大学物理上册(第五版)重点总结归纳及试题详解第一章质点运动学

1、第一章质点运动学基本要求1 .掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动 变化的物理量。2 .能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。3 .能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。4 .理解伽利略坐标变换和速度变换。基本内容1 .位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的 一条有向线段r表示。r的端点表示任意时刻质点的空间位置。r同时表示任意时刻 质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之'o注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化

2、的，即 r r t ; （2）相 对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中 r表达 形式可以是不相同的。它表示了 r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量 性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系Oxyz中r xi yj zkr222r r qx y zcosx r, cosy r, cos z r质点的运动方程为r r t x t i y t j z t k（矢量式）x x t或y y t（标量式）。2 .位移r r t t r t xi yj zk, r 的模 r| J x 2 y 2 z 2。注意：（1） r与r的区别：前者表示质点位

3、置变化，是矢量，同时反映位置变 化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2） r与 s的区别：s表示tt t时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当 t 0时，r s3 .速度dr 一，、，、，、八一v 丁，是质点位置矢量对时间的变化率dt在直角坐标系中dr dx. dy i dtdtdtj dzkdtvxi vyjvzkv的大小：v vv2dy dt2dzdt1 v22vy vzv的方向：在直线运动中,v 0表示质点沿坐标轴正向运动，v 0表示质点沿坐标轴负向运动；在曲线运动中,v沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。注意：（1）瞬时性

4、：质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性：速度为矢量，具有大小、方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系、坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性：因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度与空的区别dt也是可叠加的；要注意区别速度和速率，注意?与（d4 .加速度a dv ,描述质点速度对时间的变化率，其中包括速度的大小和方向随时间的变 dt化。不论速度的大小变化，还是速度方向的变化，都会产生加速度。加速度也为矢量在直角坐标中aaxiay jazk其中，axdvxdtd2xdt2aydvy d 2ydv

5、z2- , az dtdt2dtd2z dt2222axayaz。在自然坐标系中aann att"a； a2 , a与切向的夹角arctan an at加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a与v同向，则质点作加速运动，a与v反向，则质点作减速运动在曲线运动中,a方向总是指向曲线凹vdv其中，an 一，at 一，dt的一侧。d dt5 .圆周运动的角速度、角加速度角速度角加速度d2dt dt2角量与线量的关系:2at R , an R6 .伽利略速度变换称为绝对速度；v为v v u其中v为运动物体相对固定参照系的速度,运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u为运动参

6、照系相对固定参照系的 速度，称为牵连速度。三、习题选解1-1从原点到P点的位置矢量r2i 6j。而P点到Q的位移r 4i 2j。求从原点到Q点的位置矢量,并作图表示。解:由位移定义rQrp设Q点坐标为（x,y）xiyj 2i6j显然rQxixiyjyj 2i4j如图所示。1-2设质点沿x轴运动,其运动方程为x 3t2题1-1图t3 （式中x以m计，t以s计）。求：（1）质点在3s末的速度和加速度；（2）质点在1.5s是作加速运动还是作减速运动;（3）第1s末到第3s末时间内的位移和路程解：（1）dx v 6t dt3t2dv6 6t dt3s代入上两式分别得v 9m212m s(2)将t 1.

7、5s代入v, a表达式分别得v 6t 3t2a 6 6t3m3t2 s12.25m s 1a与v反向，质点作减速运动。(3)位移x1 3x 1 2m由 v 6t 3t20 得：t10,t2 2s,即t 2s时质点瞬时静止，其后反向运动。故路程x1 36my 19 2t2 SI (式中 x求t时刻质点的位置矢量,1-3一质点在Oxy平面内运动，运动方程为 x 2t y以m计，t以s计）。求：（1）求质点的轨道方程；（2）速度矢量；（3）什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？ （4）什么时刻质点离原点最近？求这一距离。解:(D由2t,y19 2t2消去t得轨道方程为19(x 0)一 x19

8、2 -2(2)(3)j 2tidx o 2 dtv vxi19Vyjxi yjVxi2t2vy2ivyjxvx yvydy dt4tj2t4t2219 2t2 4t 0-_ 24t 119 2t_ 2 一4t 2t 180得 t10,t23s,t33s 去3(4)y2(2t)219 2t2取极小值，由drdt8t 2t2 180t1Q t23s, t3 3s (舍去)d2r dt2t10,d2r dt2t30,且 r 36.08m3s时质点离原点距离最近,其距离为 6.08m。同理1-410i解:(1)由此可得(2)一质点具有恒定加速度a 6i 4j SI 0 t求：(1)质点在任意时刻的速度

9、和位置矢量;2/26m s ,ay 4msdvx axdtvxd vx0 Xdxd vxaxdtaxdtt6dt0Vx0时，质点速度为零，位置矢(2)质点的轨迹方程。6txdx10dtt6tdt0dx Vxdt6tdt-210 3t-2x 10 3taydVydtd v y 4dtvy0 dvydy vy y dty0dyt4dt0dyt4tdt0vVxiVyj即 Vy 4tvydt4tdty 2t26ti 4tj22r xi yj 10 3t2 i 2t2j轨道方程由x 10 3t2,y 2t2消t得一 3x 10 -y 即 3y 2x 20 01-5消防水枪喷出的水的流量是q 2801 m

10、in。水的流速v 26m s若水枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少开水?2解：竖直上抛的最大高度H 33.8m2g水上升到最大高度的时间，由Vy V0 gt （令Vy 0, Vy为上升到最高点的速度）得t 0 26 2.6sg 10则水在空中运动5.2s又因为q 2801 min 21212at gt a g t ”01 4.671 s160s在时间小于5.2s喷向空中水Q qt4.67t（升）在时间大于5.2s喷向空中水Q 2qt 24.3 （升）1-6升降机以加速度1.22m s22上升，当上升速度为2.44m s 1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降

11、机的底面相距2.74m 0计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解：以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度2.44.m s1上升时刻机外固定 柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1）螺帽在t 。时，从y y2.74m处以初速为V0 2.44m s1作上抛运动。具运动方程为y1V0地板在t 0时，以初速v0 2.44m12V0t 2 gts1,从原点作加速上抛运动，具方程为112y2v0t 2 at螺帽落地时y1y2V。1 212v°t-gtv°t -atV。2 2(2)螺帽下降的距离1-7 如图所示,过滑轮用绳子拉船靠岸2

12、 y0ta g . 1.22 9.8Vot2gt22 2.74-0.705s2.44 0.71有人在离水面高h处通设人用匀速Vo收纯子拉船，求当船与滑轮的水平距离为x时,船的速度和加速度的大小O解：设纯长为s,由图可知19.8 o.712o.72m人以匀速Vo收纯拉船V的方向沿x轴负方向船的加速度dV d adt dtVo2.2s hdx V dtsdss2h2 dt22.2Vo s h,2 2h Vo3xdss2h2 dth2 x2sVo_ s2=h2sVox s2 h2h22sdsds dtVoVo, h2 x2VoxSVoh2dtd sVo s dth2c ds2s dts Vo2,2

13、3 2s h2 2Voho2-2 32s ha的方向沿x轴负方向S处： 题1-8图1-8 如图所示，一人站在山坡上，山坡与水平 面成 角。他扔出一个初速为v0的小石子，v0与水 平面成角(向上)。(1)如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为2v2 sincoss2gcos(2)由此证明，对于给定的vo与 值，s在时有最大值:4 22v0 1 sinSmax2g cos解:以斜面方向为x轴，垂直于斜面为y轴，扔出点为原点建立Oxy坐标系。(1)VoxVoyv0 cos vosinxVoxtyVoyt2gxt2gytgsingcos小石子落地时v0 sint2 o1t - g cos2落地时间

14、2vo sing cos小石子落在斜坡上的距离s x v0 cost -gsinat222 .2vo sing cos2.2v0 g cos sincoscos,2, 24vogsin sin-222g cosc 2.22vogsin sin22g cos22g cos2v；sin2g cos2v；sin2g cos2v；sin2g coscos coscoscossinsin(2)对于给定的刈和值cosv2 2sin2g cos2Vo2gcos2Vo2gcossinsin 2由上式可知，小石子落在斜坡上距离sinsins最大值的条件是sin 222smaxv0 1 sing cos他能击中一

