线性微分方程(组)的求解及若干应用文献综述

1、毕业论文文献综述数学与应用数学线性微分方程（组）的求解及若干应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主 题争论焦点）常微分方程是一个重要的数学分支，同时还作为了解决实际问题的一个重要数学工具.而本文所要讨论的线性微分方程（组）则是一类特殊的常微分方程.由于在很多微分方程求解的过程中，我们常常都会遇到一些困难，对于求解这类方程，一般情况下我们是把它 转换成线性微分方程，这样便于求解.本文主要是研究线性微分方程（组）的求解及其若干应用.因此，我们有必要掌握线性微分方程（组）的一些基本概念.在学习常微分方程的基础上，我初步了解了线性方程解的 结构.在查阅并整理各类相关资

2、料的基础上，我更深一步地熟悉了各种类型的方程，并且能够灵活、准确、迅速地选用相应的方法对其进行求解.然而，在应用线性微分方程求解实际数学问题时，对于简单的，大家就信心满满；而一旦遇到一些困难，复杂的，就不知道从哪里入手，因此我们常常会讨厌做这种题目，久而久之就会对它失去兴趣，其实很多时候都是有规律可循的.除了要掌握好线性微分方程（组）的基础知识外，本文对所学知识还进行了概括与总结，并运用相应的方法来求解方程.为了更简便的求解难题，本文将主要介绍不同形式的线性微分方程（组）的若干解法，并做出更 好的归纳，利于提高我们的解题技巧与能力.常系数齐次线性微分方程组 x Ax的解用特征根的求解方法，就有

3、两种情况，即单根与重根，则其求解时有一定差别的.有些变系数线性齐次方程 （组），可以选择适当的变量替换为常系数线性齐次方程（组），从而可求得其通解.例如对于欧拉方程,ntnT altndn 1xdxdtn1an 1t 一 n 1 dtanx 0在自变量变换下，可化为常系数的方程.k阶导数的系数是t的k次方乘以常数.这里ai（i1,2, n）为常数，该方程的特点是x的因此，通过变量变换t= eu,把原方程化为常系数齐次微分方程的形式.二阶线性方程的概念：一般形式为y pxy qxy fx.其中p x、q x、f x是x的连续函数.y pxy qxy 0称为其对应的二阶线性齐次方程.Banach空

4、间上的隐式常微分方程：下面定义X是实数域上或者是复数域上的Banach空间，R是实数，R是正实数.对于x0, y0 X , M R, a, b R , c R U , 下面把 D 表示成集合 D t, x, y R X X:t0 t t0 a,|x x0| b,| y y0| c , 而函数F t,x, y是定义在D上，并且在数域 X上变化，因此，我们定义隐式常微分方程 为F t,x,x 0 x t0x0,x x0y0凯莱-哈密尔顿定理：如果 A Mn（C）,那么其特征多项式满足 pA A O ,在这 里的O就是零矩阵.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题 的评

5、述）常微分方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，它的发生发展史就是一部数学建模史.而线性微分方程又是一类特殊的常微分方程，它占据着重要的地位， 许多类型的线性微分方程的发现都遵循着这样一个过程：1）在工程或自然科学研究中发现问题，提出问题；2）对实际问题进行分析，提炼出数学模型，建立目标函数的关系式（含有未知函数导数的关系式就是微分方程），提出相应的定解条件；3）求这个方程的解析解或数值解，或对方程解的性态进行分析；4）用所得的结果来解释实际现象，或对问题的发展变化趋势进行预测.这个过程就是数学建模过程.数学建模思想是线性微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想.从17世纪末开

6、始，对天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出一系列常 微分方程在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外 牛顿研究天体运动的微分方程， 从理论上得到行星运动的规律， 而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的.而后 1846年，法国巴黎天文台的勒威耶(Leverrier ,18111877)在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上， 预言太阳系中还有第八颗行星的存在， 并计 算出了第八颗行星的位置， 这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星 这一事实 既推动了天文学的发展，也促进了微分方程的发展1690年雅各布伯努利(Jacob Bernoulli

7、,16541705)用简单的微分方程的方法解决了与 钟摆运动有关的等时问题，以及悬链线问题.之后的雅各布伯努利与约翰伯努利兄弟还解决了许多类似的弹性问题，他们的工作推进了微分方程的发展线性微分方程是在解决实际问题的过程中产生的，它的研究又促进了实际问题的解决，同时也促进其他学科的发展线性微分方程在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用 如电子计算机与无线电装置的计算问题可归为微分方程求解 ;弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究可归为线性微分方程的求解;化学反应中稳定性的研究也可归为线性微分方程求解等等1 目前， 线性微分方程的实际背景广、 应用性强的特点已受到广泛关注

