百分数应用的延伸——线段图[1]

1、巧用画线段图来解决问题日期：2011-06-30来源：  作者：河南村中小 马丽娟字体：大 中 小 小学数学应用题既是教学中的重点，也是教学中的难点。有不少的应用题，文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。如果教师一味的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半。即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题了。俗话说，授之以鱼，不如授之以渔。一个教师不仅要教给学生知识，更重要的是交给学生学习知识的方法。而线段，画起来很简单，可就是这简单的线段却在小学应用题

2、教学中起了奇妙的作用。线段图作为解决问题的一种基本策略，从数学教学的“辅助工具”向“课程目标”的价值提升，培养了学生的主动性和自觉性，提高了学生运用线段图策略解决问题的能力。我在“解决问题”的教学中,经常用这”画线段图”这一策略,我班的学生也乐意用这一策略,因为它帮助了我班的同学轻松、愉快地学会了很多简单、复杂应用题。下面是我教学中用画线段图解决问题的一个例子：一次上课，学生做练习，好半天都没有人做完，我很纳闷。怎么回事？走下讲台到学生中间一看，原来是一道应用题难住了大家。题目是这样的：书架上有两层书，第一层的本数比第二层本数的2倍少3本，两层书共有153本。第一层和第二层各有多少本书？当时全

3、班35个学生没有一个做出来的。我想：怎么办？直接讲还是在让他们做做？忽然我想到了画线段图。于是我就对全班学生说：“老师给大家一点提示。”说完后，我在黑板上画起了线段图。 第二层 ？本 比第二层的2倍少3本 153本 第一层  ？本画完图后，我让学生看着图在试着做做。很快，就有几个学生做出来了。他们嘴里还说：“看着图就会做了。”“有图真好。”然后我就让看明白图的学生给不明白的学生讲解，实在不明白的我给讲解。通过以上解决问题的过程，学生明白了线段图的重要和它的作用。也充分证明：线段图在小学数学应用题教学中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会复杂关系的应用题

4、，既培养了学生的能力，又促进了学生了思维的发展，是教学中行之有效的教学方法。是教师教好、学生学好的有利工具。 借助线段图  理解数量关系分数应用题中线段图的有效利用 一直以来，分数应用题中的数量关系都较为抽象、难于理解，是学生对于“分数意义”的拓展认识，分数的意义不再仅仅局限于部分量与总量之间的对比关系，还引申为两种相关联的量在数量上的变化。仅凭记忆题型确实可以使很多孩子迅速掌握这类问题的解决方法能够正确计算，但不利于培养学生分析问题和灵活应用知识能力的培养。北师大版小学数学五年级下册第五单元-分数混合运算学习中，要求能结合具体情境，解决简单分数混合运算的实际问题

5、，体会分数混合运算在现实生活中的应用。学生通过前面的学习对于分数乘除法的意义及相应的问题已经有了一定的认识和理解。本单元分三层创设不同的问题情境，分数混合运算（一）学习连乘、连除或乘除混合的分数应用题;分数混合运算（二）学习“求比一个数多几分之几或少几分之几”的问题；分数混合运算（三）列方程解决“已知比一个数多几分之几或少几分之几是多少，求这个数”。在逐层学习的过程中，通过分析交流和适量的练习大部分学生能够掌握各自的方法，但将不同类型不同问题综合出现时，很多学生就会产生混淆，从而折射出学生在学习过程中分析理解题意能力的欠缺，没有真正理解相比较量之间的数量关系。在实践教学中，我发现利用画线段图的

6、策略创设不同的问题情境，有助于学生理解分数应用题中各量之间的对比关系，从而能够轻松的根据分数乘除法意义的不同解决问题，帮助学生愉悦的学习数学，树立学好数学的信心。一、借助线段图，理解分数的意义初步认识分数时，通过数形结合的对应思想，帮助学生构建了整体“1”与部分量之间的关系，在各种图形的运用中，线段图的使用显得更为清晰方便，使学生能够一目了然地获取相关的信息和问题，直观形象地了解到各信息与问题之间的数量关系。在学习本单元“分数混合运算（一）”出现了这样的问题情境：气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的。航模小组有多少人？很多学生在读完题后显得较为迷茫，觉得有些

7、混乱，不知道从何开始思考，这时我引导他们与老师一起尝试用线段图来表示三者之间的数量关系。（1）                 按顺序找出相比较的两个量依次为航模小组与摄影小组，气象小组与航模小组；（2）根据已知与未知条件，先比较哪一组量，为什么？学生会考虑到航模小组与摄影小组在问题中都没有告诉，无法先比较，引入另外一组；（3）摄影小组与气象小组进行比较，哪个小组的人数为标准量，即整体“1”的量；（4）研究画图：把气象小组的人数作为标准

