2019高考数学大题专题练习——立体几何三

1、2019-2020年高考数学大题专题练习立体几何（三）53.如图，在四棱锥EABCD中，平面CDE平面ABCD，DAB=ABC=90，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2（1）证明：AB平面BCE；（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值54.如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿MN将矩形MNCD折起，设AB=2，BC=4，二面角BMNC的大小为（1）当=90时，求cosAOC的值；（2）点=60时，点P是线段MD上一点，直线AP与平面AOC所成角为若sin=，求线段MP的长55.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角

2、梯形，CDA=BAD=90，AD=DC=，AB=PA=2，且E为线段PB上的一动点（1）若E为线段PB的中点，求证：CE平面PAD；（2）当直线CE与平面PAC所成角小于，求PE长度的取值范围56.如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，是的中点，且， () 证明：平面；() 求直线与平面所成角的正弦值57.如图，已知和所在平面互相垂直，且，点分别在线段上，沿直线将向上翻折使得与重合（）求证：；（）求直线与平面所成角。58.如图，四边形是圆台的轴截面，点在底面圆周上，且，（）求圆台的体积；（）求二面角的平面角的余弦值59.如图，已知菱形与等腰所在平面相互垂直. 为PB中点 （）求证：平面A

3、CE；（）求二面角的余弦值60.如图，在四面体中，平面平面， ，为等边三角形.（）求证：平面（）求直线与平面所成角的正弦值. 61.已知：平行四边形ABCD中，DAB=45，AB=AD=2，平面AED平面ABCD，AED为等边三角形，EFAB，EF=，M为线段BC的中点。（I）求证：直线MF平面BED；（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。62.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）当平面与平面垂直时，求的长.63.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值

4、；（）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由64.如图，在四棱锥中，且,，.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值65.如图，四面体中，平面平面（1）求的长；（2）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值66.在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值67.如图，四棱锥,底面为菱形，平面，为的中点，.（I）求证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.68.如图，四棱锥中，平面平面，且，（1）求证：平面；（2）求和平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由69.如图

5、，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，.（1）求证：AC/平面DEF；（2）已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.70.如图，在四棱锥中，是等边三角形，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60，求二面角的大小.71.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，为等边三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值.72.在正三棱柱中，已知，分别是，和的中点以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系求异面直线与所成角的余弦值；求二面角的余弦值73.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，A

6、C=CD=（1）求证：PD平面PAB（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由74.如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形， CD=，平面EDCF平面ABCD（1）求证：DF平面ABE（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长75.在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（）求证：平面平面；（）求二面

7、角的正切值 76.在等腰梯形中，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值77.已知在四棱锥中，平面,是边长为的等边三角形，为的中点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的大小.78.如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为的正三角形，侧面底面（）设的中点为，求证：平面（）求斜线与平面所成角的正弦值（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值试卷答案53.证明：（1）DAB=ABC=90，四边形ABCD是直角梯形，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2CD=，CE2+DC2=DE2，ECCD，面EDC面ABCD，面EDC面A

8、BCD=DC，CE面ABCD，CEAB，又ABBC，BCCE=C，AB面BCE解：（2）过A作AHDC，交DC于H，则AH平面DCE，连结EH，则AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，=，AH=，AE=，sinAEH=，直线AE与平面CDE所成角的正弦值为54.解：如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）当=90时，A（2，1，0），C（0，1，2），（2）由=60得，M（0，1，0），设，则，设平面AOC的法向量为，取，由题意，得，即3210+3=0，或=3（舍去），在线段MD上存在点P，且55.证明：（1）取PA的中点F，连结EF，DF，则EFAB，EF=AB，又DC

9、AB，DC=AB，EFCD，EF=DC，四边形EFDC是平行四边形，CEDF，又CE平面PAD，DF平面PAD，CE平面PAD解：（2）AD=CD=，ADCD，AC=2，又AB=2，BAC=45，BC=2，ACBC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又PAAC=A，BC平面PAC，过E作EMBC，则EM平面PAC，PCE为CE与平面PAC所成的角，即PCEPA=2，AC=2，PC=2，BC=2，PB=4，BPC=，当PCE=时，CEPB，此时PE=3，当PCE时，PE356.() 证明：如图1所示，连接交于点，连接. 因为 四边形是正方形， 所以 是的中点 又已知是的中点 所以

10、又因为 且 所以 ， 即四边形是平行四边形 所以 ， 因此 平面.7分() 如图2所示，过点作面与 面的交线，交直线于.过作线的垂线，垂足为.再过作线的垂线，垂足为.因为,所以面,所以,又因为,所以面，所以即与面所成的角10分因为面，所以，且为的中点，如图3所示，为边上的高，,， 因为所以，所以因为，所以,所以15分57.（1）.5分（2）设,取,又（3）.7分,.10分.12分.14分所以直线与平面所成角为.15分法2：,所以直线与平面所成角为（酌情给分）58.解法一：（）由已知可得: OM平面AOD.又ACDM.从而有ACDO 由平面几何性质可得ACCB -4 设OO1=h ，在直角ABC

11、中，有AC2+BC2=AB2 即 (9+h2)+(1+h2)=16圆台的体积. -7（）过点O在DOM内作OEDM，作OH平面DAM，垂足分别为E，H，连EH. 易得EHDM,故OEH就是二面角的平面角. -10 在DOM中,OE= 由VD-AOM=VO-ADM得 OH= -13在直角OEH中,则二面角的余弦值为 -15解法二：（）由题意可得、两两互相垂直，以为原点，分别以直线、为、轴建立空间直角坐标系 -2设，则，解得 -5圆台的体积. -7（）, -9设平面、平面的法向量分别为，则 且 即 且 取 -13. K*s*5*u 则二面角的余弦值为 -1559.证：（I）. 连结BD，设BD交A

