(完整版)假设检验习题及答案

1、第三章假设检验3.2 一种元件，要求其使用寿命不低于1000 （小时），现在从一批这种元件中随机 抽取25件，测得其寿命平均值为950 （小时）。已知这种元件寿命服从标准差100（小时）的正态分布，试在显著水平 0.05下确定这批元件是否合格。提出假设：H0:1000,H1:1000构造统计量：此问题情形属于u检验，故用统计量:0Tn0 100n=250 1000X u=0此题中：X 950代入上式得：950-1000 u=2.5100 25拒绝域：V= u U1本题中：0.05u095 1.640.95即，u u0 95拒绝原假设H0 00.950认为在置信水平0.05下这批元件不合格。3.

2、4某批矿砂的五个样品中锲含量经测定为（%）:3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布，问在0.01下能否接受假设，这批矿砂的锲含量为提出假设：H0: 10 3.25 H1: 10构造统计量：本题属于2未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为：t= JS . n 1本题中，x 3.252,S=0.0117,n=5代入上式得：0.3419t= 3.252-3.250.0117 .5 1否定域为：V= t>t (n 1) 2本题中，0.01,t0.995(4)4.6041Qt t1 - 2接受H 0，认为这批矿砂的镣含量为3.25。3.5确定某种溶液中的水分，它的1

3、0个测定值X 0.452%, S 0.035%,设总体为正态分布 N( , 2),试在水平5%检验假设：(i) H0:0.5%H1:0.5%(ii) H0 :0.04%H1:0.0.4%构造统计量：本文中 未知，可用t检验。取检验统计量为 t=_X 0.S n 1本题中，X 0.452%S=0.035%代入上式得：0.452%-0.5% t= -4.11430.035%、,10-1拒绝域为：V= t >3- (n 1)本题中，0.05n=10t0.95(9) 1.8331 t 4.1143拒绝H 0(ii)构造统计量：未知，可选择统计量2 nS22"0本题中，S 0.035%n

4、=100 0.04%代入上式得:2否定域为：10 (0.035%) 2(0.04%)27.6563V= 212 (n 1)本题中， 221 (n 1)0.95(9) 16.919Q 212 (n 1)接受H 03.9设总体X : N( ,4),Xi,K ,Xi6为样本,考虑如下检验问题:H0:0 H1:1(i)试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为=0.05V i=2彳 -1.645V 2= 1.50 2X 2.125V 3= 2X 1.96 或 2X 1.96(ii)通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？解：(i)P x V H00.05» 一 X即，P U

5、U1 _ U0.9750.051 2这里H0:0P X 2*1.960.05V12X 1.645X 0P 2X 1.645 P 1.645( 1.645) 1(1.645)、n=1-0.95=0.05X 0V21.50 2X 2.1251.50 2.120、nPV2 H0(2.215)(1.50)0.980.930.05V3 2X1.96或2X1.962X|1.96 FX01.96I . n IP(V3 Ho)=1-P 2X| 1.962(1(1.96) 0.05(11)犯第二类错误的概率=P -V H1V1 :1=P 2X 1.6451_ X 1=P0.3551(0.355) 0.36n V

6、2 : 2 1 P 1.50 2X 2.1251X 1=1-P3.501 4.125n=1-(4.125)+ (3.50)=1V3: 3 P 2X| 1.961_X 1=P 0.04 1 3.96 -n =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V出现第二类错误的概率最小，即 V最好。3.10 一骰子投掷了 120次，得到下列结果:点数123456出现次数232621201515问这个骰子是否均匀？（0.05）解：本题原假设为：H。：口 1i=1,2, L ,66这里 n=120,nP 20本题采用的统计量为Pearson 2统计量k2即2(n np)

7、'i 1npi代入数据为：npi2 k (n npi)2 (23-20)2 (26-20)2 L (15-20)220i2 (k-1)= 0.95(5)=11.071由于212 (k-1)所以接受Ho即认为这个是均匀的。3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表:呼吸次数0123456>=7频数81617106210解：试问这个分布能看作为泊松分布吗？( =0.05)检验问题为:Ho: P(x k)kek!参数为已知的最大似然估计860”1610 1* L 6* 7* L606060P3P6P8k (ni20e20!21e21!22e22!23e23!2

8、4e24!522 e5!26e26!1np)2i 1npi=0.6145由于12Q 2(k-1)=i2 (k-1)2* e0.13532*e221.5* e 22* 2一*e34 *2* e154 *2* e450.27070.27070.20300.09020.03610.0120P X 60(8 60*0.1353)260*0.1353(16 60*0.2707)260*0.2707(1 60*0.0120)260*0 .012020.9 5(5) =11.071接受H0,即分布可以看作为泊松分布。测得他们的直径为(单位： mm):3.13从一批滚珠中随机抽取了 50个,15.015.81

