初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案

1、初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案、选择题1 .如图，菱形 ABCD的两个顶点B、D在反比仞函数y、的图象上，对角线 AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已知点A (1,1) , / ABC=60°,则 k 的值是(A. - 5B. - 4C. - 3D. - 2分析：根据题意可以求得点 B的坐标，从而可以求得 k的值.详解：.四边形 ABCD是菱形， .BA=BC, AC± BD, / ABC=60 ,.ABC是等边三角形，;点 A (1, 1),OA'ZOA JBO=wt3(r直线AC的解析式为y=x, 直线BD的解析式为y=-x,. OB'氐 点B的

2、坐标为(-1号， , 点B在反比仞函数y的图象上, x-k八3解得，k=-3,故选C.点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，利用反比例函数的性质解答.2 .如图，某地修建高速公路，要从 A地向B地修一条隧道(点 A, B在同一水平面上).为了测量 A, B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为 ，则AB两地之间的距离约为（）A. 1000sin 米 B. 1000tan 米 C. 1000 米 tan【答案】C【解析】【分析】在 RtAABC 中，/ CAB=90, / B=a, AC=1000

3、米，根据 tanD.幽米sin解：在Rt ABC中,tanACAB 'ABAC tan1000 tanACAB,即可解决问题.CAB 90°, B , AC 1000米,米.故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用 -仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型.3 .在Rt区BC中，/ C=90°,如果AC=2, cosA=-,那么AB的长是（）3a. 3b. 4c. 45d. VT3【答案】A【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosAAC =-,然后根据AC=2,解方程可求得 AB=3.AB 3故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解

4、题关键是明确直角三角形中，余弦值A的邻初c°sA= A ',然后带入数值即可求解.斜边4 .如图，在 ABC中，AB AC , MN是边BC上一条运动的线段（点 M不与点B重1_合，点N不与点C重合），且 MN BC, MD BC交AB于点D , NE BC交2AC于点E ,在MN从左至右的运动过程中，设 BM x , BMD的面积减去 CNE的能表示 y与X的函数关系的图象大致是（）面积为y,则下列图象中,【答案】a【解析】【分析】a,求出CN、DM、EN的长度，利用 y=”MD-S4cne,即可求解.设 a= 1 BC, Z B=Z C=2【详解】 解：设 a= 1BC,

5、 / B= Z C= a,则 MN = a,2.CN= BC-MN-BM = 2a-a-x = a-x , DM = BM tanB= x tan,”EN= CN?tanC= ( a-x )tan,”1 y SZBMD- SZCNE=2(BM- DM-CN EN =2一tan x tan22 a tan - a x 2x2a tan2为常数,上述函数图象为一次函数图象的一部分, 故选：A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动 点的完整运动过程.35.菱形ABCD的周长

6、为20cm,DE，AB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的个数有（5DE=3cm;BE=1cm;菱形的面积为15cm2;BD=27l0 cm.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】菱形ABCD的周长为20cm/. AD=5cm3sinA=一51. DE=3cm （正确）/. AE=4cmAB=5cmBE=5- 4=1cm （ 正确），菱形的面积=ABX DE=5< 3=15cn2 （ 正确）DE=3cm,BE=1cmBD=M0cm （ 不正确）所以正确的有三个.故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质

7、及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键如36米,）（精确6.在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离 AB,采取了如下措施图在江边D处，测得信号塔 A的俯角为40 ,若DE 55米，DE CE , CECE平行于AB, BC的坡度为i 1:0.75,坡长BC 140米，则AB的长为（到 0.1 米，参考数据：sin40 0.64, cos40 0.77, tan400.84 ）A. 78.6 米B. 78.7 米C. 78.8 米D. 78.9 米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在 RtACBF中求得BF、CF的长，再利用 RtAADG求AG的长，进而得到 AB的长 度【

8、详解】如下图，过点 C作AB的垂线，交 AB延长线于点F,延长DE交AB延长线于点G.BC的坡度为1:0.75设 CF为 xm,贝U BF为 0.75xm .BC=140m222 在 RtABCF中，x 0.75x140 ,解得：x=112 .CF=112m, BF=84m .DEICE, CE/ AB, . DGAB,. AADG 是直角三角形167 . DE=55m, CE=FG=36m .DG=167m, BG=120m 设 AB=ym / DAB=400.84y 120DG/. tan40 =AG解得：y=78.8 故选：C 【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水

9、平面夹角的正弦值7.同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用主弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：C；(1)作线段AB,分别以点A, B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；(2)以点C为圆心，仍以AB长为半径彳弧交 AC的延长线于点 (3)连接 BD, BC.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(DA. /ABD= 90°B. CA= CB= CDC. sinA= 32D.1cosD=一2【答案】D【解析】【分析】点C是那BD的外心，根由作法得CA= CB= CD= AB,根据圆周角定理得到/ ABD=90°,据三角函数的定义计算出/ D= 30

10、6;,则/ A=60°,利用特殊角的三角函数值即可得到结 论.【详解】由作法得 CA= CB= CD= AB,故B正确；.点B在以AD为直径的圆上，丁./ ABD=90°,故 A 正确；.点C是UBD的外心， 在 RtAABC中，sin/ D= -AB- = 1 ,AD 2 ./ D= 30°, / A = 60°, .sinA= 旦,故C正确；cosD=,故D错误，故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和解直角三角形.8.如图，点E从点A出

11、发沿AB方向运动，点 G从点B出发沿BC方向运动，同时出发 且速度相同，DE GF AB ( DE长度不变，F在G上方，D在E左边)，当点 D到 达点B时，点E停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是()GA. 一直减小B. 一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE,过点E作EMLBC于M,过点G作GN± AB于N,设AE=BG=x然后利用锐角三 角函数求出GN和EM,再根据S阴影=Sagde+ S任gf即可求出结论.【详解】解：连接GE,过点E作EMLBC于M,过点G作GNAB于N设 AE=BG=x 则 BE=AB- AE=AB

12、- x.GN=BGsinB=xsinB, EM=BEsinB= (AB x) sinB S 阴影=Sagde+ &egf= 1DE GN+ 1 GF EM22= 1DE (xsinB) + 1 DE (ABx) sinB221= -DE x s inB+ (AB x) sinB1=DE AB sinB2DE、AB和/ B都为定值S阴影也为定值故选B.【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和 三角形的面积公式是解决此题的关键.9 .如图，AB是e O的弦，直径CD交AB于点E ,若AE EB 3 , C 15o ,则OE的长为()C. 6D.

13、 3 3【答案】D【解析】【分析】连接OA.证明 OAB是等边三角形即可解决问题.【详解】Ad Bd ,BOD AOD 2 ACD 300, AOB 600,OA OB,AOB是等边三角形， AE 3, OE AE tan 60o 3志，故选D.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型.10.如图，在x轴的上方，直角/ BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若/BOA的两边分别与12 、一, 一 函数y 、y 的图象交于b、A两点，则/ oab大小的变化趋势为（）A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D .保持不变【答案】D【

14、解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明 ABE84 056 ,彳#到些 £_；设b为（a, 1） , A为OF AFa212（b, -），得到OE=-a, EB= 一，OF=b, AF=-,进而得到a2b2 2,此为解决问题的关 bab键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/0AB=Y2为定值，即可解决问题.2【详解】解：分别过B和A作BELx轴于点E, AFx轴于点F,则BE8 OFABE OEOF AF '12、，A为血”贝U OE=-a, EB=1 , OF=b, AF=2 ， ab可代入比例式求得根据勾股定理可得:, OBtan / OAB=OAOAB大小是一个定值

15、，因此/ OAB的大小保持不变 故选DJI【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答.11.如图，在RtAABC内有边长分别为a, b, c的三个正方形.则 a、b、c满足的关系式 是（）A. b=a+cB. b=acC. b2=a2+c2D. b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得-a bc,化简得b=a+c,故选A.b a c【详解】请在此输入详解!12.如