8、，画出一条线段，摄影小组的人数是气象小组的，说明把哪个量平均分成3份，摄影小组怎么表示？（2）                                           12人气象

9、小组：摄影小组：                 ？人 边分析边引导学生学习画线段图，清晰地看出摄影小组的人数是气象小组人数的，也就是要算12的是多少，根据分数乘法的意义，用12×=4人。（5）再比较航模小组与摄影小组，问：这时是哪两个量在进行比较，谁是标准量？谁是谁的？使学生逐步明白这次将前面求出的摄影小组的人数作为标准量，把它平均分成4份，航模小组的人数是其中的3份。画图为：   &

10、#160;                      12人气象小组：摄影小组：                    航模小组：       

11、60;                ？人也就是航模小组人数是4的，列式为4×=3人同样的对于类似的连除或乘除混合运算，借助线段图可以帮助学生清晰地弄清各量之间的比较与被比较的关系，再根据分数乘法、除法的意义可以先分步再综合解决问题。二、借助线段图，学会数学表达在课堂教学中，大部分孩子在教师的引导下能够借助线段图弄清各量之间的关系，但独立画图能力相对较弱，究其原因主要在于没有将图形语言与数学语言相融合，只能借助线段图了解各比较量之间的数

12、量关系，却无法将这种关系上升到数学思维，因而出现不会独立画图，只能依赖于老师的引导与分析。这时进行一些反向看图读图训练，有助于学生对数学语言的理解。如：（1）看图说题意列式计算妈妈的体重：                 55千克                 

13、60;  爸爸的体重：                     ？千克引导学生看清：谁的体重是标准量，谁的体重是谁的几分之几？根据除法的意义或应用方程，怎么计算？（2）根据算式画出线段图 给出算式：20×         6÷学生对于分数乘法的意义理解较好，能够说出求20的是多少

14、，把20作为标准量，求它的是多少？先画出一条线段表示20，再将20平均分成5份，要求的是其中的2份是多少？        ？              20对于6÷相对来说需要逆向思维，学生对如何用线段图表示除法比较吃力，联系乘法的意义，刚才算式中20×=8可以引导学生思考：（   ）×=6，在这个算式中，（    ）

15、中的量为标准量，它的就等于6，可以画出：                  6            （     ）学生通过线段图中部分量与总量的对应关系，发现6与是相对应的部分，明确已知某个量的是6，求这个量可以用方程或用除法计算。从而清楚地区分分数乘除法意义的不同，并在看图表述中学会用

16、数学语言表达分数混合运算应用题中相比较量之间的关系。三、借助线段图，培养分析能力 学习“分数混合运算（二）”时，教材安排的车展情境呈现了两种不同的解决问题的策略，在讨论两种算法之间的关系时，一方面了解算法之间的联系，另一方面体会乘法分配律在分数运算中同样适用。在情境中要侧重于引导学生理解“第二天的成交量比第一天增加了”是什么意思，处理教材时我并没有局限于仅就这道例题进行单一的画图分析理解题意，而是借助这一问题情境由铺垫到例题再到变式，设计了三道既有关联又有区别的习题，引导学生在画线段图的过程中理解题意，逐步培养他们的分析理解能力。课始，（1）第一天的成交量是65辆，第二天的成交量是第一天的，第

17、二天的成交量是多少？通过前面的训练，学生可以边读题边理解，画出相应的线段图：   第一天                         65辆   第二天               &#

18、160;           ？辆知道第一天的成交量作为标准量，也就是要算65的是多少，用乘法。（2）改变信息“第二天的成交量是第一天的”为“第二天的成交量比第一天增加了”，先引导学生分析得出第一天的成交量是标准量，画出线段，思考：如何标画出第二天的成交量？为什么要把第一天的成交量平均分成5份？多的是谁的，该怎样画图？      第一天         &#

19、160;                  65辆         比第一天增加了      第二天                

20、0;            ？辆交流反馈后再让学生看图说说“第二天的成交量比第一天增加了是什么意思？-也就是第二天的成交量在第一天的基础上增加了或第二天的成交量是第一天的（1+）=，看图思考如何列式计算，比较理解两种不同的解题方法，从而体会到画图是一种分析问题、解决问题的重要策略。（3）改第二条信息为“第二天的成交量比第一天少了”，求第二天的成交量。通过例题2的分析作图，学生已经明确两种量进行比较如何分步画图，这里可以让学生尝试同桌合作独立作图，教师巡视反馈，发现问题有针对性地加以指导

