2017-2018年浙江省无锡市锡山区天一中学高三(上)12月段数学试卷答案解析

1、2017-2018年江苏省无锡市锡山区大一中学高三 （上）12月段数学试卷答案解析 一、填空题（共14题）1,已知集合 A=x|0WxW 2, B= x|-1vxW1,则 AAB= x|Qx 1.【解答】 解：.集合 A=x|0WxW2, B = x|- 1x 1, .An B= x|0 x 1.故答案为：x|0W x 1.2.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽 20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是900人.【解答】解：二.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二

2、年级要抽取 45- 20- 10= 15 该校高二年级共有学生 300人，每个个体被抽到的概率是 工L=L300 20.该校学生总数是普=900, 岗故答案为：900.3 .已知复数z满足（1-i） z=3+i,则复数z的模为亚【解答】解：复数z满足（1-i） z= 3+i,则 z=&L,1-i所以复数z的模为|7|34i I -./io H|z|=/2, c= V3,所以该双曲线的离心率 e=-故答案为近.25.袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为0.6 .【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄

3、球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=r2= 10,这2只球颜色不同包含的基本事件个数m= cC1=6，这2只球颜色不同的概率为p=!-=o专.n 10 故答案为：0.6.a= 2X2+1 =5;第三次循环,i=3, a=3X5+1 = 16;第四次循环，i=4, a= 4X 16+1 =6550,退出循环，此时输出的值为4故答案为4:7.将函数y=）的图象向左平移 4 （。中+不）个单位弧，所得函数图象关于直线 二对称,则（j）= TT .48 【解答】解：将函数了=5式门（2x。）的图象向左平移 4（00卷）个单位弧，可得 y=5sin (2x+2 0 时，=，则Mf (1口 ggy

4、)的值为2-【解答】解：定义在R上的奇函数f(x),当x0时，f 3)=4可得f (log33 lognTr 3f (log3T7)= 3=-六,ril.I即有 f (- -) = - fL_i故答案为：-1.3|+1)=一AB = AC=3, cos/ BAC=9, DC=2BD,则AD?EC的值为_二210.如图，在 ABC中,C【解答】解：:拓=正-菽标? BC= ( aE+BD)?BC,=(AB+= BC)病,3=(A&+在AC-3=（ZS+豆）（薮-靛）,33/h 2 1 2、MAC+AC _2AB)，=(3X 3X耳32- 2X32), 33=2,故答案为：-2.Y（x0）11.已

5、知函数f（5t）=,0,若函数g（X）=f（X）、x+2 式耳 0得1 - x0得0Wxv 1,此时为增函数,由f （ x） v 0得1 - xv 0得x1,此时为减函数，即当 x= 1时，函数f （x）取得极大值f （1）=工，Q作出函数f （x）的图象如图，要使f （x） = k有三个根,则 0vkv即实数k的取值范围是（0, -1）,故答案为：（0，1）,12.已知AC、BD为圆O: x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为 M (1,陋)，则四边形ABCD的面积的最大值为5 .【解答】解：如图连接OA、OD作OEXACOF XBD垂足分别为 E、F. ACL BD，四边形OEMF为矩形

6、已知 OA = OC = 2 OM = 3,设圆心。到AC、BD的距离分别为di、d2,则 di2+d22=OM2=3.四边形 ABCD 的面积为：s= ?AC| (|BM|+|MD|),从而：S=yUc|-|5D| 刊 d；) k2,解得：2-26402+2 叵，实数k的最大值为2+2也，当k+2 w 0时，显然此时最大值不会超过-2,综上所述：实数k的最大值为2+2J3,故答案为：2+2二二、解答题（共6题，共90分）15如图，在直三棱柱 ABC-AlBlCl中，AC=BC,点M为棱AlBl的中点.求证：（1） AB/平面 AiBiC；(2)平面 CiCM,平面 AiBiC.【解答】 证明

7、：(i) . AAi / BBi, AAi=BBi,，四边形 AAiBiB是平行四边形，AB/ AiBi,又 AB?平面 AiBiC, AiBi?平面 AiBiC, .AB/平面 AiBiC.(2)由(i)证明同理可知 AC=AiCi, BC=BiCi, . AB=BC, AiBi = BiCi,- M是AiBi的中点，.CiMXAiBi,.CCi,平面 AiBiCi, BiAi?平面 AiBiCi,.CCiXBiAi,又 CCinCiM= Ci,，BiAi,平面 CiCM ,又 BiAi?平面 AiBiCi,，平面ClCML平面AlBlC.16.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为

8、a, b, c,且a .cosC=cos (60。- Z BAC)x?法=巴辰17.将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径;(2)在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值.+c2=b2- ac.(1)求B的大小;(2)设/ BAC的平分线 AD交BC于D, AD = 2。，BD= 1 ,求cosC的值.【解答】 解：(1)在 ABC 中，= a2+c2=b2ac,即 a2+c2- b2= - ac.cosB =2ac二，BC (0,兀)，可得 B

9、=2(2)在4ABD中，由正弦定理可得:jlsinZBAD ?解得 sin / BAD =cos/ BAC = cos2/ BAD = 1 - 2sin2/ BAD = 1 - X 2X .sin/ BAC =V1-cos2ZBAC =1-16=叵816甲【解答】解：(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为l, r,(4分)f(6分)r= 23,解得 一2072-21 23zyx 乙 xyxzyxyx（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为x,宽为v,高为z,rk+z=1 ?则2y+2z-l ,rz=l-x 解得*2(8分)1一彳.工V )* 1 一工，西 1 .(10则长方体的体积： V=xyw=x

10、(分）x J ,7-+-77+T V*1)V (x) +0-V (x) / 极大值z Zb z ti zb所以歹(x)=-3x2+3x1-令 V (x) =0 得,1 ,V3或（舍去）.x 2 6列表：（12分）(14 分)答：(i)圆锥的母线长及底面半径分别为 且2工分米，型色分米.| 2323|(2)长方体体积的最大值为 色旦立方分米.(16分)362218.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： 3金_ = 1 (ab0)的左顶点为 A (-包之b22, 0),离心率为二,过点A的直线l与椭圆E交于另一点B,点C为y轴上的一点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若 ABC是以点C为直角顶

11、点的等腰直角三角形，求直线 l的方程.| a=2【解答】(1)由题意可得： u 1，从而有b2=a2-c2= 3, a 222所以椭圆E的标准方程为：2一区二(4分)4322(2)设直线l的方程为y=k (x+2),代入为：岂一区二1，43 x得（3+4k2） x2+16k2x+16k2- 12=0因为x= - 2为该方程的一个根，解得12k3+4 k 2（6分）设 C （xo, yo）,由 kAC?kBC= - 1 ,得:12ky0_3Mk2 Y2 6-gJ3+4k2即：（3+4k2） yo2 - 12kyo+ （16k2 -12） = 0 （10 分）由 AC=BC,即 AC2=BC2,得

12、 4+yo2=（生辿可）2+ （yo-以J） 2,3+4 k 23+4 k 25I即 4=+ + (12k)2 2妣,升以 2 妹 23.4k2 即 4 (3+4k2) 2= (68k2) 2+144k2 - 24 (3+4k2) y0 ,所以 k=0或yo= -2上, 3+4k2|当k=0时，直线l的方程为y=0,当 yo- -2k 时,代入得 i6k4+7k2-9=0,解得 k= 3, 3+4 k 24此时直线i的方程为丫=弓(x+2)综上，直线l的方程为y=0, y=1- (x+2)19 .已知函数f (x) = inx,宫(及)=电鱼二丈，aCR.5L+1(1)求函数F (x) = (

13、x+1) f (x)的单调区间；(2)若不等式f (x) g (x)对任意的xC (1, +8)恒成立，求a的取值范围;(3)若 mn0,且满足 近JmTe ,求证：irn4+2/j.irHn nm m-n【解答】解：(1)由题意得，F (x) = ( x+1) inx,定义域为(0, +8),令 h (x) =0,则 x= 1当 0vxv 1 时，h (x) 1时，h (x) 0, h (x)单调递增；l h (x) min=h (1) =20,即当 xC (0, +8), F (x) 0 恒成立, .F (x)的单调递增区间为(0, +8),无单调递减区间.令也-屋上 1口，xCC,+oo

14、),(l+l)2rtx+1 2令 G (x) =0,贝U x2+ (2 2a) x+1 = 0,其中= ( 2 2a) 2- 4=4a2- 8a,当4a2-8a 0恒成立，所以 G (x)在(1, +8)上单调递增，所以G (x) G (1) = 0,满足题意,当a 0,工L0,所以G (x) 0恒成立，满Ml足题意,当a2时，设方程x2+( 2 - 2a)x+1 = 0的两根为x ,x2(x1 x2),则，X1VlVX2, .,.当 xC (1, X2)时，G(X) 0,G (x)在(1, X2)上单调递减,?X0 (1, x2),有G (x0)0恒成立相矛盾，不满足题意.综上所述：a 1)

15、,所以x+1In 直2 ,日十1二1a2,m 4 口-1n-/-_jVnjn= j-(当且仅当m = n时取等号)，m n.,日即(7户-24?20，。十加，20 .正项数列 a1, a2,，am (m4, m CN )满足：a1, a2, a3,，ak 1, ak ( kvm, kCN )是公差为d的等差数列，a1, am, am-1,，ak+1, ak是公比为2的等比数列.(1)若a1 = d = 2, k= 8,求数列a1, a2,，am的所有项的和 Sm；(2)若 a1 = d = 2, m2016,求 m 的最大值;(3)是否存在正整数 k,满足 a1+a2+ak-1+ak= 3 (

16、ak+1+ak+2+am-1+am) ?若存在,求出k值；若不存在，请说明理由.【解答】解:(1)由题意可得，首项和公差为2的等差数列的通项公式为 2n,则 ak= 16,因此数列a1,a2,，am为 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 8, 4 共 10 个数,此时m= 10,Sm= 84;(2) ai,a2,a3,，ak1,ak(kv m, kCN*)是首项为2,公差为2的等差数列,.ak= 2k.而ai, am, am-1,，ak+i, ak是公比为2的等比数列,.,ak= 2m+2 k,因此 2k= 2m+2 k,. k?2k= 2m+1要使m最大，则k必须最大.又kvmj = - 1+-,kv 6,