12、C于M点，连结ME.2分在平行四边形ABCD中，AC，BD相互平分，即DM=BM，又PE=BE在中，.6分解：（II）. 过D作DO垂直BA延长线与O点，连结PO，易得DO，PO，BO两两垂直建立如图坐标系，设AB=2，则.10分（注：每对一个给1分）设面BCE的一个法向量为，面DCE的一个法向量，则.12分（注：每对一个给1分）14分二面角的余弦值为.15分60.证：（1）取中点，连结，为等边三角形.， (2分)又平面平面，平面平面=，平面，平面，(5分)又， 平面(7分)（2）法一：设点C到平面的距离为d， 由， (10分)即，得(13分)设直线 与平面 所成角为，则(15分)法二：取中点

13、，连，则，平面，平面平面，又平面平面=，过点C作，垂足为G，则平面，所以就是所求角. (10分)在中，算得， (13分)所以(15分)法三：如图建立空间直角坐标系， 则所以(10分)设所以取(13分)设直线 与平面 所成角为，则(15分)61.（I）证明：在ADB中，DAB=45 AB=AD=2，ADBD取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ONBD，ADON又平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，ADOE，EO平面ABCD，以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点H，连接FH，OH，则OHABEF，且OH=EF，FHEO，FH平

14、面ABCD，D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1，） F（-1,1，） C（-3,2,0） M（-2,2,0），=（0,2,0） =（1,0，） =（1，-1，），设平面AED的一个法向量为（x，y，z），则不妨设=（，0，-1），又MF平面AED直线MF平面AED（II）解：=（-2,0,0），=（0，-1，）设平面FBC的一个法向量为（x，y，z），则不妨设=（0，1）设平面BED与平面FBC所成的角为则丨cos丨=丨丨=，sin平面BED与平面FBC所成角的正弦值为（III）解：直线BF与平面BED所成角为a，则sina=丨cos丨=丨丨=。直线BF与平面BDE所成角的正

15、弦值为62.（1）因为四边形是菱形，所以.又因为平面，所以.又，所以平面.设.因为，所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，所以，.设与所成角为，则.（2）由（1）知，设（），则，设平面的法向量，则，所以，令，则，所以.同理，平面的法向量.因为平面平面，所以，即，解得.所以.63.解：（）设中点为，连结，因为/，且，所以/且，所以四边形为平行四边形，所以/，且因为正方形，所以/，所以/，且，所以四边形为平行四边形，所以/因为平面，平面，所以/平面(4分)（）如图，建立空间坐标系，则，所以=(4,4,4)，=(4,0,2)，=(0,4,4) 设平面的一个法向量为，所以 令，则 ，所以

16、设与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值是(8分)（）假设存在点满足题意，则，设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以 因为平面平面，所以，即，所以， 故存在点满足题意，且(12分)64.()证明：取中点为，连接，因为，所以，又，所以，所以四边形为矩形，所以，又，所以平面.-4分又，所以平面，又平面，所以平面平面.-6分 ()在中，所以；在中，所以.取和的中点分别为和，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，又，为的中点，所以，所以平面，所以平面，所以平面平面，-10分所以为在平面上的射影，所以为与平面所成的角。- 12分在中，所以，所以。即直线与平面所成角的正弦值为- 15分（用其它方法（

17、如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！）65.（1），又平面平面，平面平面，平面，（2）由（1）可知平面，过作于点，连接，则有平面，平面平面，过作于点，则有平面，连接，则为与平面所成的角由，得，又，又，66.（1）由，得，又因为，且，所以面，5分且面所以，面面。7分（2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角10分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为15分67.（I）证明：，又又平面,直线平面.（II）（方法一）连接过点作于点.,平面，.又，平面.所以为直线与平面所成的角.在中，直线与平面所成角的正弦

18、值为（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系.设平面的法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为68.（1）由，可得由，且，可得又所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，即令，则设直线与平面所成的角为，则所以和平面所成的角的正弦值（3）设，则设是平面一个法向量，则，即令，则若平面平面，则，即，所以，在线段上存在一点使得平面平面69.解：（1）连BD交AC于O，取DE中点K，良OK、KFAC、BD是正方形的对角线O为BD中点， ， 四边形AOKF为平行四边形， 又平面DEF，平面DEFAC/平面DEF（2）在DAF中，所以 又因为，平面AB

19、CD平面.以为原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系（如图）. 则，设，因为，又，所以，解得即. 所以是线段上靠近的三等分点.70.（1），且是等边三角形，均为直角三角形，即，平面平面平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系令，设，则，直线与所成角大小为60，所以，即，解得或（舍），设平面的一个法向量为，则即令，则，所以平面的一个法向量为，则即令，则，故二面角的大小为9071.（1)如图取的中点，连接，依题，所以四边形是平行四边形，所以.因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面.(2)由

20、（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，所以，所以.设平面的法向量，则，令，则，所以.同理可得平面的法向量，所以，所以二面角大小的余弦值为.72.（1）因为，则，所以， 2分记直线和所成角为，则，所以直线和所成角的余弦值为 4分（2）设平面的法向量为 ， 因为，则，取得：6分设平面的一个法向量为，因为，则，取得：8分根据图形可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为； 10分73.（）见解析（）（）存在，（）面面，面，且，面，又，面（）如图所示建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，则有，设平面的法向量为由，得，又直线与平面所成角为锐角，所求线面角的正弦值为（）假设存在这样的点，设点的坐标为则，要使直线面，即需要求，解得，此时74.见解析解：（1）证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，不妨设，又，又平面，平面（2）解：，设平面的法向量为，不妨设，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（3）解：设，又平面的法向量为，或，当时，当时，综上75.（）证明：因为平面，所以 又因为底面是矩形，所以 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （)