相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

1、相似三角形一、知识概述1. 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3. 相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.4. 相似三角形的基本性质 相似三角形的对应边成比例、对应角相等. 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方温馨提示： 全等三角形一定是相似三角形，其相似比 全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.k=1 .所以全等三角形是相似三角形的特例.其

2、区别在于相似比具有顺序性.例如 ABC sAVBQ的对应边的比，即相似比为，则 ABCV-1的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k =1 .相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大这一点借助相似三角形可观察得出.5. 相似三角形的判定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似； 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：(1 )判定三角形相似的几条思路： 条件中若有平行，可采用判定定理1;2时，一对对应角相等必 条件中若有一对角相等(包括隐含的公共

3、角或对顶角 )，可再找一对角相等或找夹边对应成比例; 条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利 用判定定理 须是成比例两边的夹角对应相等.条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。(2) 在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用， 培养综合运用知识的能力。(3) 运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题， 要注意培养当数学建模的思想。6. 位似 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心

4、，这时的相似比又称为位似比.因此，位似图形一定是相似图形，但 相似图形不一定是位似图形. 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注意：(1)位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.(2)两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法：(1) 相似三角形有

5、公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2) 相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结形成一整套完整的判定方法.如：(1) 平行线型”目似三角形，基本图形见上节图. 见平行，想相似”是解这类

6、题的基本思路；(2) 相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶 角.见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)旋转型”相似三角形，如图.若图中 /1 = Z2, ZB= ZD(或ZC= ZE)，贝U ADE s/abc，该图可看成把第一个图中的 ADE绕点旋转某一角度而形成的.温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线.以上平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，相交线型”识较难,解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.相似三角形专题分类练解题型一：线段的比

7、、黄金分割8.在比例尺 1 : 10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是(A. 200cmB . 200dm.200mD . 200km9.若-二-.则下列各式中不正确的是(A.B.D.+ 2v 1110.52，则;已知x ，则一 2y 3;已知xyz，且 3y 2z 6，则356o11.若 5x 4y 0 且 xy5.2和8的比例中项是;线段2 cm与8 cm的比例中项为6.平行四边形 ABCD中,AB=28 , E、F是对角线AC上的两点，且 AE=EF=FC , DE交AB于点 M, MF交CD于点OE6.已知 a : b : c = 2 : 3 : 4，且 2a + 3b -

8、2c = 10,求 a, b , c 的值。题型二：相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为3 : 4,贝陀们的周 2.已知 ABC sQEF，且 AB : DE=1 : 2，则 ABC的面积与 DEF的面积之比为3. 如图,DE伯C, AD : BD=2 : 3，则ADE的面积：四边形 DBCE的面积=4. 如图，已知等边三角形ABC的边长2, DE是它的中位线，则下面四个结论(1) DE=1 , ( 2) CDEs CAB , (3) CDE的面积与 CAB的面积之比为：4.其中正确的有:5.如图，在梯形 ABCD中,AD伯C, ZADE与BCE面积之比为：9，那么 ADE与厶ABE面积

9、之比为7. 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点， DE交AC于点F, AC , DE把平行四边形 ABCD分成的S4其中正确的结论是)CBD)SiS2S1VS2CBDE的面积之比为)C.4A.12B.19D.234相交于点)OC.4A.21B.239D.54D3BBAMBFDE /BCCD 禾口 BE13.如图，在正方形14.如图，已知第9题第8题17.已知如图，正方形5的正方形按图第7题2个小正方形，如果它们的面积分别是12.如图，大正方形中有第10题第11题在AB边上，且EDEFG , G、F 在S1、S2 ,那么S、S2的大小关系是BC上，D、E分别在F面结论：只有一对相似

