03初三数学自主招生不定方程的整数解(教师)

1、不定方程整数解【二元一次不定方程】形如ax by c （ a,b,c为整数，a,b都不为零）的方程叫做二元一次不定方程。定理l：（a,b） d ,若dc，则原方程有整数解；若 d不能整除c，则原方程没有整数解;推论：若（a,b）1，则原方程一定有整数解（常用于判定不定方程有无整数解）定理2：若（a, b） 1，且（x0,y0）是不定方程ax by c的一组整数解（称为特解）x x bt则0（t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）。y yo at求整系数不定方程 ax by c的整数解，通常有以下步骤：（1）（a, b） d（2）判断有无整数解：当 d不能整除c时，原方程无整数解；当d c时，

2、原方程有整数解。方程同解变形，两边除以d，使原方程转化为（a,b） 1的情形。（3）求出一个特解；（4）写出通解；（注：通解形式不唯一）解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1） 观察法（系数较小）（2）分离整系数法（3）同余问题等。【二元一次不定方程】【例1】求下列不定方程的整数解（1） 2x 6y 8 ；（2） 5x 10y13 .X 1解：（1）原方程变形为:x 3y 4， 观察得到是x 3y 4的一组整数解y 1（特解），根据定理2 ，1 3t（t是整数）是原方程的所有整数解1 t(2) (5, 10)5，但 5 不能整除 13 ,根据定理1，原方程的

3、无整数解(2) 5x 14y11 .1.求下列不定方程的整数解。（1） 7x 14 y 211 ；x514t答案：（1）无整数解;(2)X5141( t 是整数)y15t【例2】求方程7x 19y213的所有正整数解解： （7, 19）1，根据定理2，原方程有整数解由原方程可得x 213 19y210 14y 3 5y 30 2y 3空777Xo 25由此可观察出一组特解为。yo 2x 2519t方程的通解为 x 25（ t是整数）。y 2 7t25卄亠 2519t0,.t其中1927t 02 t7代入通解可得原方程的正整数解为252丄t t1,0197x6x25或oy9y22.求方程37x

4、107y25的整数解。7/925107v25 4v8是原方程的解：方程变形为X飞尸3y春，观察可知y 3，x一组解，则x 8107t （t为整数）y 3 37t3. 求方程5x 7y 978的正整数解的个数。解：（分离整系数法）原方程可变形为：x 些 195 y屮190是原方程的一组解x190 7t方程的解为：（t是整数）。y4 5tx、y为正整数。190 7t 0 冲14，则27-t4 5t 075满足这个条件的t有 27、26、0,故原方程有28组正整数解。2874. 如果在分数的分子分母上分别加上正整数a、b，所得结果是，求a b的最4312小值？28 a 7 解：(同余问题)依题意，有

5、，于是可得12(28 a) 7(43 b)43 b 12即 12a 35 7b (7, 35)7且(12, 7)1，故 7 |a .由知，b随a增大而增大， amin7时，bmin17 。（a b）min 24。5. 一个正整数加13能被5整除，减13能被6整除，则满足条件的最小正整数是多少? 解：设这个数为x,x 13 5a由题意知(a为正整数，b2的整数)，x 13 6b消去 x 得：5a 6b 26, a26 6b_552的正整数解。36k（k为整数），2kx 4 ky 2 2k （ k为整数）z 2 kk 02k 0，解得 2 k 1，即 k 1, 0k 0 b的最小值为1，此时ami

6、n 4 Xmin【三元一次不定方程(组)的整数解】 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程，再求解。5x7y9z6. 求不定方程组3x5y7z解：消去z，得2x y10x4方程的所有整数解为y2代入原方程组，得所有的整数解为4/ x、y、z都是正整数，22x3x4故原方程组有两组正整数解y4，y2z1z2【例 3】求方程 2x 3y7z23的整数解。2x3yu(1)解:（换元）原方程等价于Ju7z23(2)对于（ 1） ，由观察可得，2( u) 3(u) uxu3t1所以（ 1）的解为，（ t1 为整数）yu2t1对于（ 2） ，由观察可得，273 23u27t2所以（ 2）的解为2（ t2

7、 为整数）z3t2x23t17t2方程的解为:y22t17t2 ，（其中，t1、t2t2 为任意整数）7求方程 25x解：原方程等价于13y25x7z4 的整数解。13y u7z 4(1)(2)对于（ 1），由观察可得，25 (u)13 (2u)所以（ 1）的解为U 13t1 , ( X为整数)2u 25t11对于（ 2） ，由观察可得，1 ( 3) 7 1 4所以（ 2）的解为3 7t2 ，( t2 为整数)1 t2方程的解为:x 3 13t1 7t2y 6 25t1 14t2 ，(其中， t1z 1 t2t2 为任意整数）【不定方程的应用】& 某宾馆有大小两种客房，小房间能住4人，

8、大房间能住7人，现有63人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位不多也不少？解：设小、大房间各 x、y间。则4x 7y 63。求得通解为:7t9 4t（t为整数），且x0,y0，解得0 t11/9 t 0、1、2。相应解得 x 0,7,14 , y 9,5,1。答：略。9. 记载于中国古代约 5 6世纪成书的张邱建算经中，原书卷下第38题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ 解：设鸡翁x只，鸡母y只，小鸡z只。xy z100则有5x3y1( x, y, z为整数)。-z 1003消去z 得:7x4y 100（t为整数），代入得zx 4ty