21、，交流时让学生借助线段图充分表述自己对题意的理解，提高分析问题的水平，也体现了由上易到难由放到半扶半放再到放的引导过程。最后再组织他们看图观察比较发现三道习题中的异同，进一步体会到在标准量已知的情况下，求标准量的一部分用乘法解决。 四、借助线段图，理解数量关系分数混合运算（三）是要求学生利用方程解决与分数运算有关的实际问题，能够找出题中隐含的等量关系，变逆向思维为顺向思维。教材中呈现的问题情境是：小刚家九月份用水12吨，比八月份节约了，八月份用水多少吨？这时让学生估一估八月份比九月份多还是少，大概是多少？交流后再尝试让学生自己先来画线段图，试着分析数量间的关系，通过前面内容的学习和产生的经验积

22、累，学生会觉得与“分数混合运算（二）”中有着不同的数量关系，沿着前面的思维路线思考：八月份的用水量是标准量，画出线段；九月份的用水量比八月份节约了也就是少了，是八月份用水量的，因此画图时可以把八月份的用水量平均分成7份，而相对应的九月份的用水量只是其中的6份。如图:                        ？吨八月份    

23、;                                    节约九月份              

24、;         12吨通过观察比较学生会发现八月份用水量多，从八月份用水量里减去它的就等于九月份的用水量12吨；或者结合画图过程说出九月份的用水量相当于八月份用水量的（1-）=，从而寻找出两者之间的等量关系，可以列方程解决或用除法计算。再改变信息为“九月份比八月份多用了”，放手让学生同桌合作画图、分析再进行全班交流，进一步各量间的等量关系。在练习中还可以设计相对应的两组习题如：（1）光明小学五年级有114人，六年级人数比五年级少，五年级有多少人?(2)光明小学六年级有95人，比五年级的人数少，五年级有多少人？通

25、过画图、分析、列式计算，学生会逐步发现这两道习题有着相同的等量关系，即：五年级人数-五年级的=六年级的人数，只不过是信息与问题正好相反，从而明确标准量已知时求标准量的几分之几用乘法，标准量未知时设标准量为X，求X的几分之几用乘法列方程。借助于线段图分析理解分数应用题中的数量关系，可以化抽象的语言为具体形象的图形，可以化难为易，帮助学生准备判断，可以化繁为简，发展学生的思维，将所学知识运用于解决生活中的实际问题，让学生在运用画图策略解决问题的过程中体验到数学学习的快乐。数学教学主要是数学思维活动的教学，小学教学应用题既是教学中的重点，又是教学中的难点。在不少的应用题中，文字的叙述比较抽象，数量关

26、系比较复杂，小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理不清头绪，理解起来觉得困难较大。如果教师一味的从文字面上去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的费时费力，口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半，久而久之，学生会产生乱做、怕做、不做的现象。即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题了。俗话说，授之以鱼，不如授之以渔。一个教师不仅要教给学生知识，更重要的是交给学生学习知识的方法。线段图在小学数学应用题教学中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会解决复杂关系的应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展，是教学中行之有效的教学方法。在人教版小

27、学第三册数学教科书中第一单元就开始学习认识线段，在第六单元就开始让学生涉及利用线段理解倍数之间的关系，以解决简单的应用题。那么下面就从几个方面谈谈我的看法一、应用线段图解答应用题的重要作用。1、通过借助线段图解题，可以化抽象的语言到具体、形象、直观图形。小学生年龄小，理解能力有限，而且社会经历少，给理解题意带来较大的困难。教师引导学生用线段图的形式表示题目中的数量关系，更直观、形象、具体。使学生一目了然。2、通过借助线段图解题，可以化难为易，判断准确，有的应用题数量关系比较复杂，学生难以理清。，借助线段图可以准确的找出数量间的对应关系，达到理清思路的目的这样就很容易解出要求的问题。大大提高了学

28、生解题的兴趣。3、通过借助线段图解题，可以化繁为简，更好地发展学生的思维。有些应用题数量关系较多，让学生感觉比较乱，很容易让学生摸不着头脑，知道了这里又忘了那里。无从下手解题，通过画线段图使学生能把题目中的数量关系全盘看清，大大提高了解题速度。4、通过借助线段图解题，可以化知识为能力。线段图不但使学生解答应用题不再困难，而且借助线段图可以对学生进行多种能力的培养。如一题多解能力的培养，根据线段图来编应用题，进行说话能力的培养，还可以直接根据线段图进行列式计算，这样学生认识到线段图的神奇力量，从而从潜意识里激发了他们画线段图的美观大方，机构合理的欲望，同时对学生进行审美观念、艺术能力的训练。二、