16、图，菱形 ABCD中，AC交 BD于点 O, DE, BC于点 E,连接 OE, / DOE= 120。，DE =1,则 BD=()a. 9 B 当 C 6m D3 石【答案】B【解析】【分析】 证明AOBE是等边三角形，然后解直角三角形即可.【详解】 四边形 ABCD是菱形，. OD=OB, CD=BC. DEBC,/ DEB=90°, . . OE=OD=OB.DBC=60°. / DOE=120°,BOE=60°, .OBE是等边三角形，/,/DEB=90。，BD= DEsin602.3故选B.【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角

17、形的判定和性质，直角三角形斜边的中 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.13.如图，那BC的外接圆是。O,半径AO=5, sinB=-,则线段AC的长为（）5A. 1B, 2C, 4D, 5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交。于点D,连接AD,由CD是。的直径，可得/ CAD=90,又由2。的半径是5, sinB=2,即可求得答案.5【详解】解：连接CO并延长交。于点D,连接AD,由CD是。O的直径，可得/ CAD=90 , / B和/ D所对的弧都为弧 AC,/. Z B=/D,即 sinB=sinD=,5 半径 AO=5, .CD=10,.-AC A

18、C 2, , sin D ,CD105 .AC=4,故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直 角是解题的关键.14.如图，RtAAOB中，/ AOB=90°, AO=3BO, OB在x轴上，将 RtAAOB绕点。顺时针旋转至小饮'08',其中点B'落在反比例函数 y=- 2的图象上，OA'交反比例函数y=K的图象A. 47B.2C. 8D. 7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAAOB绕点O顺时针旋转至 由题意可得，点 B'的坐标为（acos %RtAA'OB'的旋转角

19、为 a, OB=a,则 OA=3a,asin 8 ,点 C 的坐标为(2asin q 2acos a), ，一 , 一一，2 ,一，点B'在反比仞函数y=-的图象上,x一 asin-,得 a2sin a cos a=2acosak又点C在反比仞函数y=的图象上,x/. 2acos a=2asin a故选C.,得 k=4a2sin a COS a =8.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可a,利15.如图，抛物线y=ax2+bx+c (a>0)过原点O,与x轴另一交

20、点为 A,顶点为)B,若D, -4,3【分析】根据已知求出2ab2旦)，由SOB为等边三角形，得到4a卜2=tan60 °x (4a2a即可求解;【详解】解：抛物线y = ax2+bx+c(a>0)过原点O,2a 4a AOB为等边三角形，卜2b2a4a，b=-2 石; = tan60 °x(- 一),故选B.【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三 角形的边关系是解题的关键.16.如图，矩形 ABCD 中，AB> AD, AB=a, AN 平分/ DAB, DM± AN 于点 M, CN± AN

21、 于 点N.则DM+CN的值为(用含a的代数式表示)()A. aB. a5【答案】C【解析】【分析】o DM cos45 =DE 可求出.【详解】.AN平分/根据 “AW分/ DAB, DM LAN 于点 M, CN±AN 于点 N'得/ MDC=/NCD=45,ABCD, AB=CD=a, DM+CN 的值即CN,所以DM+CN=CDcos45 ；再根据矩形 CEDAB, DM LAN 于点 M, CN± AN 于点 N, . / ADM=Z MDC=Z NCD=45 ,DM CN00 =CD,cos45 cos45在矩形 ABCD中，AB=CD=q . DM+C

22、N=acos45 =-a2故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到DM cos45 =DECNCE17.如图，等边VABC边长为a，点。是VABC的内心，FOG 120 ,绕点。旋转FOG ,分别交线段 AB、BC于D、E两点，连接DE ,给出下列四个结论：VODE形状不变；VODE的面积最小不会小于四边形 ODBE的面积的四分之一； 四边形ODBE的面积始终不变； VBDE周长的最小值为1.5a .上述结论中正确的 个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC,利用SASK出ODBZ OEQ从而得出 ODE是顶角为120

