2020年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷

1、期中数学试卷题号一一二总分得分一、选择题（本大题共 10小题，共40.0分）1 .在平面直角坐标系中，角”以x轴非负半轴为始边，终边在射线y=2x （x>Q上,则tan曲勺值是（）A. 2B. -2C.D.第9页，共12页2 . 已知等比数列an的各项均为正，且 5a3, a2, 3a4成等差数列，则数列an的公比 是（）A. BB. 2C. DD.书3.函数二+3（3>0）的图象中，最小正周期为砥若将函数f （x）的图象向右平移g个单位，得到函数 g （x）,则g （x）的解析式为（）A.IfC. 9=sm(2x +D. g (x) =sin2x4. 已知数列an满足勺二L /十

2、册之贝U（）A.%2 2”一1 B. an>T)+1C.与止2b1 D. £伫/5. 已知 cosa + cosp sina + sinp = .则 cos (细印 的值为()6. 已知4ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若满足b=2, B=60。的三角形 有两解，则边长a的取值范围是（）A. 2<口<2、" B. 2<n<乎 C. y<«<2 D. <a<27. 已知 sin (g-a)告则 sin (%2 a)=()7B.C.D.8. 已知数列an满足an二黑十：； : 若对于任意的nC

3、N*都有an>an+i,则实数a的取值范围是（）A. (0,9. 9BC内有任意三点不共线的2016个点，加上 A, B, C三个顶点，共 2019个点,把这2019个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A. 4033B. 4035C. 4037D. 4039. . . .q ! 'all <1 T，$ fW10 .已知O为锐角三角形 ABC的外接圆的圆心，tanA=2,若赤 + 诉 =2m ，则 AB AC AOm的值为()A. £B,卓C. :D.宇二、填空题(本大题共7小题，共42.0分)11 .在

4、 AABC 中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若 a=4, c=2, B=60 °,贝U b=, C=.12 .记Sn为等差数列an的前n项和，公差为 d,若a4+a5=24, S6=48.则d=, Sn=.13 .已知 0 V a< .< 3< 兀，tan a = cos (伊力=：.贝U sin a =_ cos 3 =14 .已知数列an, bn满足a1=1,且an, an+1是函数/()=公”+2,的两个零点，贝 U a5=, b10=,15 .在各项均为正数的等比数列 an中，若log2 (a2a3a5a7a8)=5,则aa9=.16

5、.已知一个三角形的三边长为连续的三个自然数，且最大角是最小角的 2倍，则这个三角形的面积为 .17 .在AABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,设AABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,贝U 1.的最大值为三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)I .-d18 .已知函数 f (x) =,'3cos (2x-) -2sinxcosx. VJ(I )求f (x)的最小正周期；(II)求f (x)在0, nt止单调递增区间.19 .在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知a=J,且b2+c2=3+bc.(I)求角A的大小；(n )求bsin

6、C的最大值.20 .已知Sn为等差数列an的前n项和，a4=2, S21=-252.(1)求 an, Sn;(2)设 Tn=|a1|+|a2|+|an|,求 Tn.21 .如图，在中，丹二，B匚=2,点|D在边山?上，川=口。，0214。，£1为垂足.(1)若的面积为；，求。的长;(2)若=求角力的大小.22 .已知数列an的前n项和为Sn, ai=4且Aan=S+4.其中入为常数.(I )求入的值及数列an的通项公式；(n)记6=氤.募；，数列bn的前n项和为Tn,若不等式(一1一1(如-5)7小KjTfWO对任意nCN*恒成立，求实数k的取值范围.答案和解析1 .【答案】A【解析

7、】解：平面直角坐标系中，角”以X轴非负半轴为始边，终边在射线y=2x （x>Q上，则 tan a = 2故选：A.由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 tan “的值.本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.2 .【答案】C【解析】解：设等比数列an的公比为q,则.各项均为正数的等比数列 an, 5a3, a2, 3a4成等差数列，. 2a2=5a3+3a4,3q2+5q-2=0 ,-q>0,1q二，故选：C.利用各项均为正数的等比数列 an, 5a3, a2, 3a4成等差数列，建立方程，即可求出等 比数列an的公比.本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础

8、.3 .【答案】D【解析】解：,.函数晨区）=£加（a次+ ：） （0）的图象中，最小正周期为兀，即周期T=n则3=2则 f （x） =sin （2x+；）,将函数f （x）的图象向右平移:个单位，得到函数g（X）,则 g (x) =sin2(x-：)+；=sin(2x3f) =sin2x,故选：D.根据三角函数的周期求出3 =2,结合三角函数的平移关系进行求解即可.本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期公式求出 3的值，以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键.4 .【答案】D【解析】解：由an+1-an*得a2-a1a3-a2>2, a4-a3>2, an-an