9、5.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？(0.05)解：设X为滚球的直径，其分布函数为F(x),则检验问题为xH0：F(x)()在H0成立的条件下，参数，2的最大似然估计为=15.078,2 0.183314.6-15.0

10、78(0.4282)P2P3P414.8 15.0780.428215.1 15.078(0.4282)(15.4 15.078)0.4282(-1.1163) 0.1321(-1.1163)(-0.6492)(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)(0.7520)(-1.1163) 0.1260(-0.6492) 0.2624(0.0514) 0.2535P5 1 P1 P2 P3 P4 0.22602/、21- (k-m-1)= 0.95(2) =5.99122Q 1- (k-m-1)=5.991接受H 0,认为滚珠直径服从正态分布。3-13 表iW 1©)niPin

11、Pim np )2 np1(0,14.6)60.13216.60610.0556214.6,14.8)50.12606.29760.2674314.8,15.1)130.262413.12090.0011415.1,15.4)140.253512.67520.1385515.4,)120.226011.30030.04330.5059疗效 年龄儿童成年老年显著583832128284445117较差23181455109100913003.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。试问疗效与年龄是否有关(0.05) ?解：设X为年龄Y为疗效Xi儿童Yi显著Y2X3老年Y3较差HO： pjPi

12、Pj i=1,2,3j=1,2,3即X与Y独立本题选择的统计量为snjn Pi2Pj2nn jn P Pjnnrn(i 1s n21)1 m代入数据得:r2 n( i 12 n nij=300(j 1 nn58223222282+442109*128 100*128 91*128 109*117 100*117 91*117232182142109*55=13.586212- (r 1)(s 1)Q 212- (r 1)(s+100*55+91*55-1)2.95(4)1)9.4880.95 (4)拒绝H 0，认为疗效与年龄有关。3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位

13、:mm)如下：10.52 10.41 10.32 10.18 10.64 10.7710.82 10.67 10.59 10.38 10.49试检验这批零件的直径是否服从正态分布？（0.05,用W检验）解：为了便于计算，列表如下：这里 n=11。表3-16kX(k)X(n 1 k)X(n 1 k) X (k)ak(W)110.1810.820.640.5601210.3210.770.450.3315310.3810.670.290.2260410.4110.640.230.1429510.4910.590.10.0695610.5210.520H 0 :总体服从正态分布H 1 :总体不服从正

14、态分布将观察值按非降次序排列成：X !)LXn)本题采用的统计量为：中 2ak(W) X(n+1-k)X(k)k=1W=n(X(k) X)2k 111_2(X(k) X) 0.3821i 1X 10.52645 ak(W)X(12 k) X3 i=1=0.5601*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.6130所以W=0.613020.38210.9834W0.050.85QW W0.05接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。3.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结 果如下：甲(小时)：1

15、610 1650 1680 1700 1750 1720 1800乙(小时)：1580 1600 1640 1640 1700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(0.05) ?解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。设两个总体的分布函数分别为后院)与529),它们都是连续函数，但均为未知。我们要检验的原假设为：H 。1 F2(x)表 3-18序号123456789101112数据158016001610164016401650168017001700172017501800这里1700两组都有，排在第8,第9位置上，它的秩取平均数

16、(8+9)/2=8.5 这里n1 7 n2 5,T 取 T2，即T=T 2 1 2 4 5 8.5 20.5从附表13查得T嘿5 22,#) 嘿5 43QT<T<1)22,拒绝H0,认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为34043056092013801520166017702100232023501650试问在显著水平0.10下，故障事件是否服从指数分布？解：原假设为：H0：F(x) F0(x; ) 1 e x , x>0求未知参数的极大似然估计值1 121,Xi(340 430 L 165

17、0)=1416.6712 i=112x按公式F0(X；)1 e 1416.67计算X(i)点的分布函数值，在列表计算di值。X(i)niF0（X«）；）耳(Xi)忌Xi1)|F0(X (i)；) Fn( X (i) )| Fn (X (i 1) )F 0 (X (l) ;)|di34010.213400.08330.21340.13000.213443010.26180.08330.16670.17850.09510.178556010.32650.16670.25000.15990.07650.159992010.47760.25000.33330.22760.14430.2276138010.62250.33330.41670.28910.20580.2891152010.65800.41670.50000.24130.15800.2413166010.69020.50000.58330.19020.10680.1902177010.7