<n线性相关与无关的一些判别方法:(a %对于m维列向量组 <3fi =<a、- ia斤=«2««e朋1”0"t

3、tp Qj,a 线41 相关.-r a) <n/O -“21“22<nW _02 ©am«1Ct, a” ，ctn 线性无关秩(dp a?,，ctu ) n 行的情形：F、"11 12 - %a"®,线性相关秩勺P=秩«21«22-«2«*1,帥1 dm2十5竹VWOf=(如1如12”"1做) a =(«21*22»2/1) % M(“炳山皿2八"府)«2对于n维行向童组a” <12,线性无关*秩皿丿例QLT3«2 =71/&#

4、171;3 =J丿-4、-5判断向量组6 % aj的 线性相关性f -2-4p -2-4>10-2解(Oq <12 a,)=31 -5077011W 1 ij0 1Jb0<J/Zi 71 门6 5«1 _只作行变林r(a,a,aj=2<3«1，a, aj 线性相关T 73 = -2/1 + /2； «3 =-加 1 + «22a I-a 尹 <13=0x2只作行变换J（时曲）Oy =C例判斯向量组a严（12-1卩厂 fn 2 41 2 4'''1 02、2-13(1 -5 -50 1 1I0 I1-1

5、 1 -1T0 3 3-0 1 17(» 00.51 11.lu申刖0 1 1Jl« 0V% = (2,bbl)r虏al al £/(a 仁 a 40= 2v 3'a, m 5线性相关.'.+2"仁辺洛线性相关（TR作行变换I'* 卩、-201 + 022ai + 02 - Gg M 06、%«1=«2I««2=1««2w*当< ©时 r（ai，a3 a ）=秩5, a”，叫线性相关Ct" 5,On线性相关II是向量组所含向量的个数;Cl是其中每

6、个向量的维数.r (oti，0.2 On) <nM"i< nWXHr、“11 引2 -尙"“21 22 - «2«Pm I Gm2 ”“加仃推论 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组一定线性相关.例如: 'I'2 厂 0V线性相关5个3维向量线性相关2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量线性相关. "1个II维向量线性相关.当向i组所含向i的个数其中每个向童的维数时aj*如'幻111«>a 22t%、2/11<wl >02,S" >5 牛2 &qu

7、ot; %421ttp a?八",ct线性相关Si«11«21«12”>«=»列Id?«|T«2%tOfl®w2nn Inn个n维向量aa?,线性相关佝 也=0*<推论n个n维向量 «| =勺1V.«2 =匕2、 «22«“8 =九、 %»“1丿线性相关的丸分必要条件是«|%021% aa. “=0n个n维向量01（5切2吗丿线性相关的充分必要条件是02 =（"21皿22 曲2/1）如2«nd】/i%=0推论n个n

8、维向量 «| =5】V.«2 =a, ®22«Ia* =九、 %*«Al/厲2“®ii 12a,®2I% 5线性无关的充分必要条件是n个n维侖量 A （4|1坷zlMmFl M （口21 心22"*®2材）鼻1 g., g.l）线性无关的充分必要条件是«11«21«12«22 解円k2 1A-13 roA-13勺=210 =2A 0pg 2k幻1一 111-1 1= (* 1，一6 = 2A6 3)(R +2)U>"不全为零5*6“4%“9陽*2，”

9、线性相关课堂练习已知向量组2 1)幻=(2 k «) 03=(1 -I I) k为何值时，向量组円皿2旳 线性相关？线性无关？当k3k-2时,向量组ss©线性相关. 当k*3且k* -2时，向量组6皿2皿3线性无关.(三)关于线性组合与线性相关的定理定理1(例7)如果向量有一部分向量(称为部分组) 线性相关，则整个向量组也线性相关 证：设向量组乔逼>%即心中有一部分 线性相关.不妨设只r个向irapor,“a,线性相关存在不全为率的数“k"，_ 使4+&2%+心碍=0 + A/z? +女毎 十()a“ +»©一2 +十Oq =6系

10、数：至少一个不等于0如果一个向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关.中任一部分撷线性无关CTgCCp 2, 幵 CTj.中有一部分线性相关如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组也线性相关.逆否命题：整个向童组a、, a，911 a°»j, 怜 a、线性无关整个向量组耳宀心八sq "、 线应相关+ #心注意:存在一组不全为0的向量组（11,02,a$线柱相关 1 数匕&,札 使ftjCj叫 + . +忍冬=0存在一组数gkf也T-I0碍2© 04B是向童组«2,，务 的线性组合如0无不全为P - Oa, + Oa,

11、卩可由8,（12线性表示.0的要求s个向童5皿2 线性相关在ki*0 使/c,a, =0= 0同时k,*0二 a? a» 二Qn 0/.0| =0&a| =a、右a产“2«()1存在S个不全为0的数 7严也 使+*©+欠a =0存在2个不全为0的数_A虫使=6设1% =/&|«2V= /Qf,=幻=弘2a =b 5, a?的对应分i成比例.U.n>/rM «> JiyJt不妨设b*0，則 0 = -a,=/<存在S个不全为0的数A沁”R/C|<x, +他Gi +&码=0当s=1时，11¥

12、向量a餐 性相关1T 个柩顾殛叮筱血司个向童构成的向童组«,线性相关 即一个零向量线性相关，而一个非零向量纹性无关.（例4）S 个向量 a、, flfj, *»?线性相关J当S=2时,2个向icci，0（2线性相关1 p它们的对应分量成比例.例割断下列命题是否正确.对于向量组引”心如果存在一组数h、k» 使丘冋+*2«2 +人磅=0成女用向量组仪,4"心(2) 因为(切40勺4“0幻=0所以心线性无巻(3) 如果一个向量组线性相关，則其任意部分组 V 也线性相关七(4) 任意21个n秦向量均线性相(5) 若向量组叫皿2,6线性无关，2线性相关，

13、则向量组6、6心很泯 也线性相有关线性相关和线性无关的定理定理26向量组02"心(22)线性相关的充要条件 是:其申至少有一个向量是其余*1个向量的线性组合.何60«2 =3a产63549线性相关© <>21 Up 02, 线性相关例如：的=引対皿丫中至少有一个向量是其余sT个向量的线性组合«3= 0® 十 ta工 la Off, + 碍 2= «a,>- a.i tti， ttj,，ttj (s >2) 线性相关一其中至少有一个向*是其余sl个向量的线性 组合证必要性设SSS “王2)年童聲黑 则存在一组不全

14、为0的数AI血"&快马k2“十6不妨设k * 0,则ft,a,= -心一心一-化乞Jt.Jtkor, =(- )«2 十(-)碣十，十(一->a, 他kk即d为s Qj ,，(1$的线性组合即cq为其余S-1牛向童的线性组合.定理27如呆向童组貝，012,，a$线性无关， 而向量组a“a2,，4,矽线:性相关Bp可由向量组 Ct| y a?, 八，Ctg线性表丁丘万法是r * . 证：因为aP «2,., ttj P线,桂相关Qi，幅,，从©)所以存在一组不全为0的竣占kj,. k卵£?茯沪a +严骨0:不曲Bkp - kjaj - kpOt? -k$a$若k =0,则kis+a?十十瓦0»三0 ： |k|k小，kji全为零4fi?JaHQj,.,Qj线性相关