10、三角形S COB15.已知三个边册2, 3S DOE16.如图在BC中，矩形AF IDE于G交BC于F,则EG的面积与四边形 BEGFS1、S2的大小关系不确定AB、AC 上，AH 丄BC 交 DE 于 M, DG : DEF C4排列，则图中阴影部分的面积为ABCD中，点A .A.S1 > S2四部分的面积分别为S1 , S2, S3AH = 8 cm，求矩形的各边长 EF: ED=1 : 2;S1: S2： S3： S4=1 : 2: 4 : 5EB = 2 : 1ABCD中，AB = 2, E是 BC的中点， DF丄AE , F为垂足，求DFA的面积S和四边形1GH变式图=4 :

11、9，贝U AE : EC 为=1 : 2, BC = 12 cmCDFE的面积S2。题型三：相似的有关证明18. 已知：如图，梯形ABCD中，AB /DC, E是AB的中点，直线 ED分别与籟 AC和BC的延长线交于 MN点求证：MD : ME = ND : NE19. 如图，D 在 AB 上，且 DE /BC，交 AC 于 E, F 在 AD 上，且 AD2 AF AB，求证： AEF KCD .20. 如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作AE 1BC ,垂足为 E,连接E, F为线段E上一点，且/ AFE= /B(1) 求证： ADFs/DEC ;Jf(2) 若 AB=8 , AD=

12、6 , AF=4 ，求 AE 的长.题型四：函数与相似5.3 如图，正方形 ABCD中，AB = 1 , G为DC中点,E为BC上任一点,(E点与点 B、点C不重合)iBE =,过E作GA平行线交 AB于F,设FEC面为,写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围。5.4如图，ABCD是矩形,AH = 2 , HD = 4 ,DE = 2 , EC = 1 , F 是 BC 上任与点B、点C不重合)，过 F作EH的平行线交 AB于G,设BF为 ，四边形 HGFE面积为 ，写出 与的函数关系式，并指出自变量的取值范围21.如图，有一块直角梯形铁皮ABCD , AD = 3cm , BC = 6c

13、m , CD = 4cm，现要截出矩形EFCG , ( E 点在 AB 上，与点A、点B不重合)，设BE =，矩形EFCG周长为(1)写出 与的函数关系式，并指出自变量取值范围；(2)取何值，矩形 EFCG面积等于直角梯形ABCD面积的AD22.如图，已知抛物线xC(-2 , 6) . (1)求经过 A、B、C三点的抛0)、2y = - 1与x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C. (1 )求A、B、C三点的坐 标.(2)过点A作AP / CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP的面积. 过M作MG丄x轴于点 G,使以 A、M G三点为顶点的三角形与 否则，请说明理由.23.如图，已知 AB

14、C的三个顶点坐标分别为A(-4 , 0)、B(1 ,ycAoB图CD=6则E的长为)C.6A.4B.5D.7OO的切线AOCABAE 1DC的延长AD的延长线于点题型五、圆与相似为顶点的三角形与 ABC相似吗？请说明理由(1)求证：DE是OO为直角边C上一点，以 O为圆心OC为半径的圆恰好与余边AB相切25.如图，AB为OO O的切线BF交(2)若BE=1 , BD=3,求O O的半径及图中阴影部分的面积S5,求BF的长。F。是弧BC的中点，DE 1AC交AC的延长线于 E的直径，D27.如图O O是厶ABC外接圆， AB是直径， D是AB延长线上一点物线解析式； (2)设直线 BC交y轴于点

15、 E,连接 AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与 y轴交于点 D,连接 ADAC 交 BD 于点 E, CE=426.如图， RtABC 中，ZC=9024.( 2013?绥化)如图，点 AB, C, D为O O上的四个点， AC平分/ BADB ( 1)求证： AOC 旦AOD于点D,与BC交于另一点 E交BC于点F, 试以A、B、F(2)若DE = 3, O O的半径为线于点 E,且 AC平分/ EAB。(1)求证：DE是OO的切线；(2) 若AB=6, AE=4, 求BC和BD的长28.( 2012辽宁)如图，AB是O O的直径，点C在O O上，/ CAB的平分线交OO于点D,过点D