15、个与他的手水平1-9一个人扔石头的最大出手速度为 v 25m s 1 距离为l 50m,高h为13m处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少?解：以出手点为原点，建立 Oxy坐标，设出手速度V0与x轴夹角为，忽略空 气阻力有y vosin t -gt22x v 0 cos t消去t,得石头运动轨道方程代入当包d故当y xtan2gx2222 v0 cos1v 25m s , xy 50tan0时y取极值d (50tan d50sec251.9 时,l 50m2g cos23) cosc 2sin2gcostan50 一50 1.27554gy在l 50m处的最高高度为:题1-

16、9图51.92gy 50 tan 51.9一产一cos 51.912.3m所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m。1-10 一质点沿直线运动，其坐标x与时间t如下关系,x Ae t cos t SI（A,皆为常数）。求（1）任意时刻t质点的加速度;(2)质点通过原点的时刻t0解：质点运动方程x Ae t cos t（1）速度dx d t .Ae cos t dt dt1人Ae dtA etd costsin tAcostdet.cos t加速度dv adt1dttd sin tsintdee td cos tA cos tde tcos t Asintet sin t A2. tcos

17、 teAe tcos tsin t(2)质点通过原点时Aet cos t 0cos t1-11一质点沿半径为式中b,c为大于零的常数，且度an； (2) at an的时刻t解：质点作圆运动(1)速率切向加速度法向加速度(2)切向加速度atk2(2k 1)20,1,2,0,1,2,R的圆周运动，具路程s随时间t变化的规律为1 2 -s bt -ct2 SI2b2 Ranat0,求：(1)质点运动的切向加速度at和法向加速12bt 一 ct2ds b ctdtdv cdt2.2v2b ctR R法向加速度an。，当 atanctRb ct 2Rcb ct . Rc1-12一质点沿半径为R的圆周按路

18、程为s1 . .2 v°tbt2SI的规律运动，其中v0,b都是常量。(1)求t时刻质点的加速度；(2) t为何时，加速度的大小等于b ? (3) 当加速度为b时，质点沿圆周运动了多少圈?解：质点作圆周运动,1 . +2s v0tbt2(1)速率切向加速度ds vdtdvVo btatdt法向加速度V2V0 bt 2an R R质点的加速度大小为22a anatR R2ba与v的夹角arctan 包 atarctan2V0 btRb(2)当a b时4V0 bt(3)当a b时,vo bVot1bt2 22Vo2b质点沿圆周运行的圈数2Vo2 R 4 Rb1-13 一质点沿半径为0.1

19、m的圆周运动,用角坐标表示其运动方程为2 4t3 SI。(1) t 2s时质点切向加速度和法向加速度的大小；(2)当 等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成 45 o解：质点作圆周运动4t3(1)角速度角加速度d dtddt212t224t切向加速度dv atdtddtR 24t4.8m s2法向加速度2Van 一2r212t2 22230.4m s(2)质点的加速度和半径的夹角为45 ，即a与an成45角a a2a224Rt 2144Rt4 2anacos452 ana4 2144Rt24 2 n24 Rt 144Rt42此时质点的角位移t32 4t3 2.67 rad1-14 一个半径为R

20、 1.0m的圆盘，可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A,如图所示。在重力作用下，物体 A从静止开始匀加速的下降，在t 2.0s内下降的距离h 0.4m。求物体开始下降后3s末，边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。解：在竖直方向建立X坐标，t 0时,Xo0；物体由静止开始匀加速下降，设加速度为a ， V。XoVot-at2 22h a F0.2m s12at22题1-14图圆盘边缘一点的切向加速度法向加速度ant 3s时atdv dt2a 0.2m s2 atR2. 2a tR2 2a t0.36m sR2，at0.2m s 21-15 从同一地点，以相同速率朝不

