求函数f(x)周期的几种常见方法

1、求函数f(x)周期的几种常见方法 函数的周期性是函数的一个重要性质对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考 1 定义法 根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法(1) f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期 注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x2a)，f(x3a)，f(x4a)，当出现f(xT)f(x)(T0)的形式时，就可知T是f(x)的周期周期函数，若是

2、，求出它的周期；若不是，说明理由(1) f(x2a)f(xa)a(2) f(x)为周期函数，3a是它的周期 2 特殊值法 当题设条件中有f(m)n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效 f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由 f(x)为周期函数，2是它的一个周期 3 变量代换法 例4 设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x1995)f(x1994)f(x1996)，试判断f(x)是否周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由 解 在f(x1995)f(x1994)f(x1996) (xR)中，以x代x1995，得 f(x)f(

3、x1)f(x1)；(1) 在(1)中以x1代x，得 f(x1)f(x)f(x2)(2)(1)(2)，得f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)(3) 在(3)中以x1代x，得 f(x)f(x3)；(4) 在(4)中以x3代x，得 f(x3)f(x6)(5) 将(5)代入(4)，得f(x6)f(x) f(x)为周期函数，6是它的一个周期 4 递推法 f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由(1) 在(1)中以x2代x，得 f(x4)f(x6)f(x2)(2)(1)(2)，得f(x)f(x6)0， f(x)f(x6)(3) 在(3)中以x6代x，得 f(x6)f(x12

4、)(4)(4)代入(3)，得f(x12)f(x) f(x)为周期函数，12是它的一个周期 5 消去法 例6 若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5x)f (5x)，f (7x) f (7x)，试判断f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由 解 在f(5x)f(5x)中以5x代x，得 f(x)f(10x)；(1) 在f(7x)f(7x)中以7x代x，得 f(x)f(14x)(2) 由(1)和(2)，得 f(10x)f(14x)(3) 在(3)中以10x代x，得f(x4)f(x) f(x)是周期函数，4为它的一个周期 6 结构类比法 f(x)是不是周期函数若是

5、，求出它的一个周期；若不是，说明理由解： 可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2是它的一个周期下面进行证明： 于是f(x2)f(x)f(x)f(x) f(x)为周期函数，2是它的一个周期 7 公式法 例8 已知yf(x)(xR)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称(ab) (1)求证：f(x)f(2ax)，f(x)f(2bx)； (2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期 证明 (1) f(x)的图象关于直线xa对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线， 设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于xa的对称点P'的坐标为P'(x'，y'), 同理可证 f(x)f(2bx) 解 (2)由(1)可知，f(x)f(2ax)f(2bx)， f(2ax)f(2bx)，以x代2ax，得fx(2b2a)f(x) ab，2b2a0且为常数， f(x)是周期函数，2b2a为它的周期 由例8可得到如下的 定理 若函数yf(x)(xR)的图象