16、作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接 BC交AD于点F(1) 猜想ED与OO的位置关系，并证明你的猜想；(2 )若 AB = 6 , AD = 5，求 AF 的长。29.(2013?十堰)如图1 , ABC 中，CA=CB，点O在高CH上，OD丄CA于点D,OE丄CB于点E,以 O为圆心，OD为半径作O O.(1) 求证：O O与CB相切于点 E;(2) 如图 2，若O O过点 H,且 AC=5 , AB=6，连接 EH，求 BHE的面积.题型六、因动点产生的相似问题E的三角形与 ABC相似，画出示意图。E的三角形与 ABC相似，画出示意图。2.已知 RtOAB在直角坐标系中的位置如图，为0

17、B的中点，DC为折OAB上的动点，线段PC把Rt OAB分成两部分，A写出点 C的坐标问点 C在什么位置时，分割得到的三角形与OAB相似？画出所有符合要求的线段，ADox-1123456 A-1o5-4-3-2-1-1-2-3-43 .在直角坐标系中有两点(4, 0) , B ( 0, 2)，如果点 C 在x轴上(与A不重合)，当点 C的坐标为1. D是AABC的AB边上一点，也、D及三角形边上的一点D是Rt AABC的BC边上一点，过C D及三角形边上的一点时，使得由点 B、O C组成的三角形与 AOB相似。4.已知：如图，P是边长为4的正方形 ABCD内一点，且 PB=3 , BF IBP

18、，垂足为 B,请在殲 BF上找一点M使以 B、M C为顶点的三角形与 ABP相似。30. 正方形 ABCD边为4, M N分别是 BC、CD上的两个动点，当M点在(1)证明：Rt AABM "Rt AMCN ;(2) 设M=x，梯形 ABCN的面积为 y，求y与x之间的函数关系式；当形ABCN面积最大，并求出最大面积；(3) 当 M点运动到什么位置时RtABM "Rt AAMN，求此时 x的值31. 如图，在 ABC中，/ BAC=90 ° AD是BC边上的高， E是BC边上的一个动点（不与 B,C重合），EF丄AB,EG丄AC ,垂足分别为 F,G .(1)求证

19、:EG CGAD CD(2) FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理 由(3) 当AB=AC时， FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由32.矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标捌A( 6，0), C( 0，- 3)，直线y_ _ 3 x与BC边相交于 D 一 占八、_4(1)求点D的坐标；(2)若抛物线2y = ax 9 x经过4A,试确定此抛物线的表达式;M点P为对称轴上一动点，以O M为顶点的三角-3CDB(3) 设(2)中的抛物线的对称轴与直线0D交于点形与 OCD相似，求符合条件的点P的坐标.y =-&如图，抛物线y= 1 x 2+

20、x- 2与x轴相交于点 A、B,与y轴相交于点 C.2 52+ 52(1)求证： AOC sZCOB ;（2）过点 C作CD / x轴交抛物线于点D.若点 P在线段 AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段 CD上也以每秒 1个单位的速度由 D向C运动，则经过几秒后，PQ = AC .7），且顶点 C的横坐标为 4，该图象在 x轴上截得的线段AB9 .如图，二次函数的图象经过点D（0 ,39P,使QPA+PD最小1的坐标；如:K1，求出点 P的坐标；/果不存在，请说明理/賢0c的长为6.求二次函数的解析式； 在该抛物线的对称轴上找一点在抛物线上是否存在点0,使厶QAB与厶ABC相

21、似？如果存在，求出点由.题型三：位似33. 如图所示， 以点0为位似中心， 将五边形 ABCDE放大后得到五边形A B C D E.已知OA = 10 cm , OA '=20 cm，则五边形 ABCDE的周长与五边形A B C D' E 的周长的比值是 .34. 如图，在 6X 8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和厶ABC的顶点均为小正方形的顶点.以0为位似中心，在网格.图.中作 A B' C'，使 A' B' C 和厶ABC位似，且位似比为1: 2连接中的AA '，求四边形 AA ' C35.如图，点 0是等边三角形 f以歹PQR是位似三角形.此时，二* *八C的周长.（结果保留根号）P'OQ' R'