弹性力学试题参考答案

1、弹性力学试题参考答案（ 答题时间：100分钟）、填空题（每小题4分）1 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2.一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程 ,相容方程（变形协调条件） 。3等截面直杆扭转问题中，2 I I dxdy = M的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。4平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。5 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：1匚 j ,j Xi = 0 ， j = 2 （ui，ju j，i ）。、简述题（每小题6分）1 试简述力学中的圣维

2、南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但 静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力 所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2 ）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写岀其应力函数；：的分离变量形式题二（2）图(a)书(x, y) = ax2 + bxy + cy2 ®(r,8) =r2f (8)(b)书(x, y) = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3F(re)=r3f

3、®3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比 已知。试求薄板面积的改变量.S。题二（3 ）图.。由；二首。- ")q 得,二丨=；.a2b2J a2 b2(DE设当各边界受均布压力 q时，两力作用点的相对位移为设板在力P作用下的面积改变为.IS,由功的互等定理有:将厶I代入得:显然，S与板的形状无关，仅与 E、I有关。4图示曲杆，在r =b边界上作用有均布拉应力 q,在自由端作用有水平集中力 P。试写出其边界条件(除固定端外)题二(4)图 G r r=b =q'"日占=0 ；(2) CT r=0, T J =

4、01 rP r =abb(3) a 二屮r 二Pcosra rr =Psin5.试简述拉甫Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin )位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：(1) 变求多个位移函数u(x, y),v(x, y), w(x, y)或UrURujr门)为求一些特殊函数，如调和函数、重调 和函数。(2) 变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受

5、有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距d很小试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为即=Asin 2 - Bv ）（13 分）解:题三（1 ）图d很小，.M =Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。汽cr将应力函数（r,r）代入，可求得应力分量:1 二.丄二: r ；:r r2 r1 竺=A（2Acos2 日 +B） r边界条件：（1）；丁 二£ = 0,"二并-0: - 0, m 1 0"r -0- r 二0- r M" r -0代入应力分量式，有A（2A B） =0 或 2A B =0（

6、 1）r（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：°,5印 和M = Pd由该脱离体的平衡，得Jfdr M -0_2 -将-r 代入并积分，有二 12一V（2Acos2寸 B）r2d M =0 一2 rAsin2日 +B&+M =0 得 B兀 +M =0（2）2联立式（1 ）、（ 2）求得：B = _M =_Pd A=Pd二 二 2 二代入应力分量式，得I,；十 2Pd sin2.结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力Cx由材料力学公式给岀，试由平衡微分方程求岀.xy ,

7、 y，(12 分)rrrTTlk/07 x/ /并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。题三（2 ）图解：（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为Mq。613x ，截面惯性矩为h3I =，由材料力学计算公式有12MyI2q° 3xy(1)（2）由平衡微分方程求xycy-"x其中，X =0,Y =0。将式（1）代入式（2），有X =0平衡微分方程:y lh3积分上式，得xy3q°2 2fi(x)利用边界条件:J y/=0，有3q°4lh3 %2 2h f'x) =0xy3q0 2/ 2 眉I'T2)(4)将式（4）代入式（3),有积分得姿

8、 x(y2lh31h)6q°x(y2lh34h)6q0xy -!h2yr f2(x)lh 34利用边界条件:得:影 x(£lh3) f2(x)十 x 晋x(缶-8h3) f2(x)=0由第二式，得f2（X）-q?x将其代入第一式，得21qorx自然成立。将f 2（X）代入匚y的表达式，有ay =6q°lh33x-4h2y)-所求应力分量的结果：(My3 L-x _-_2q° 3 3 x yIlh3(5)3qox(y1 h2)_1h )(6)1h2y)校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）:xdy =0，hh - xy 一2代入后可见：自然

9、满足。（2）梁右端的边界（h2_hh - xy 2'xNyhV lh32qox3lh3 (yx4h2dyqolx4xjdy 二2q°x2lh3 y2qol3lh3qol可见，所有边界条件均满足。检验应力分量cx, .xyy是否满足应力相容方程:常体力下的应力相容方程为2厂：2(匚 x . ；y)=(七七)(；x . ；y) =o dxcy将应力分量二x, xyy式（6）代入应力相容方程，有-2C12qo.:x2lh3 xy，：2（；-2-y12qoxyih3-2C2J)x24qo 十 olh3显然，应力分量；x, xy,；y不满足应力相容方程,因而式（6）并不是该该问题的正确

10、解。3端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：（1） 构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w（x）；（2） 用最小势能原理或 Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。（13 分）题二（3 )图解：两种形式的梁挠度试函数可取为2 2w(x) = x (AA2x A3x )多项式函数形式此时有:w(x) = Xnw(x)八珞(1 - cosml2m 二 x三角函数形式2 2(A + A2 x + 乓 x +')-022w"(x) = 2x(A + A2x + A3x

11、+)+ x (A2 + A +)x厂0nw(x)=為 Am(1-cos )m£l2mx=0x=0w(x)八 Amsin2m xm 4=0x=0即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为lEl/ .2 、 d w2idx丿1dxqw(x)dx ； k W(l) fn 二2取：w(x) = A(x2，有2d w "22 -2A1，w(l) = Al2 dx代入总势能计算式，有1n 二2El (2AJ2dx - o'qx2A1dx1 2 2 + 1k(A1I )2EIlA123qA312 4H l3 kA；l424EIlA1 kA1lql 03qol3A1 一 3(4EII k

12、l4)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为3qolw(x“3(4E, QX24 已知受力物体内某一点的应力分量为:；x 二0，- y =2MPa，二z =1MPa， x1MPa， y 0，第 zx = 2MPa（12 分）试求经过该点的平面 x，3y，z=1 上的正应力解：由平面方程x 3y z=1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为'J2321211 1 '.12 32 12m=3311，°1232 121.11012210 ，& = < m1111-N二L丄匸1 1V1101】122卩0UJ1、 13忖丄11亠竺=2.64 MPa11 11弹性力学

13、课程考试试卷题号-一-一三四五总分得分考试时间：120分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：2007年4月28日学号:姓名:工程领域:建筑与土木工程、简述题（40分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指岀两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3. 写岀直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4. 写岀弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指岀他们与弹性力学基本方程的等价性？7. 试判断下列应变场是否为可能的应变

14、场？（需写岀判断过程）；x = C（x y ）， ;y - Cy ， xy - 2Cxy。8. 试写岀应力边界条件：（1）（ a）图用极坐标形式写出;（2）（ b ）图用直角坐标形式写出(b )图（a）图、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：x = °，二y = 2a，匚z = a , . xy = a , . yz = 0 , . zx = 2a。试求作用在过此点的平面 x 3y z=1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。I，高为h，在左端面受力 P作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试取应力函数三、计算题（15分）图示矩形截面悬臂梁，长为即-Ax

15、y3 Bxy）四、计算题（15 分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围（试取应力函数=Asin 2二-五、计算题（15分）如图所示的悬臂梁，其跨度为 I。抗弯刚度为EI，在自由端受集中力 P作用。试用最小势能原理求最大挠度 兀x（设梁的挠度曲线 w = A（1 - cos ）2l弹性力学试题（答题时间：120分钟）班级姓名学号题号-一-二二二总分(1)(2)(3)(4)得分、填空题（每小题4分）1 用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足： 。2 弹性多连体问题的应力分量应满足 , ,

16、 , 。空间问题。3. 拉甫（Love）位移函数法适用 空间问题；伽辽金（Galerkin ）位移函数法适用于4. 圣维南原理的基本要点有 , , 。5有限差分法的基本思想为： , 。、简述题（每小题5分）1 试比较两类平面问题的特点，并给岀由平面应力到平面应变问题的转换关系2试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。+巧=2妇(z)+证)】=4Re叫(z) y - j +2ijy =2 凶畀z) +叫(z)1_A m曙=-二一送(Xk +iYQln(z-zj +咋8兀k壬3 ii m- 1(z) 3(Xk

17、 -iYk)ln(z-zQ - 1 .(z)8二心式中：(z)/- 1 (z)均为解析函数；：1 .(z),t 1.(z)均为单值解析函数。3 试列写图示半无限平面问题的边界条件10题二（3）图4图示弹性薄板，作用一对拉力 P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量S与板的形状无关，仅与材料的弹性模量E、泊松比.1、两力P作用点间的距离I有关。题二（4）图5 下面给岀平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。；x = C（x y ）, ;y = Cy , xy = 2Cxy。6等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数（x, y）应满足：i 2= -2GK式中：G为剪切弹性模量；K为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义三、计算题q。已知其应力函数为:（13 分）1.图示无限大薄板，在夹角为 90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力= r2（Acos2v B）不计体力，试求其应力分量。2 图示矩形截面杆，长为题三（1 ）图l，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力N,偏心距为e,不计杆的体力。试用应力函数Ay3 By2求杆