8、 许多国外教材和国内新版教材已在书中明确强调这一点,并在教材中编入实际应用的例子，希望通过大量的实际问题突出数学的应用， 引导学生建立线性常微分方程模型解决各种实际问题 在编写教 材和教学的过程中有意识地渗透数学建模思想，一方面可以促使学生深刻领会数学建模思想、方法，逐渐掌握并在实践中应用这一思想，提高学生应用数学的能力；另一方面,教学目的从单纯强调知识、 技能转向注重培养学生数学思维能力， 应用数学的能力， 也表明教学工作者教学观念、教学思想的转变,是时代进步的标志2 文献 3主要是介绍了常微分方程中的化归思想，例如非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方

9、程问题化为低阶方程问题常系数非齐次线性微分方程， 经采用欧拉待定指数函数法， 将求解问题化归为代数方程根的问题， 从 而省去了积分运算；皮卡逼近法，将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题， 进而化 归为一致收敛的函数列问题； 拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题， 化归 为关于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程问题， 完全符合化难为易， 化未知为已知， 化 繁为简的化归原则文献 4 (第六章)介绍了线性微分方程的作用，即在一些数学问题中有许多都是涉及 到非线性微分方程的问题， 我们通常可以对它们采用线性化的方法简化为线性微分方程的问题， 这样的话在求解的过程中就可以比较简便的解答

10、 文献主要是讨论了线性微分方程组的一般理论和一些解法， 并把这结果应用到线性的高阶微分方程式中， 它们是求解微分方程实际应用的工具，也是理论分析的基础文献 5主要是介绍了常微分方程的思想方法与应用通过对常微分方程的几个典型实例的分析，揭示该学科浸透数学建模思想，且其应用非常广泛，在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用从提高学生应用能力与创新能力的角度出发，探讨在常微分方程教学中进行数学建模教学的可行性与必要性文献 6讨论关于高阶线性微分方程的直接积分法对高阶常系数线性微分方程求解，不同于特征方程法，待定系数法，也不同于算子法，而是利用逆算子记号，变为直接积分，求

11、出（非）齐次方程的通解；而对于高阶变系数线性微分方程，也可以运用直接积分法，不过需要实现线性微分算子的因式分解， 联立一阶线性微分方程组才能求得 这种直接积分法应用更广泛，更完整文献 7要讨论的是关于一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的新方法，即直接解法 众所周知， n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和而考虑如下形式的微分方程y py qy f x（其中 p ， q 为不全为零的常数且 f x 0 ）而对f x e x P1 x cos xPn x sin x（其中 ， 是常数，P1 x ， Pn x 分别是关于 x 的 1 次、 n 次多项

12、式， 其中一个可为零）的类型， 则可以利用叠加原理， 运用简单的直接解法就可以求得其解， 同时还可以推广到高阶方程文献 8讨论的是关于常系数非齐次线性微分方程组的初等解法，我们可以先从一元微分方程入手， 把非齐次的转化为齐次微分方程， 而齐次微分方程的通解就可以通过特征方程的根来决定，同时常系数非齐次的线性微分方程的通解就可以简单的求得.再来考虑n元方程组的求解， 就可以转化为由若干个相互独立的高阶常系数非齐次线性微分方程组成的方程组 , 其系数可以利用矩阵的形式表达，通过高阶常系数齐次线性微分方程的特征根法和非齐次方程的待定系数法求该方程组的基本解组及特解， 最后通过初等变换求原方程组的基本

13、解组及特解，从而可求出其通解文献 9主要讨论变系数线性常微分方程组的求解，着重考虑一类只含二个未知函数的变系数微分方程组 其实我们在学习线性微分方程的同时， 经常碰到一个非常重要的问题是如何求解变系数的微分方程组， 该类方程组在现实世界中应用也很广泛， 然而在一般教材中不可能给予详细的介绍 事实上变系数的微分方程组没有统一方法求解， 本文结合实际教学经验，在这方面作些探讨基于刘维尔公式，文中还给出另外一种解法文献 10 讨论几类变系数线性常微分方程的求解，在科学研究、工程技术中，人们常会遇到二阶或高阶变系数线性微分方程,一般形式的这类方程，无法用初等积分法求解，也没有通用的一般性方法 但这类方