21、同方向把许多石子扔向空中，由运动学公式证明这些石子在空中相同高度处有相同速率（不计空气阻力）证： 设某一石子的抛射角为 ，初速率为v0 o在任一时刻t,石子沿x轴和y轴的速度分量为vx v0 cosVy v°sin gt石子在t时刻的高度,22v ,'VxVycn+1 2v0 sint- gt,22:V0 cos V0 sin gt222. 22,20 cos V0 sin 2v0 sin gt g tv0 2g V0 sin t ；gt2&_2gH可见，作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角无关，只取决于高度H和 初速Vo。这些石子在相同高度处有相同速率。1-16

22、 如图所示，在一平坦高地上安放一 门炮，高地边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁 l 8100m ,陡壁下面的地平面低于炮位 h 100m o用炮轰击掩蔽在陡壁后面的目标。如 果炮弹出口速率为V0 300m s1,忽略空气阻力， 求：(1)离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离 d ;(2)这时炮弹出口速度与水平面的夹角。y xtan2gxT-222 v0 cos题1-16图解：(1)炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动的 轨道方程炮弹经陡壁边缘y 0, x l代入上式tanglc 222v0 cosg121sin cos-sin 22v02(2)炮弹出口速度与水平面夹角2ar

23、csin(g2) 61.88v0得30.94炮弹落地点y h , x l d代入得2g l dh l d tan22-2v0 cosd 59.5m1-17 如图所示，一气象气球自地面以匀速v上升到天空，在距离放出点为R处的A点用望远镜对气球进行观测。记录得气球 的仰角为时间t的函数。（1）求出用h和R表示仰角的公式；（2）求升时间t R时，£将按v dt与趋近于零。 vt2解：（1）由图可知,任一时刻t tan气球匀速上升vttanvtRarctanv R出义作为时间的函数的公式；（3）试证当上 dtt求导（3）当上升时间故当t R v1-18d-将按dtdttanv 2 cosRt

24、凡时,vddtddtvR h2v t2与趋于零。 vt2t2vtRR2R22 secvR2.2- v tt2Rvt2R2,v_ t2ddtt2为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动,周期等于地球自转周期T 24h。求卫星离开地面的高度和卫星的速率 （距地球中心r处的重力加速度，a g Re/r 2 , Re是地球半径）解：由题知同步卫星作圆周运动的角速度224 60 60rad s 1 ,向心加速度ang Re, rReho2RehRehRe所以Re gRr2-Reh 2hRegRe2-卫星高度3 gReRe 3.59107 m2又向心力由万有引力提供，an - r卫星速

25、率31R h 3.07 10 m s1-19一飞轮的角速度在5s内由900r min 1均匀地减到800r min 1。（1）求角加速度；（2）求在此5s内的总转数；（3）再经多长时间，轮将停止转动?解：飞轮作匀减速运动，在t 5s内角速度由0减至，角位移为°。设角加速度为(1)由匀速圆周运动速度方程01200rtmin 22.093rad s(2)100t 2t270.83 转(3)又经时间t ,飞轮停止转动45st 45 5 40s1-20北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m ,电子要沿环以非常接近光向心加速度2 v anang2.4 1014速的速率运行。这些电子运动的向

26、心加速度是重力加速度的几倍?解：电子以接近光速c的速率作圆周运动，储存环的周长为 L,半径为Ro22.35 1015m s L1-21无风的下雨天，一火车以20m s1的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为 V1 ,雨滴相对于地面的运动速 度为V2 ,旅客看到雨滴下落的速度为V2 ,即雨滴相对于火车的运动速度。由图可知：V2 Vl V2V1tan75 T V2Vi20iv2 r r 5.36m s题 1-21 图tan 75，tan 751-22 飞机A以Va 1000km h 1的速率（相对地面）向南飞行。同时另一架飞机B以V0 800km h 1的速率（相对地面）向东偏南30角方向飞行。求A机相对于B 机的速度与B机相对于A机的速度。题 1-22 图（a）题 1-22 图（b）解：设飞机A相对于飞机B的速度为vab,飞机B相对于飞机A的速度为Vba,A机相对地面的速度为va, B机相对地面的速度为vbvab vb va 如图（a）v ba v A v B 如图（b