9、 25 7t由于x、y、z都为自然数，x 4t 0y 25 7t 0，解得 0z 75 3t 075 3tx0x4xy25或y18或yz75z78z10.有三个连续自然数 n、n 1、nt 37 , t 0,1,2,38 x 1211 或 y 4。81 z 842，其中 15 | n , 17|(n1), 19 | (n 2)，求n 的解：设n15a ,n 117b, n 2 n15a17b 119c 2/ 17b119c 2 19c17b1, 17b 1c19最小值。19c, （ a、b、c为正整数）b空，特解为b。10 , c。9 ,19b 1019t ( t 为整数)，n17b 1323

10、t169c9 17t15a323t169, a 21t118t 4特解为 to 7 , a。162 ,15 'a162 323k,击（k为整数）t7 15k n 15a4845k2430,-nmin 2430。法二：设n219a，则 n 19a 2, n 119a1 15|19a2 ,17|19a1 15|4a2,17|2a1 15| 2(2a1)( 15,2)1 15|2a1而15,17255amin128n min19amin 22430。【备用】1. 小王用50元钱买40个水果招待五位朋友，水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的 价格分别为200分、80分、30分。小王希望他和五位朋

11、友都能分到苹果，并且各人 得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解：设苹果、梨子、杏子分别买了x, y,z个，则200x 80y 30z 5000x y z 40380 5y消去z得 17x 5y380，所以x17103805 403805y 380由 0<y<40 得 10-17171717口106即10 x 22171722又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1, 由得 5| x .所以 x=15 或 x=20.当 x=15 时,y= 25, z= 0,不合题意.因此 x=20, y= 8, z= 12.因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有

12、1+2+3+4+5+6=21>20个.2. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？解：设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则28a 30b 31c 365. 28(a b c) 28a 30b 31c 365 31(a be)，二 365 a b c3128t a b c是整数，二a b c=12或13.但当a b c=13时，得2b 3c 1，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.3. 设非负整数n,满足方程x y 2z n的非负整数(x,y,z)的组数记为an.(1)求a3的值；

13、(2)求a2001的值.解：(1 )当n=3时，原方程为 x y 2z 3，由于x 0, y 0,得0 z 1.当 z=1 时，方程为 x+y=1，其解(x,y) =(0,1),(1,0) 有 2 组；当 z=0 时，方程为 x+y=3，其解(x,y) =(0,3),(1,2), (2,1),(3,0) 有 4 组.综上，a3=6.(2)当 n=2001 时，原方程为 x y 2z 2001，由于 x 0,y0,得 0 z 1000.当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当 z=998 时，方程为 x+y=5，其解(x,y) =(0,5)

14、,(1,4), (2,3),(3,2), (4,1),(5,0)有6组；当 z=0 时，方程为 x+y=2001，其解(x,y) =(0,2001),(1,2000)，(2001,0) 有2002 组.综上，a2001 =2+4+6+2002=1003002.(枚举法)4.找出所有具有下面性质的两位数ab，使得三位数a0b是原数ab的倍数(bO。解：由题意可知,100a b k(10a b)10a(10 k) b(k 1)，容易看出 1 k 10当k 10时，b 0(舍去)当 k 9 时，10a 8b, a 4,b5405=45X9当k8时,20a7b，无解当k7时,30a6b，a1,b510

15、5=15X7当k6时,40a5b，a1,b8108=18X6当k5时，无解满足条件的数有15, 18, 45三个。5. 求方程2x 3y 7z 23的整数解.解：设2x 3y t,则原方程可看作 2x 3y t,对于方程（1） x=-t, y=t是一个特解，t 7z 23. （2）从而（1）的整数解是 xt-3u,（u是整数）y t 2u. （4）又t=2, z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是 z 3 v, （5） 是整数） t 2 7v. （6）（疋 丿将（6）代入（3）、（ 4）消去t得到原方程的所有整数解为：x 2 7v 3u,y 2 7v 2u, （u、v是整数）z 3

16、 v.6. 一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字 1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字 3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于 21.（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？解：（1）设小明摸的红球有 x个，黄球有y个，蓝球有（10 x y）个，则x 2y 3（10 x y） 21，整理，得y 9 2x，因为x、y均为正整数，可知 x的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是z 10x y 10x(92x)x1,x 0,x0,又' y 0,92x 0,解得0 x9o

17、x1,2,3,4.z 0,x1 0.2因此共有4种不冋的摸法，如下：(1 , 7,2),(2,5,3),(3, 3,4), (4, 1, 5)7. 一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有（）个CA. 20001999B. 19992000C. 2001000D. 20019998.设n为正整数，k 2004n, k被7除余数为2 , k被11除余数为3，求n的最小 值.解：由题意知：2004n 2(mod 7), 2004n 3(mod 11)又 2004 2(mod 7) , 2004 2(mod 11) 2n2(mod 7) , 2n 3(mod 11)由于 21 2(mod 7)，23 1(mod 7)，由同余性质知：23a 1 1(mod 7)，n 3a 181010b 82 3(mod 11), 2 1(mod 11) , 2 3(mod 11) , n 10b 8 3a110b8 , 3a 10bb°2 ,a09a910t（t为整数），b23t n30t28 ,