高等代数知识结构

1、高等代数知识结构、高等代数知识结构图行列式的计算行列式工具线性方程组矩阵矩阵的运算行列式的性质矩阵的秩的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组线性方程组解的结构向量相关性极大线性无关组线性相关和线性无关二次型化为标准型（配方法， 线性方程组法，正交法）线性代数中心课题线性典范型j线性流形对角化正定性，合同单线性函数线性函数对称双线性函数J矩阵若尔当典范性II-C定理高等代数线性空间线性变换特征值与特征向量矩阵的可对角化线性空间的性质与同构, 子空间的判定坐标变换与基变换可对角化及不变子空间欧式空间的性质研究范围线性空间欧式空间正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间酉空间的性质复数域

2、上的正交变换整除理论互素与同于1因式分解唯一性因式分解理论重因式复数域多项式根的理论实数域曰求法有理数域判定（爱绅斯坦因）多元多项式/对称多项式根的判别式韦达定理、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组1. 行列式:1行列式的计算设有n2个数，排成n行n列的数表aiiai2a2ia22anian2aina2n，即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的ann个元素的乘积aiji a2j2anjn的代数和，这里jij2 jn是1,2, , n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号：当jlj2 jn是偶排列时，带正号；当ji j2 jn是奇排列时，带负号.即a iia 2ia

3、 niai2a 22a n 2a nnji j2 jnjij2 jnaijia2j2anjn ,这里 表示jij2 jn对所有n级排列求和.a.行列式的性质：性质i.行列互换，行列式不变。性质2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 乘此行列式。性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。(两行相同就是说两行对应 元素都相同)性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7.对换行列式中两行的位置

4、，行列式反号。2. 矩阵：a. 矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。b. 矩阵的运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵.矩阵相等：设 A G)mn,B (bj)mn,若b。(i 1,2, ,m; j 1,2,n),称线性:运算：A(aij )m n,B(bij ) mna11bna1nb1n加法:AB(a ijbij)m na m1bm1abmnmnk a11kam数乘:kA(k aij ) m n负矩阵：A (1 )Ak am1k amnanbna1nb1n减法:AB(ajbij)m na m1bm1amnbmn矩阵的乘法定义：设A(aij )ms, B(

5、bj )s n811a1s d11bmC11C1nAB其中元素3m1amsbs1bsnCm1Cmnb1 jCja” ai 2aisb2jaej ai2lb2jaiSbsj (i 1,2,m; jA B.bsj(3ij )m1,2,n)A的列数=B的行数。AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数.A与B的先后次序不能改变.(5)矩阵的初等变换 矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1 ）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2 ）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3 ）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去3. 线性方程组一般线性方程组.这里所指的一般线性方程

6、组形式为ax1ax 2Lax nb1,ax1a222Laxnnb2,(i)LLLax1as22Lax nbs.（i）式中xi（ 1,2,K , n）代表未知量，旳（1,2,L , s; j 1,2,L ,n）称为方程组的系数，bj（j1,2丄，n）称为常数项.线性方程组（i）称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即bb 2 Lbs 0.令ana12La1 nxb1a21a22La2nXxDb2A,BMMMMMMas1as2Lasnxnbs则（i）可用矩阵乘法表示为AXB，ACmn,XCn,B Cm.a.线性方程组的解法1）消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、

7、三 元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性但对于那些 高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用 .2）应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有 定理1如果含有n个方程的n元线性方程组aX1ax 2Lax nb,aX1ax：2Laxn nb2LLLaX1ax2Lann nbn的系数矩阵a11a12La1na21A21Ma22La2nMMMan1an2Lann的行列式ana21a12a22LLai na2ndet AMMMMan1an2Lann0,那么线性方程组 有唯一解:Xjdet BjJ / det A(j1,2,L ,n),其中detBj是把矩阵

8、中第j列换成线性方程组的常数项bl,b2 , L ,bn所成的矩阵的行列式，即det Bja11a22MLLMLa1,j 1a2,j 1Man,j 1Mbnai,j ia2,j 1Man,j 1LLMLaina2nM,j 1,2,L ,n.ann此外，还可以叙述为，如果含有 n个未知数、n个方程的线性方程组Ax b的系数矩阵的行列式det A 0，则线性方程组Axb一定有解，且解是唯一的.广义逆矩阵A法设A Cmn.如果存在G Cn m，使得AGA A，则称G为矩阵A的一个1-广义逆矩阵，记作A .矩阵A的1-逆总是存在的，但一般不是惟一的12，矩阵A的1-逆的全体记为代1.若A Cm n ,

9、 A Cnm为A的一个1-广义逆矩阵，贝U对V, W Cn m为任意 的n m矩阵，矩阵A的一个1-广义逆矩阵为G A V A AVAA ,同时还可以表示为G A V(Em AAE) ( n A A)W .广义逆矩阵A的计算：(1) 设A Crmn (r 0)，且有P Cm m和n阶置换矩阵Q使得PAQErK00(KC r (nr),则对任意的L C(nr )(m r)，n m矩阵G Q Er 0 PO L是A的一个1-广义逆矩阵.若存在T C n使得PAT 巴 O O O则矩阵的1-逆的全体A1T ErL12 P L12 Cr(m r),L21 C(nr)r,L22 C(n rm( r)L2

