小学数学包含与排除

1、包含与排除小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住 房面积时，两家登记表如下图（单位：平方米）：姓名居宝门厅国房画所总面积小明1412438小龙2012B444他们住的一套房子共有多少平方米？如图1,小圆表示小明家面积，大圆表示小龙家面积.如果把大圆面 积44平方米和小圆面积38平方米相加，阴影部分的面积事实上被加了两 次.因此这套房子的面积为大圆面积加小圆面积减去阴影面积，即所求面 积=44+ 38-24=58 （平方米）国1图之由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重 复部分。如图2,在长为30厘米，宽为20厘米的

2、长方形铁板上钻了一个半径 为5厘米的圆孔，求阴影部分的面积.这个图形是一个不规则图形，如果我们直接计算很不容易，由图 2 容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积， 而长方形面积与圆的面 积都很好计算，因而有：阴影面积=20 X 30-5 X 5 X九=600-25兀（平方厘米）由此我们得到排除法：两个分量之和等于总量，当计算一个分量时，可用总量减去另一个分 量.即若A+ B=G贝U A=C-B比如计算小于100的自然数中不能被3整除的数有多少个？由于小于100的自然数中，不能被3整除的数的个数加能被3整除的 数的个数为99,很容易计算只能被3整除的数的个数为33,因此由排除 法，不能被3整

3、除的数的个数为99-33=66 （个）。下面我们考虑在小于100的自然数中，能被3整除，或能被5整除的 自然数有多少？能被3整除的自然数有3, 6, 9,96, 99共33个；能被5整除 的自然数有5, 10, 15,，90, 95共19个.还要注意到能被3整除的数 中也有能被5整除的数（即能被15整除的数），如15, 30, 45,，90 共6个，由逐步排除法有，能被3整除的数或能被5整除的数有33 + 19-6=46 （个）。例1如图3,长方形长为4厘米，宽为3厘米，求四边形GHEF勺面积。分析与解 所求四边形四条边的长都不知道，我们还不会直接求它的面积. 由于所求四边形面积与4个三角形面

4、积之和等于长方形面积，我们可以利 用容斥原理把不规则图形HEFG勺面积转化为求规则图形的面积。Shef<=SBC-S AAHE-SaEBF-S CFG- GDH= 3X2q-lx3Xi-lx2Xi-lx3Xi-lx2X 2222=7 （平方厘米） 例2六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育训练班，其中足球班 报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人, 足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人.问三项都报的有 多少人？分析与解由于问题比较复杂，我们把它简化成图4.要计算阴影部分的面 积，我们记An B为圆A与圆B公共部分的面积，Bn C为圆B与圆C公

5、共 部分的面积，An C表示圆A与圆C的公共部分的面积，x为阴影部分的面 积.则图形盖住的面积为A+ B+ C-An B-BAC-An C+X (*)请你注意阴影部分的面积被加了4次又被减了 3次图3设三项都报的有X人，由容斥原理有30+ 25+20-10-10-12 + x=45解得x=2 o答：三项都报名的有2人。在*式中，A, B, C, An B, Bn C, An C, x和总量这8个数中，只要 知道了 7个数，就可通过列方程求出第8个数。例3某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数 学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人.老师告诉同学既参 加数学小组

6、又参加语文小组的有 3人，既参加数学又参加英语和既参加英 语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语 又参加数学小组的人数。分析与解 根据已知条件画出图5.根据已知三圆盖住的总体为49人， A=30, B=20, C=10, AH B=X BA C=Y AH C=3, A B C 的公共部分记为 An Bn c=1,由逐步排除法有 49=a+ b+ C-An B-Bn C-An c+aq ba c,即:49=30+20+10-x-y-3+1故 x+y=9 o由于x, y都是质数，而它们的和为奇数 9.因而这两个质数中必有一 个偶质数2,另外由x+y=9知另一个质数为7。答

7、：既参加英语又参加数学小组的人为 2个或7个。例4某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20人，语文20 人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人.问这个班最多 多少人？最少多少人？分析与解 如图6,数学、语文、英语得满分的同学都包含在这个班中， 设这个班有y人，用长方形表示A、B、C分别表示数学、语文、英语得 满分的人，由已知有 An c=8, An b=7, Bn c=9.aa Bn c=x.由容斥原理有丫=右 b+ c-A n B-An c-Bn c+aq ba c+ 3即 y=20+20+20-7-8-

8、9 +x+3=39+ x。以下我们考察如何求y的最大值与最小值。由y=39+x可知，当x取最大值时，y也取最大值；当x取最小值时， y也取最小值x是数学、语文、英语三科都得满分的人数，因而他们中的 人数一定不超过两科得满分的人数，即 x<7, x&8且x09,由此我们得 到x<7.另一方面数学得满分的同学有可能语文都没得满分，也就是说没有三科都得满分的同学，故x>0,故0&x&7。当x取最大值7时，y有最大值39+ 7=46,当x取最小值0时，y有 最小值39+0=39。答：这个班最多有46人，最少有39人。例5向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园

9、的态度，赞成去颐和园的人数是全体的不 其余不赞成，赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比时去两处都赞成的学生数的;多1人，问对去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？ 分析与解 所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在 50名同学中，由于问 题比较复杂，我们从50人中利用逐步排除法去计算，如图 7.用长方形I 表示50名被调查的同学，A表示赞成去颐和园的同学，用表示赞成去动物园的同学，则A中有50X 1=30人，B中有3。+ 3 = 33B 人，若设去两处都赞成的同学有交人，则去两处都不赞成的同学有3十1C30 -x) +(33 -我4- x + +1 =50L - J人.由逐步排除法可知投过赞成票的人数（包括赞成去颐和园、动物园，和二者都想去的人）为30+33-x=63-x ,由排除法可知用全体50人 减去投过赞成票的人，剩下的就是去两处都不赞成的同学， 这样也就列出 了算式解得，x=21螭+1=自答：去两处都赞成的同学有21人，去两处都不赞成的同学有8人。例6如图8,正方形边长为4厘米，分别以正方形四边为直径作半圆.求 阴影部分的面积