9、-1>2, 又 a1二1.累力口彳导:an-1 >2 (n-1),即 an>)-1 (n>?.a1=1适合上式.Tl(t| + 1). Sn=a1 +a2+an 1 2(1 + 2 + 川 + H)-n = 2 x = =n2.故选：D.在已知不等式中分别取 n=2, 3,，n,累加后可得an>T)-1 (n>2).然后求解数列的 前n项和得答案.本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题.5 .【答案】A0 伊si。).【解析】解：,已知mstt + cow? = sine?4s出夕=g,平方可得 cos2 a +2cos a cos

10、3 2+CqsD, sin2 a +2sin a sin把和相加可得 2+2cos a cos 3+2sin a si； 0 和 2+2cos ( o- 3)=：,解得 cos(03) =-,故选A.把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos ( 03)的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题.6 .【答案】B【解析】 解：由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足asinBvb, a>b,*<2. a>2解得：2<”竽故选：B.由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足 asinBvb, a>b,代入即可求得边长 a的取 值

11、范围本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题.7 .【答案】A【解析】 解：-sin (") =cosfi- (3-a) =cos (g+a),. sin ( -2 a) =cosd) =cos2Q+a) =2cos2 (J a)-1=2 X故选：A.由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解.本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8 .【答案】D【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和函数特征，熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键.对于任意的 nCN*都有an&

12、gt;an+i,可知：数列an单调递减，可得0vav 1,再 分类讨论即可得出.【解答】解：.对于任意的nCN*都有an>an+1, .数列an单调递减，可知 0V av1.当(口<1时，n>8, % = &-口2+ 2单调递减，而(nw8单调递减，（l_a）X9+2<a8-7,解得 a>2 因此;<a<1. ''J*当0<证<；时，n>8，% = &-口）汽+ 2单调递增，应舍去.综上可知：实数 a的取值范围是.<a<1.故选：D.9 .【答案】A【解析】解：.三角形的内角和为180。，又

13、以内部每个点为顶点的角的和为一个周角，是360。，则2016个点的角的总和 S=2016X360°,加上三角形原来的内角和180°,.所有三角形的内角总和S' =180 +2016 >360 =180 X （1+2016 2）,.三角形的个数为：1+2016 2=4033.故选：A.先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180 °可得三角形的个数.本题考查图形的变化规律，根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解决本题的关 键.10 .【答案】B【解析】解：取AB中点D,则有=_ _ + f AO AD DO 'kflfP T fOf

14、C r.代入而+而小=2m得:由。 ACAOMSg f C&tC r _ 气 1.赤国0+,4c=2m （乂。），由卜口,田，得口0%B=0，.两边同乘化简得：空"+=2m（M乩0）?HE=m闻?e即：*+籍bc?cosA=mc2，由正弦定理 总二熹=.，化简得:,；”： '+sinBsinCcosA=msin2C,由sinCwQ两边同时除以 sinC得:cosB+cosAcosC=msin C,- m=UnC =sinA= 丁.故选：B.取AB中点D，则有一0一4。no,从而就打日+i4=2m（AD M），由0口4小得DQ?&=0，从而二：c2+篝bc?co

15、sA= mc2，由正弦定理三，9出“匚+ ：；sinBsinCcosA=msin2C,从而 cosB+cosAcosC=msinC,由此能求出 m 的值.11.【答案】2平本题考查实数值的求法，考查平面向量、向量垂直、正弦定理、余弦函数加法定理等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题.【解析】解：.a=4, c=2, B=60° ,，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=16+4-2 4X24=20-8=12,贝U b=2悔.I b f,守旧声Z属,口.由正弦定理丽二麻，可得：sinCF =.-c< a, C为锐角,iC=;故答案为：2",由余弦定理直接进行

16、计算即可得b的值，根据正弦定理可求 sinC,结合大边对大角可求C的值.本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，利用代入法是解决本题的关键， 属于基础题.12.【答案】4 2n2-4n【解析】解：.Sn为等差数列an的前n项和，公差为d,a4+a5=24, Ss=48.解得 a1=-2, d=4, Sn=-2n+2 ,x ；=2n -4n.故答案为：4, 2n2-4n.利用等差数列的通项公式、前 果.本题考查等差数列的公差、前 算求解能力，是基础题.13.【答案】:号n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运【解析】解:sin

17、2 a +遥a =1 . sin *=, cos aT=.cos （伊 a）=；故 Sa 为锐角，sin （伊砂二41tcJ（J-r）= 贝U cos 3 =cos a （伊 a） =cos a cos , a） -sin a sin a a）故答案为：:；¥ 由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差三角公式，求得 sin & cos 3的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差三角公式的应用，属于基础题.14 .【答案】4 64【解析】 解：数列an, bn满足ai=1,且an, an+1是函数/(幻=的两个零与 八、5可得 anan+i =2n, an+an+i =

18、bn,可得a2=2,a3=2,a4=4,a5=4,a6=8,a7=8,a8=16,a9=16,aio=32,aii=32,bio=aio+aii=32+32=64 .故答案为：4； 64.利用已知条件推出，数列的关系式，然后逐步求解数列的项即可.本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力.15 .【答案】4【解析】 解：在各项均为正数的等比数列an中，log2 (a2a3a5a7a8)=log2肃=5log2a5=5,. 35=2 , j| .,aia9=/5=4.故答案为：4.由各项均为正数的等比数列的通项公式得10g2( a2a3a5a7a8)=log璀=5log 2a5