14、程中的一些特殊类型仍可求解 为了满足理论研究和工程实践的需要， 一直以来， 人们用不同的方法在不断的探讨这一问题， 极大地扩展了变系数线性微分方程的可积类型 借助双变换未知函数的线性变换和自变量的变换， 将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程， 从而求得它们的通解， 所得结论推广了著名的 Euler方程及前人的一些的工作文献 11（第五章） 主要讨论了线性微分方程组， 其实在微分方程理论中， 线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容，因此， 为了更好的了解，引进了向量和矩阵的记号， 并且利用线性代数的结果解释线性微分方程组的理论 文献主要包括了其解的存在性， 以及一般性理论，从而来求

15、解常系数线性微分方程组文献 12 主要介绍了二阶线性微分方程解的讨论，主要是运用积分解法，给出了一些特殊情形下的求解过程以及一些计算公式 因此在一些类似的二阶线性微分方程中就可以直接利用公式进行求解，这样的话，就会显得更快文献 13 是讨论 Banach 空间隐式常微分方程的解的存在性定理，在给出隐式常微分方程的条件下，运用 Ascoli-Arzelap 定理进行证明其解的存在，从而使得结果比以往有更大的改进文献 14 主要是讨论了变量代换的思想在解线性微分方程中有着广泛的应用 通过对原方程的变量（自变量或因变量）用新的变量代换，使原方程化为相对易解的方程类型，从而达到求解的目的但是，值得注意

16、的是，如果你能很好的抓住方程的本质特征，利用变量代换形式的多样性，可以找到多条解方程的途径本文着重讲解了四种类型的变量代换， 对方程解法的关键是要找到合适的函数作变换， 在寻找过程中我们的目标始终是化为简单易求的方程文献 15 （第四章）主要是讨论了线性系统的一般理论.从复数域上进行研究，在矩阵、向量的形式下，运用 S N分解，凯莱-哈密尔顿分解定理等，同时求出了的解得存在性以及唯一性问题.不仅如此，还证明了一些重要的理论，进而计算一些较复杂 的问题.文献16在数学学习方面是一部重要的工具书， 书中收集了大约1650个常微分方程（组） 的解和其解法的提示，还给出了许多重要的结果，以便在计算中能

17、更好的应用. 内容主要分 为第一部分是一般解法，第二部分 ：边值问题和特征值问题，第三部分 ：各种微分方程.文献17主要是介绍Maple, MATLAB在常微分方程中的应用以及求解，结合了常微分 方程基础理论、基本方法和数学软件的系统，保持了系统相对完整，方法与技巧多样化的特 点，突出了从问题出发引导、发现解决问题的途径，进而导出重要的概念、命题、定理和解 题方法的过程.用数学建模的思想求解线性微分方程，从而运用到实际生活中.总而言之，线性微分方程（组）是一类重要的常微分方程，很多情况下，对于求解非线性微分方程，我们都需要把它转化为线性，这样可以方便求解.因此，本文着重介绍了几类特殊的线性微分

18、方程（组）的求解方法，同时找寻一定的规律，熟练掌握.在此基础上，要 会运用所学的知识建立数学模型，从而联系实际问题.三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）众所周知，在数学的一些实际应用中有许多涉及到非线性微分方程（组）的问题，一般,它们的求解都是比较困难的，但我们通常可以对它们采用线性化的方法简化为线性微分方程（组）来求解.就像未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决.有意识地将问题化繁为简，因此，掌握线性微分方程（组）的相关知识，理解一些基本概念及其解的结构，探索其求解方法，具有理论和实际意义

19、.本文通过查阅各种相关著作、教材和文献，系统的归纳和总结了线性微分方程（组）的 求解方法，特别地介绍了几类变系数线性微分方程（组）的求解，在此基础上，要会运用所 学的知识建立数学模型，从而联系实际问题.四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）1 高素志,马遵路,曾昭著等.常微分方程M. 北京 :北京师范大学出版社 ,1985.2 周义仓,靳祯,秦军林. 常微分方程及其应用 M. 北京 :科学出版社 ,2003.3 黄雪燕.常微分方程的化归思想J. 长春师范学院学报(自然科学版).2007,26(04):24-26.4 丁同仁,李承治.常微分方程教程M. 北京 :高等教育出版社,2008.5常广平.常微分方程的思想方法与应用J.北京联合大学学报(自然科学版).2005,19 (02):45-47.6彭如海.高阶线性微分方程的直接积分J.华东船舶工业学院学报(自然科学版).2003,17(03):77-82.7 温大伟,陈莉,王红芳,魏瑾 .一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法 J.2010,1(02):04-06.8 宋燕 .常系数非齐次