10、1L22 设A Cmn，则A有惟一 1逆的充分必要条件是m n,且r(A) n，即A可逆.这个惟一的1逆就是A 1.4. 向量相关性a.判断向量组线性相关的方法1) 线性相关2) 的对应分量成比例线性相关3) 含有零向量的向量组是线性相关的4) 向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出5）部分相关则整体相关6）设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；7）n+1个n维向量必线性相关（个数大于维数）8）该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关9）n个n维的向量构成的行列式=0该向量组是线性相关的10）线性相关向量组中每个向量截短之后还相关b.判断向量组线性无

11、关的方法1）线性无关2）的对应分量不成比例线性无关3）向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出4）整体无关则部分无关5）线性无关向量组中每个向量加长之后还无关6）该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关7）n个n维的向量构成的行列式0该向量组是线性无关的（二）中心课题：线性规范型1. 二次型线性流型：二次型及其矩阵表示二次型的定义：以数域 P中的数为系数，关于Xi, X2,，Xn的二次齐次多 项式 f （Xi, X2,Xn）=aiiXi2+2ai2XiX2+ +2 ainXiXn2+a22X2 + + a2nX2Xn+（3）2+annXn称为数域P上的一个n元二次型，简

12、称二次型。矩阵的合同关系：对于数域 P上的两个n阶矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C, 使得B=CTA（则称A和B是合同的，记为AB合同关系性质：1）反身性：AA2）对称性：AB则BA3）传递性：AB 且BC贝U AC二次型的标准形1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二 次型的标准形。2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。3) 复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域 C中的非退化线性变换化成如下最简形式平 方

13、和：y12+y22+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复 二次型称为复二次型的规范形。2. 线性函数(三) 研究范围：线性空间1. 线性空间简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另 一元素，任意元素与任意数(可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中 的元素)相乘后得到此集合内的另一元素。1) V对加法成Abel群，即满足：(1) (交换律)x+y=y+x;(2) (结合律)(x+y) +z=x+ (y+z)(3) (零元素)在 V中有一元素0，对于V中任一元素(4) (负元素)对于 V中每一个元素x，都有V中的元素y,使得x+y=0;2) 数

14、量乘法满足：(5) 1x=x;(6) k(lx)=(kl)x ；3) 数量乘法和加法满足：(7) ( k+l ) x=kx+lx ；(8) k (x+y) =kx+ky.其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位 丿元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量(scalar )， V中元素称为向量(vector )。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空 间。(1) V中零元素(或称0向量)是唯一的。(2) ( 2) V中任一向量x的负元素(或称负向量)是唯一的。(3) ( 3)kx=0(其中k是域F中元素，x是

15、V中元素)当且仅当k=0或x=0。(4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。2. 欧氏空间定义1 .公因式：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线 性型g(g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时 仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：(1) g(x,y)=g(y,x)；(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；(3) g(kx,y)=kg(x,y)；2 最大公因式：(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。这里x,y,z是V中任意向量，k是任意

16、实数。二、多项式理论1. 整除理论整除：若多项式a： “f(x)”除以多项式b：“g(x)”，商为一个多项 式,且余数为零多项式。 我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a， 读作“ b整除a”或“ a能被b整除”.1) 最大公因式多项式的最大公因式的定义定义(公因式与最大公因式)定义1若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。因所以任意两个多项式都有公因式。2) 互素如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。的公因式，就称这两个多项式互素2. 因式分解理论1)重因式定义 设p(x)为不可约多项式.如果f(x)能被p(x)的k次方整除而p (x)的 k+1次方不能,则

17、称p(x)是f(x)的k重因式.若k=0,则p(x)不是f(x)的因式.若k=1,则称p(x)是f(x)的单因式.f(x)的二阶微商，阶微商的微商：若k>1,则称p(x)是f(x)的重因式.也可以定义高阶微商的概念记为f'(x).一般地,f(x),一阶微商f(x)的微商称为的k阶微商定义为f(x)的k-1 定理 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k> 1),那么它是f(x) 的k-1重因式.注意：该定理的逆定理一般不成立推论1 ：如果不可约多项式p(x)是f(x)的k (k > 1)重因式,那么p(x)分别 是 f(x),f'(x).f(k-1)(

18、x)的 k-1,k-2,.,1 重因式,但不是 f(k)(x)的因式推论2 :不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件是p(x)为f(x)与 f(x) 推论3 :的公因式.多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f(x)=1.2)唯一性理论不可约多项式定义：数域P上次数的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能表成数域 P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。唯一性指：数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可 约多项式的乘积。Fx中任一个次数不小于1的多项式都可以分解为F上的不 可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证 Cx中不可约多项式都是一次的。 因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。当F是实数域R时，由于实系数多项式