19、5,从而a5=2,再由aia9=M能求出结果.本题考查等比数列的两项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16 .【答案】孚【解析】解：设三角形三边是连续的三个自然n-1, n, n+1,三个角分别为 %乃3“，2”,由正弦定理可得：率盘=总,"+ 1cos ”丽 F，再由余弦定理可得：(n-1) 2= (n+1) 2+n2-2 (n+1) n?cos a<n+1) 2+n2-2 ( n+1) n? ,化简可得：n2-5n=0,解得：n=5或n=0 (舍去)，.n=5,故三角形的三边长分别为：4, 5, 6由海伦公式知 p='_LAH=,

20、0»伽一放一功87*7=邛.故答案为：苧.根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1, n, n+1,三个角分别为 %乃3”,2 a,由n-1, n+1, sin 3以及sin2 a利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函 数公式化简后，表示出cos内然后利用余弦定理得到 (n-1) 2= (n+1) 2+n2-2 (n-1) n?cos年 将表示出的cos “代入，整理后得到关于 n的方程，求出方程的解得到 n的值，从而得 到三边长的值，由海伦公式可得三角形的面积.此题考查了正弦、余弦定理，海伦公式以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很 好的建立了三角形的边角关系，熟练

21、掌握定理是解本题的关键，属于中档题.17 .【答案】挈【解析】解：由 3a2=2b2+c2,得 a2=1 (2b2+c2), Jm.r A W+L J l> + c' " _ b' + mJ T 加贝U cosA="+。i = ,2t»c诋 弧 必 3-f rbcsinA bftiriAM就 nA UWM必 + 我Lj |7?=2的 + 上与丁 IN 'tanA=j£-lqlR =竽，当且仅当b/c时取等号，则痣事嚼，故:储0的最大值为,故答案为：由余弦定理求出 cosA和tanA的取值范围，结合基本不等式进行求解即可.本题

22、主要考查基本不等式的应用，结合余弦定理以及基本不等式进行转化是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.18 .【答案】 解：(I ) ,.函数 f (x) =/3cos (2x j) -2sinxcosx二狎 K= ；cos2xcos +.sin2xsin -sin2x炉 iW=2 cos2x+jsin2x=cos (2x-1),故它的最小正周期为=71.n5 门ji(n )令2k乃兀Wx；wk& k CZ求得k乃山今侏兀3，kCZ,可得函数的增区间为k；，k兀门，kCZ.再根据x0, nt可得增区间为0, 各,卷 nd【解析】(I )利用三角恒等变换，化简 f (x)的解析式，再利用，

23、余弦函数的周期性， 可得它的最小正周期.(n )利用余弦函数的单调求得f (x)在0, nt止单调递增区间.本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、单调性，属于基础题.A肃 + F-M 3 + tr-s 19 .【答案】 解：(I)由余弦定理可得：cosA= =示 =,(II)由正弦定理可得：白=而可得b=Eq 1=2sinB> ycoj?/? + 强式桂H)曲. cc 1 -E媳 H=Sin2B+$* ”泊2nbsinC=嫉?sinC=2sinBsinr-：-'2 抑ir nB e(o，于)，(2月一工)一不丁)田)2旧一彳)日(一玉1. bsinC(Ob 1.bsinC的

24、最大值为【解析】(I)由余弦定理可得：cosA弋= 1=1,即可得出.Hk, 士" $(II)由正弦定理可得：可得b儒可得bsinC=2sinBsin£H)=£in(2/?-3+,根据BC(O,当即可得出.本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20 .【答案】 解：(1)由 ai+3d=2,和 21ai+210d=-252 得 ai=8, d=-2 ./、c 巩日+ 1。-打力 、. an=8-2 (n-1) =10-2n, Sfi = nn .(2) an=8-2 (n-1) =10-2n,可得n<4数列的项是正数

25、，n=5,数列的项是 0,以后的 各项都是负数，所以当nW 5时， Tn=|a1|+|a2|+- +|an|=a1+a2+- + an,。产 5H当 nR6时，Tn=|a1|+|a2|+- +|an|=a1+a2+- + a5- (a6+a7+an),Tlt = -S + 2s5 = n2-9n + 40,_ 9n-n2fn < 5+ 40箝 > 6【解析】 本题考查数列的求和，等差数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力.(1)求出等差数列的公差，然后求解通项公式an=10-2n;以及数列的和箕-/(2)求出nW 5时数列的和，然后求解 n> 5时数列的和即可.21 .【答案】解：(1);ZBCD的面积为，9风' = 2,i屋 用在dRC口中，由余弦定理可得CD =即2 + BDl-2BC BD cos/? = 4 + $一2 X 2 ¥1X =子；（2）W=?DE，:"=AD =3 sin A2siiJ盯 silk