23、6;的等腰三角形，即可判断；过点O作OHLDE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得OHOE和2一 ，3DE=J3oE,然后二角形的面积公式可得Sxode=2i_ oE2,从而得出 OE取小时，SODE取4小，根据垂线段最短即可求出SAODE的最小值，然后证出 S四边形ODBE=SOBC=a2即可判断12和；求出VBDE的周长=a+ DE,求出DE的最小值即可判断. 【详解】解：连接OB、OC VABC是等边三角形，点 O是VABC的内心， ./ABC=/ ACB=60 , BO=CO, BO、CO 平分 / ABC 和 / ACB，一 一 1，-一 1，-/ OBA=Z OBC= / ABC=

24、30 , / OCA=Z OCB= / ACB=30 ./ OBA=Z OCB, / BOC=180-Z OBC / OCB=120. FOG 120FOG / BOCFOG- / BOEN BOC- / BOE/ BOD=Z COE在ODB和OEC中BOD COEBO COOBD OCE . ODB0 AOEC .OD=OE .ODE是顶角为120°的等腰三角形，VODE形状不变，故正确；过点 O 作 OHLDE,贝U DH=EH ODE是顶角为120。的等腰三角形，/ODE=/ OED=1 (180 - 120°) =30° 2 . OH=OEsin/ OED

25、=1 OE, EH= OEcos/ OED= OE22.-.DE=2EH=,3OESAQDE= 1 deOH= 3 OE2 OE最小时，SxODE最小，过点O作OE，BC于E',根据垂线段最短，OE即为OE的最小值11, BE 一 BC= a 22在RtOBE中OE =BE，ZttOBE =1ax= -a SmDE的最小值为 叵oe'2= a2 448ODB0 AOECOEa212c1QDBE=SAQDB+ SAQBE= SQEC+ SAQBE=SQBC= BC ,2_2a2=1x2 a2484 12 SAODE5C S 四边形 ODBE4正确;即VQDE的面积最小不会小于四边

26、形QDBE的面积的四分之一，故.口 2 S四边形ODBE= a12，四边形QDBE的面积始终不变，故 正确；ODB0 AOEC .DB=ECVBDE 的周长=DB+ BE+ DE= ECF BE+ DE=BJ DE=a+ DEDE最小时VBDE的周长最小-DE=,3OEOE最小时，DE最小3而OE的最小值为OE a3a6.DE的最小值为73xa = 1a1一 VBDE的周长的最小值为 a+ a = 1.5a ,故 正确；2综上：4个结论都正确，故选A.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角

27、形的判定及性质、锐角三 角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.18.已知在 Rt ABC中，C 90 ； AC 8, BC 15 ,那么下列等式正确的是(.8. 8-.88A. SinA - B, cosA=C. tan A =D, cot A=一17151715【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】BC15AC8由勾股定理知， AB=17； A. Sin A 一，所以A错误；B.COSA 一，所以,AB17AB 17BC 15 一 AC 8错误；C.tan A 一，所以，C错误；D.cotA 二一，所以选D.AC 8BC 15本题考查了锐角三角函数

28、的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键19.如图1,在 "BC中，/ B= 90°, /C= 30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以 恒定的速度移动，动点 Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点B. 4C. 2 3D. 4 .3C,设4BPQ的面积为y (cm2) .运动时间为x ( s) , y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为()A. 2【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3： J3,根据x= 2, y=6，3,确定P、Q运动的速度，即可求解. 【详解】解：设 AB= a, / C= 3

29、0°,则 AC= 2a, BC= J3a,设P、Q同时到达的时间为 T,则点P的速度为殂，点Q的速度为 1a,故点P、Q的速度比为3: J3,TT故设点P、Q的速度分别为：3v、舟,由图2知，当x=2时，y=6石，此时点P到达点A的位置，即AB= 2XV=6v,BQ=2X%/3 v= 273 v,11y = AB ><BQ= - 6Vx 23 v= 6 3 ,解得：v = 1,故点P、Q的速度分别为：3, 73, AB= 6v= 6=a,贝U AC 12, BC= 6芯,如图当点P在AC的中点时，PC6,此时点P运动的距离为 AB+AP= 12,需要的时间为12+3= 4,贝U BQ=岛=4晶，CQ= BC- BQ=6V3 -4百=2百，过点P作PHLBC于点H,PC= 6,贝U PH= PQinC= 6X1 =3,同理 CH= 37