1.4.2运用立体几何中的向量方法解决垂直问题同步练习

1、1.4.2运用立体几何中的向量方法解决垂直问题同步练习一、单选题1. 若直线1的方向向量为a=(-l, 0, -2),平而a的法向量为u=(4, 0, 8),则()A. laB. 1丄aC. luaD. 1 与 a 斜交【答案】B【解析】因为所以u/a,即“丄a,故/丄a.故选B2. 在正方体ABCD-ACD中，若E为AG的中点，则直线CE垂直于()A. ACB. BDC. ADD. A,A【答案】B【解析】如图，直线CE垂宜于直线BD，【答案】B事实上,VACi为正方体,AAiBiCiDi为正方形,连结BiDi,又TE为为AQ的中点,:.EBxDi.:.B1D丄G£ CC丄而 AB

2、CD *.CCi丄B1D1,又 CCCCE= Cf *.BD丄而 CCE9 而 CEu面 CCE直线CE垂直于直线BE 故选B3在菱形ABCD中，若M是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A. PA AB=0B. PC B5=O C PC4B=0 D丙CD=0【答案】C【解析】刊丄平而ABCD. BD丄用又TAC丄BD :.PC丄BD,故选项B正确，选项A和D显然成立故选C.4.平而a的法向量力=(2,-2,2),平而0的法向量0 = (121),则下列命题正确的是()A. a、卩平行 B. a、卩垂直 C. a、卩重合 D. a、0不垂直【解析】平而Q的法向量厉=(2-2,2

3、),平而0的法向量0 = (121),因为彌=2-4+2 = 0, 所以两个平而垂直.故选3.5.已知平而&内有一个点A(2,-l,2), a的一个法向疑为H =(3,1,2),则下列点P中，在平而&内的是 ( )3B1,3迈【答案】B【解析】对于选项A, PA=(h 0, 1), PA.n =5,所以用与】不垂直，排除A：同理可排除C, D.对于选项B,有莎=1,4*),所以PA-n = 0因此B项正确.故选B6.在四棱锥/MBCD中，底fUABCD是平行四边形，丽=(2,4), AD=(4 2, 0),丽=(2, -1),则用与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不

4、垂直D.成60。角【答案】B【解析】因为殛丽= 2x(l) + (l)x2 + (-4)x(l)=0,所以而丄丽；因为丽丽=4x(l) + 2x2 + 0x(1)=0,所以而丄丽，又丽cAD = A所以AP丄故选B.7.若平而Z0的法向量分别为a = (_124)= (x,l,2),并且a丄0,则兀的值为()A. 10B 一10【答案】B【解析】.a丄0,平而Z0的法向量相互垂直，小=(一1,2,4)(兀一1,一2)= -兀一2-8 = 0兀=一10,故选B已知平面a的法向量为(4,3,7),若直线/丄平而a,则直线/的方向向量可以为()A.(8614)B. (8, 6,14)25C.(4,3

5、D.【解析】因为直线/丄平而a,故直线/的方向向量与平面&的法向量平行，因为(&-6,14) = -2(4,3,-7),故选 B.9. 已知0为直线/的方向向量，斤，石分別为平而0的法向量(久0不重合)那么下列说法中：q/?2Oo7/0；耳丄/?2 <=>a丄0；V/qU>/a：丄qO/丄a正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】平而a, 0不重合；-平而0的法向疑平行(垂直)等价于平而Q, 0平行(垂直)：正确；直线I的方向向量平行(垂直)于平面a的法向量等价于直线/垂直(平行)于平而a :都错误.故选B.10. 若直线/的一个

6、方向向量为方=(2,5,7),平而a的一个法向量为7=(1,1,-1),则()A. l/aB. /丄aC. luaD. A、C均有可能【答案】D【解析】已知直线/的一个方向向量为方=(2,5,7),平而a的一个法向量为7 = (1,1,-1),所以方G = lx2 + lx5 + (l)x7 = 0,所以a±u，所以/a或/ua,故选 D11. 如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD, PD/QA, QA=AB=-PD,则平而PQC与平而DC02的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【答案】B【解析】由已知可得PD丄DC, PD丄DA, DCLD

7、A,如图，以£>为原点，建立空间直角坐标系, 设 QA=i,则 £)(0, 0, 0), C(0, 0, 1), 0(1, 1, 0), P(0, 2, 0).故 DQ=(1, 1, 0), DC=(0, 0, 1), PQ=(1, -1, 0).故DQTQ =0, DCPQ=0,即西丄页，西丄龙，故P0丄平而DCQ,平而PQC丄平WiDCQ.故选B12. 如图，任三棱锥 P-ABC 中，P4 丄平而 ABC, ZABC = 90°, ZBAC = 60% PA = AB = 2-以点 B为原点，分别以岚，BA，丽的方向为尢儿z轴的正方向，建立空间直角坐标系

8、，设平面丹B和PBC的法向量分别为不和方，则下而选项中正确的是()A点P的坐标为(0,0,2)C. 齐可能为(0,-2,2)【答案】CB. PC = (4,0,-2)D. coslm.n) >0【解析】建立空间直角坐标系如图:由题意可得3(0,0,0), 4(020), C(2jJ,0,0), P(0,2,2), 所以PC =(2>/3,-2,-2),丽=(0,2,2).设 n =(X, y, z),则*尬 2) 2z-0,取 z = 2，可得”=(0,-2,2). 2z + 2y = 0因为AB丄BC, PA丄BC,所以BC丄平面用B,所以平面PBC丄平面刊B,所以岚丄齐，所以c

9、os丙"=0.综上所述，A, B, D错，C正确故选C二、填空题13. 若直线h的方向向戢为ui=(l, 3, 2),直线12上有两点A(l, 0, 1), B(2, -1, 2),则两直线的位置关系是【答案】垂直【解析】因为入=(1，-1，1),又Ui-AB=(H 3, 2)-(1, -1, 1)=0,所以两直线位置关系为垂直.故填垂直14. 已知 A(0, 1, 0), B(-l, 0, -1), C(2, 1, 1),点 P(x, 0, z),若用丄平而 ABC,则点 P 的坐标为.【答案】(-1, 0, 2)【解析】由题意得p4=(-x, 1,-z),而-1)，疋=(2,0,

10、 1),由顾丄而，得用.而mT+eO,由丙丄疋，得P不AC=-2x-z=0,解得rV = _t故点P的坐标为(-1, 0, 2).则填(-1, 0, 2)Z = 2.15 .如图，矩形ABCD中,AB = ,BC = a, PA丄平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足P0丄D0,则d的值等于【答案】2【解析】连接AQ,取AD的中点O,连接OQ.用丄平而ABCD,用丄DQ, PQ丄DQ, :.DQ丄平而用0,所以D0丄AQ.点。在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点0满足P0丄DQ, BC与圆0相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛 盾.）：.OQ±BC. -AD/

11、BC. ：.OQ=AB=9 :.BC=AD=2.即 “=2.故填 2.的中点，点£在棱心】上，要使CE丄平而BiDE,则16若正三棱锥P-ABC侧而互相垂直，则棱锥的高与底而边长之比为【答案冲【解析】设髙为力，底边长为1.建立如图所示的空间直角坐标系,则点 P(0, 05 A向量分别为“,3丄,h,PA = f-,PB =,PC =a丄h1 6 2 J13 丿、62；"2丿,得平而刊B, B4C的法-3,汀则 3-9+蓉。,解得吟故髙与底而边长之比为孚17.如图，在直三棱柱ABCABC中，底面是以ZABC为直角的等腰三角形，AC=2a. BBi=3a, D是AQ【答案】a或