29、学生画线段能力的培养1、从简单题入手，从中低年级开始培养。有人认为用线段图帮助解题是高年级的事，是比较难的题才使用的方法。中低年级和比较简单的应用题不需要画线段图，这种认识是不适当的，甚至有的学生或老师也这样认为，这么容易的题不画图就能理解题意，把题做对、何苦去自找麻烦浪费时间呢？教师要讲清，从中低年级培养，从简单题入手，是培养学生画图能力的基础。如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的应用题，需要画线段图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力和准确性会大大降低，还会影响思维的发展。所以从小养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能如鱼得水，运用自如，轻

30、松愉快地解题。2、教师适时地指导、示范、点拨是培养学生画图能力的关键和重要环节。学生刚学习画线段图，不知道从哪儿下手，如何去画。教师的指点、示范尤为重要。（1）教师引导学生理解题意，找数量关系，一边说一边画让学生跟着画。（2）也可以教师示范画以后让学生照图重画一遍也还是有收获的。（3）让学生边画边说或小组合作讲解，教师对有困难的学生一定要给以耐心地指导。（4）学生掌握了一定的技能后，教师可以放手让学生自己去画。教师适时地点拨要让学生明白这样画的道理，可自己讲，也可分组合作讲。在画图理解题意的过程中一定让学生体会用图解题的直观形象，体会简洁、方便、易理解的特点，提高应用的自觉性、主动性。3、理解

31、题意，找准对应上的数量关系是培养学生画图并用图解题的重点。线段图不是盲目地画，随心所欲地画，教师要指导学生画图重点做到以下几点：（1）认真审题深入理解题意。所画的图要与题目中的条件相符合。（2）图中线段的长短要和数值的大小基本一致。比如长的线段标出小的数据而短的线段标出的数据就不适当了。其次图要画得美观、大方、结构合理。（3）要按照题目的叙述顺序，在图上标明条件。如：双线段并列图和多线段并列图一定要分清先画和后的顺序，并要找准数量的对应关系，明确所求的问题。4、要学会知识的拓展和迁移是线段图应用的难点。实际上，不但应用题可以应用线段图帮助分析题意，而且还可以迁移到其它类型的题总之，理清一个解题

32、思路，掌握一个解题方法，比做一百道题更重要。实践证明线段图具有直观性、形象性、实用性。如果学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题的能力将会得到很大的提高，对今后的学习生活将会有很大的帮助。“百分数的应用”延伸线段图一、背景北师大版数学六年级上册，第二章百分数的应用，在这一章里如果学生能画出线段图，那么学生就可以很容易的（理解）解决问题；在部分毕业考模拟试题中常有操作题“用线段图表示下列式子”，如：24÷（1+10%）等；常见的是“看图列式计算。其实这都是一类问题，但对于学生来说这些都是难点，又是重点，对于后进生来说对这类型的题目更是望而却步。面对诸多基础差的学生，要

33、解决这一问题，一要提高学的兴趣，二要化繁为简，自然歌诀式的提趣增效法便产生了。二、教学目标1、根据应用题画出线段图；看式子画出线段图；看线段图列出式子。（“多百分之几”或“少百分之几”）2、让学生学工具，用工具，培养对数学的兴趣。三、重点难点根据应用题画线段图，看式子画出线段图，看线段图列出式子。四、教学概要（一）根据应用题画线段图出示歌诀：线段是个贼，比谁先画谁，多画实，少画虚，数字问号不可少，不会难题先抓贼！例：食堂原计划烧煤4800千克，实际比计划节约了8%，实际烧煤多少千克？分析：比“计划”先画“计划”； “计划”已知，标上“4800”； “实际”未知标 “？”；节约（少）画虚线。计划：实际：？千克4800千克节约8%例：吴大妈养鹅240只，养的鸭比鹅多15%，吴大妈养鸭多少只？分析：比“鹅”，先画“鹅”； “鹅”已知，标上“240只”； “鸭”未知，标问号“？”； 比单位“1”多，画实线。鹅：鸭：？只240只多15%（二）根据式子画线段图例：用线段图表示下列式子24÷（1+10%） 24×（1-10%）出示歌诀：一长一短， 同类问长，× ； ÷ 异类问短，× ； ÷