(完整word版)求极限的13种方法

1、1 -a(1 -a2)(1 a2).(1a2求极限的13种方法(简叙)极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了 求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多 变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母 有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。一，.一一90 n-例 1、求极限 lim (1+a)(1 +a2)(1 +a2 ),其中 |a 1n一二分析 由于积的极

2、限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 n解 因为(1 +a)(1 +a2).(1 +a2 )1 -a(1 - a)(1 a)(1 a2).(1 a21 -a当 n-*如 时 ，2n与t2, 而 a o2解 原式= lim e(cosx-1)csc x = eX o四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形例4、求极限limnr 二n!n n分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。解因为oE?=1 .2仁工工， n n n n n n且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所以lim 4=0 n nn五

3、、利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式Xn4 = f (Xn)的数列极限。在确定lim Xn存在的前提下 可由方程A=f(A) n )解出 A,则 lim Xn=A。 n j 二二1a例 5、设aA0,X1 0,Xn书=：(3xn + 石)，(n=1,2,),求极限 lim 4 (4Xnn ：:分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界 准则。1 .ca、解 由a 0, X1 0, %书=7 （3人+-）易知Xn 0O4Xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有Xn 1a = 4a3Xn1 ,a、（XnXnXnf - 4 XnXnXn4X

4、n所以,数列Xn有下界Va,即对一切n1,有Xn2*av%333 h所以Xn. EX”,即数列单调减少。由单调有界准则知数列 “有极限4现设lim Xn=A,则由极限的保号性知 A之而0. n. .一 . 1 a1 a、对式子Xn十- 4(3Xn /)两边同时取极限得A=(3A+77)4Xn4A解得A=Va,即lim Xn = Va (已舍去负根)n. n六、利用等价无穷小求极限 利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简 便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵 活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷 小替换。例 6、求极限 lim

5、sinsin-1) x 1 In x分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。解 当xt1时，x 1 t 0,则sinsin(x -1) sin(x -1) x -1,ln x = ln(1 + x -1) x-1故原式=lim= =1x 1 x -1七、利用导数定义求极限 利用导数定义求极限适用于,明仁型极限,并且需要 满足f(x0)存在。. ,1、sin( a )例 7、求 limJn,其中 0c。ln u v=e ，进n sin a0 a 1分析 初步可判断此题为(产)型未定式，先通过公式u 行恒等变形，再进一

6、步利用导数定义求得极限。1 sin( a J)s i na( ) lim n ln-n in_Qnisin a；=e s i a. ,1、，一1、 ，.sin(a)ln sin(a)-ln s ia而 lim n ln-: lim n二 sin a 11n1ln sin(a ) 一ln sin a由导数的定义知，limn表示函数lnsinx在 x=a处的导1 sin(a ) 数。即 lim n lnn- =ln sinxxN = cota。nsin a八、利用洛必达法则求极限 利用洛必达法则求极限适用于0,艺,02型未定式，其它类型未定式也0 二可通过恒等变形转化为0,艺,0皿型。洛必达法则使

7、用十分方便，但使0 二用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。例8、求极限limx0cosx - cos3xsin x 3sin3x cosx 9cos3x /用牛 原式 =lim=lim二4x。2xx 02注：连续两次使用洛必达法则 九、利用微分中值定理求极限利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即 f (a) f(b) = f(q,其中 y (a,b)o a - bx sin x例9、求极限lim且二x0 x - sin x分析 若对函数f(x)=ex,在区间sin x,x】上使用拉格朗日中值定理xsin x则：e -e=e与其中 S (sinx, x)x - si

8、n xx sin x解 由分析可知e e-e,其中 踪(sinx,x)x -sin x又 x t 0时，有 s i n(T 0,s i xn - 8时分别趋于。与1,故积分区间为b,1l n n将0,1监分，则有以=,从而有：n原式=lim 1(sin - sin -sin (n1-) = sin 二xdx = -1 cos二x 1=2n nn nn 0二二十二、利用级数收敛的必要条件求极限级数具有以下性质：若级数Jun收敛，则limun=0。所以对于某些极限lim f(n),可以将函 /n n :n 1数f(n)作为级数Z f(n)的一般项，只需证明级数：ff(n)收敛，便有lim f(n)

9、, =0.n)二二例12、求极限n. nlim2n-:(n!)nj解令Un =，对于正项级数工4,有(n!)n 4(n 1)n 1n一Un n(n 1)!)(n!)2. (n 1)nn二 limnnn n :(n 1)nn=lim (1 1)n -1- = lim e- = 0n一；：n n 1 n一； ：n 1qQZ Un收敛 n z!当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求lim ul! =0 :二1,由比值审敛法知,级数5Unn故 lim -2 =0n :(n!)2十三、利用窑级数的和函数求极限相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。例 13、求极限 lim (1 - 2- -nr)n 丘3 323n分析若构造哥级数 nxn，则所求极限恰好是此级数的和函数在 n 1x = 1处的值。3解考虑哥级数Jnxn