12、加【解析】建立如图所示的坐标系，则3(0, 0. 3“)，D设点 E 的坐标为(0, z),则 CE=(y/2ch 心 2), Bg=(< 41a >/2a ，亍故 CEBD故要使C£丄平而BDE,则需CE丄即CEBiE=S故2+r-3az=O,解得z=“或2a故填"或2a18.如图，正四棱柱ABCD-AC的底而边长为4,记BClClBlC = E9若AE丄BF ,则此棱柱的体积为【答案】322【解析】建立如图所示空间直角坐标系,设 DD严 h ,又 AB = BC = 4,则 4(4,0,0),2,4, L B(4,4,0), F(2,2,),4-8= 0 ,

13、即 h = 2>/T 2.血=(一2,4,勺，BF = (-2,-2Ji), -AE丄BF,二此棱柱的体积为4x4x272=322故填32葩.三. 解答题19.如图，任四棱锥 PJBCD 中，刊丄平而 ABCD. AB=4, BC=3, AD=5, ZDAB=ZABC=90 E 是 CD 的中点.求证：CD丄平而用E.【解析】证明：如图，以人为坐标原点，AB. AD9 AP所在直线分別为x轴.y轴、z轴建立空间直角坐标系.设 PA=h9 则 A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 3, 0), D(0, 5, 0), E(2, 4, 0), P(0, 0, h).易知C

14、D=(-4 2, °), AE=( 4, °), 丽no, 0, ”)丽盘=8+8十0=0, 丽丽=o, :.CDLAE. CD丄AP.9：APOE=A9 CD丄平而用E20.在正方体ABCD-AD,中，E是棱BC的中点，试在棱CG上求一点P,使得平而AP丄平面C、DE.【解析】如图，以D为原点，DA, DC, DD所在宜线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1，P(0, 1, “)，则川(1, 0, 1), Bi(l, 1, 1),耳丄,1,0、Ci(0, 1, 1),人应=(0,It 0),1, 01), DE =设平而AtBtP的一个法向量为&

15、#171;1=(, yj, z)则<11两=0,亠iiA/ = 0>?1 = 0，sxl + yl+(aA)zl =0.令 Zi=l > 得 xi=r/-l > ./|=(t；-l, 0» 1).设平ffi CDE的一个法向量为Ii2=(x2, yi, Z2),贝Ij<nDE = 0,y2 + z2 =0,nDC =0令 >'2= 1 ,得 X2=-2, Z2= 1 , - H2=(2 9 19 -1).丁平而 ABP丄平而 CDE, “丄“2，即 ni-«2=0- A-2(tz-1 )+0+(-1 )=0 .a=_ t 故 P

16、0J,2 I 2)21.如图，已知直三棱柱ABCAbCi中，AC丄BC, D为AB的中点，AC=BC=BB求证：(1) BCi丄Ab(2) BCx/平面 CAiD.【解析】如图，以。点为原点，CiAi, Cifii, CiC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系.设A殆2,0), BKO, 2, 0),Ci(O, 0, 0), D(l, 1, 2).(1)由于BCi=(°2 -2),屈广心，2, -2),所以因此EQ 丄故 BG丄A5(2)取 AiC 的中点 E,连接 由于 E(l, 0, 1),所以ED=(0, 1, 1).又丘！=(0,2,2),所以£)= BCj又ED和BCi不共线，所以ED/BCi又 £>Eu平面 CADt BC10平面 CAD,故BC平而CA.D.22.在正方体ABCD-AC.D,中，E, F分别是CD的中点.(1) 证明：平面AED丄平而A,FD1;(2) 在AE上求一点M,使得旳M丄平面ZME.【解析】（1）证明：建立空间直角坐标系D-to,不妨设正方体的棱长为2,则 4(2, 0, 0), E(2, 2,设平而AED的法向虽:为?!=（.¥!, y】，Z1）,则q D4 =(旺,X,石)(2,0,0) = 0,“DE = (Xj, x